Transformada Laplace Directa

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2. Transformadas de Laplace

A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática.

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver.

Chama-se transformada de Laplace em homenagem ao matemático francês Pierre Simon Laplace.

2.1 Definição de transformada de Laplace

Seja ()tff= é uma função real ou complexa, definida para todo o 0t≥ e o parâmetro z é um número complexo da forma ivsz+=.

ztdtetflimdtetfzF transformada de Laplace da função ()tff=. Se o parâmetro z é um número real, isto é, a parte imaginária é zero (v=0), usamos

A transformada de Laplace depende de s e é representada por uma letra maiúscula ()sFF= e a função original que sofreu a transformação depende de t e é

Para calcular o integral (1), a variável s é considerada como constante, visto que a integração é em relação a x.

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Exemplo 2.1.1 A função degrau unitário (função de Heaviside) é muito importante neste contexto e é

0tse1 tu.

A transformada de Laplace da função degrau unitário (com 0s>) é elimdtelimdtetutu sAA A0 stAA0 st A0

No exemplo 2.1.1 falamos da função de Heaviside que é um sinal que pode ser representado graficamente como na figura seguinte:

Temos ainda, outros sinais que irão ser importantes no seguimento do estudo das transformadas de Laplace. São eles:

• Impulso rectangular

É caracterizado matematicamente por () geometricamente pelo gráfico seguinte:

u(t) 1 x(t) B

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• Impulso unitário de Dirac ou função delta de Dirac

É caracterizado matematicamente por () geometricamente pelo gráfico seguinte:

Esta função tem a particularidade de que quando 0→τ, a altura da região rectangular cresce indefinidamente e a largura decresce de tal forma que a área é

2.2 Existência de transformada de Laplace

Para a transformada de Laplace existir, isto é, ()sF ter significado, o integral

Este integral é finito sempre que seja absolutamente convergente, isto é, sempre que τ1 τ

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Aos valores de s em que se verifica a condição de existência da transformada de Laplace chama-se região de convergência da transformada.

2.3 Tabela de transformada de Laplace

()tu (degrau unitário) s 1 0s> ate as1− as>

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2.4 Propriedades da transformada de Laplace

2.4.1 Linearidade

2.4.2 Translação ou deslocamento

Demonstração:

btbtdttfedtetfetfe

Exemplo 2.4.2:

2x-

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2.4.3 Mudança de escala (homotetia)

Se 1>λ estamos perante uma expansão no gráfico da função, se 10<λ< estamos perante uma contracção.

Demonstração:

Exemplo 2.4.3:

2.4.4 Multiplicação de ()tf por t Se derivarmos em relação a s ambos os membros da transformada de Laplace stdtetftds dF e pode ser escrito como

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