Baixe Transformada Laplace Directa e outras Notas de estudo em PDF para Urbanismo, somente na Docsity! MATE2 Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica Alzira Faria 1/9 2. Transformadas de Laplace A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática. As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver. Chama-se transformada de Laplace em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace. 2.1 Definição de transformada de Laplace Seja ( )tff = é uma função real ou complexa, definida para todo o 0t ≥ e o parâmetro z é um número complexo da forma ivsz += . Se, para cada 0s > , o integral impróprio ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡== ∫∫ − ∞+ +∞→ − A 0 zt 0 A zt dtetflimdtetfzF converge, então a função ( )zFF = definida pelo integral acima, chama-se transformada de Laplace da função ( )tff = . Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte imaginária é zero (v=0), usamos 0sz >= e a definição fica na forma ( ) ( )∫ +∞ −= 0 stdtetfsF (1). A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula ( )sFF = e a função original que sofreu a transformação depende de t e é representada por uma letra minúscula ( )tff = . Para representar a transformada de Laplace da função f usa-se a notação L ( )[ ] ( )sFtf = . Para calcular o integral (1), a variável s é considerada como constante, visto que a integração é em relação a x. MATE2 Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica Alzira Faria 2/9 Exemplo 2.1.1 A função degrau unitário (função de Heaviside) é muito importante neste contexto e é definida por ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0tse0 0tse1 tu . A transformada de Laplace da função degrau unitário (com 0s > ) é L ( )[ ] ( ) s 1 s 1 s elim s elimdtelimdtetutu sA A A 0 st A A 0 st A0 st = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − === − +∞→ − +∞→ − +∞→ ∞+ − ∫∫ . Exercícios 2.1.1 1. Determine a transformada de Laplace de ( ) 1xf = . 2. Determine a transformada de Laplace de ( ) txf = . 3. Determine L{ }ate . 4. Determine L{ })at(sen . No exemplo 2.1.1 falamos da função de Heaviside que é um sinal que pode ser representado graficamente como na figura seguinte: Temos ainda, outros sinais que irão ser importantes no seguimento do estudo das transformadas de Laplace. São eles: • Impulso rectangular É caracterizado matematicamente por ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ τ≥ τ<≤ < = t0 t0B 0t0 tx e é representada geometricamente pelo gráfico seguinte: t u(t) 1 t x(t) B MATE2 Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica Alzira Faria 5/9 2.4 Propriedades da transformada de Laplace 2.4.1 Linearidade A transformada de Laplace é uma transformação linear, isto é, dado ( )tf e ( )tg então L ( ) ( )[ ] ( ) ( )sbGsaFtbgtaf +=+ para ℜ∈b,a . Exemplo 2.4.1: Pretende-se calcular a transformada de Laplace de ( ) 8t5e6tf 3t5 −+= − . ( ) ( ) s 8 s 30 5s 6 s 18 s !35 5s 16sF 413 −++ =−+ −− = + . 2.4.2 Translação ou deslocamento Se a transformada de Laplace de ( )tff = é dada por, L ( )[ ] ( ) ( )∫ +∞ −== 0 stdtetfsFtf então, podemos ter: • L ( )[ ] ( )bsFtfebt −= (translação de f(t) em relação ao plano s) • L ( )[ ] ( )sFea-tf as−= (translação de f(t) em relação a t). Demonstração: • L ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )∫∫ +∞ −−−+∞ == 0 tbsst0 btbt dttfedtetfetfe Substituindo σ=−bs , temos que L ( )[ ] ( ) ( ) ( )bsFFdttfetfe 0 tbt −=σ== ∫ +∞ σ− . • L ( )[ ] ( )sFea-tf as−= (exercício). Exemplo 2.4.2: L ( )[ ] ( ) ( ) 252s 52sFx5sene 2 2x- ++ =+= . MATE2 Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica Alzira Faria 6/9 2.4.3 Mudança de escala (homotetia) Se a transformada de Laplace de ( )tff = é dada por , L ( )[ ] ( ) ( )∫ +∞ −== 0 stdtetfsFtf e 0>λ então L ( )[ ] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λλ =λ sF1tf . Se 1>λ estamos perante uma expansão no gráfico da função, se 10 <λ< estamos perante uma contracção. Demonstração: L ( )[ ] ( ) dtetftf st 0 −+∞∫ λ=λ . Substituindo ut =λ e depois λ=σ s , podemos escrever L ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λλ =σ λ = λ = λ =λ σ− ∞+λ −∞+ ∫∫ sF1F1dueuf1dueuf1tf u 0 su 0 . Exemplo 2.4.3: L ( )[ ] 25s 5 1 5 s 1 5 1x5sen 22 + = +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = . 2.4.4 Multiplicação de ( )tf por t Se derivarmos em relação a s ambos os membros da transformada de Laplace ( ) ( )∫ +∞ −= 0 stdtetfsF , obtemos ( ) ( )∫ ∞+ −−= 0 stdtetft ds dF e pode ser escrito como = ds dF L ( ) ( )[ ]tft− . Considerando as sucessivas derivadas de ( )sFF = , obtemos a regra geral L ( )[ ] ( ) ( )sF ds d1tft n n nn −= . MATE2 Engenharia Civil e Engenharia Geotécnica Alzira Faria 7/9 2.4.5 Divisão de ( )tf por t e Integração L ( ) ( )∫ ∞+ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 0 duuF t tf L ( ) ( )sF s 1duuF t 0 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡∫ 2.4.6 Transformadas de Laplace de derivadas de funções Esta propriedade é muito útil para a resolução de problemas de valor inicial que iremos falar mais tarde. Seja L ( )[ ] ( )sYty = . Se ( )ty é contínua para Nt0 ≤≤ e tem ordem exponencial para Nt ≥ e ( ) ( )ty n é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ . Então L ( )[ ] st'y = L ( )[ ] ( ) ( ) ( )0yssY0yty −=− . Demonstração: aula teórica. NOTA: • Se ( )ty deixa de ser contínua em 0t = mas ( ) ( )+ → = 0ytylim 0t existe, então L ( )[ ] st'y = ( ) ( )+− 0ysY . • Se ( )ty deixa de ser contínua em at = , então L ( )[ ] =t'y ( ) ( ) ( ) ( )[ ]−+− −−− ayaye0yssY as onde ( ) ( )−+ − ayay é chamado salto na descontinuidade at = . Exercícios 2.4.6 Demonstrar que L [ ] ( ) ( ) ( )0'y0sysYs''y 2 −−= . Em geral temos: L ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0y...0''ys0'ys0yssYsty 1n3n2n1nnn −−−− −−−−−= onde ( ) ( ) ( ) ( )ty,...,t'y,ty 1n− são contínuas para Nt0 ≤≤ e de ordem exponencial para Nt ≥ e ( ) ( )ty n é seccionalmente contínua para Nt0 ≤≤ .