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Cálculo Númerico, Notas de estudo de Matemática

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Tipologia: Notas de estudo

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Baixe Cálculo Númerico e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! APOSTILA Cálculo Numérico Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Lauro César Galvão, Dr. e Luiz Fernando Nunes, Dr. ii Índices 1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS ...................................................................................1-1 1.1 ERROS...............................................................................................................................................1-1 1.2 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS................................................................................................1-1 1.2.1 Erro Absoluto..................................................................................................................................1-1 1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro ....................................................................................................1-2 1.3 ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO.....................................................................1-2 1.3.1 Erro de Arredondamento..............................................................................................................1-2 1.3.2 Erro de Truncamento ....................................................................................................................1-2 1.4 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE...........................................................................................1-3 1.5 CONVERSÃO DE BASES ..................................................................................................................1-3 1.5.1 Conversão da Base β para a Decimal (β⇒10) ........................................................................1-3 1.5.2 Conversão da Base Decimal para a β (10⇒β) ........................................................................1-4 1.5.3 Exercícios: Conversão de Bases..................................................................................................1-5 1.6 OPERAÇÕES DE PONTOS FLUTUANTES........................................................................................1-7 1.6.1 Representações...............................................................................................................................1-7 1.6.2 Exercícios........................................................................................................................................1-7 1.6.3 Exercícios complementares..........................................................................................................1-8 2 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS .............................................................................. 2-11 2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................2-11 2.2 FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES...............................................................................................2-11 2.3 FASE II: REFINAMENTO - CRITÉRIOS DE PARADA....................................................................2-15 2.3.1 Método da Bissecção (ou Método da Dicotomia) ................................................................. 2-15 2.3.2 Método do Ponto Fixo (ou Método da Iteração Linear ou Método das Aproximações sucessivas).................................................................................................................................... 2-19 2.3.3 Método de Newton, Newton-Raphson (ou Método das Tangentes).................................... 2-27 2.3.4 Comparação entre os métodos.................................................................................................. 2-30 3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................... 3-32 3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................3-32 3.1.1 Forma Algébrica de Sn............................................................................................................... 3-32 3.1.2 Forma Matricial de Sn............................................................................................................... 3-32 3.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema ............................................................. 3-32 3.1.4 Solução do Sistema ..................................................................................................................... 3-32 3.1.5 Classificação de um Sistema Linear........................................................................................ 3-33 3.1.6 Classificação quanto ao Determinante de A.......................................................................... 3-33 3.2 MÉTODOS DIRETOS.......................................................................................................................3-33 3.2.1 Método de Eliminação de Gauss.............................................................................................. 3-33 3.2.2 Estratégia de Pivoteamento Completo .................................................................................... 3-36 3.2.3 Refinamento de Soluções........................................................................................................... 3-37 3.3 MÉTODOS ITERATIVOS.................................................................................................................3-39 3.3.1 Testes de parada.......................................................................................................................... 3-39 3.3.2 Método de Gauss-Jacobi. .......................................................................................................... 3-39 3.3.3 Método de Gauss-Seidel. ........................................................................................................... 3-42 3.3.4 Comparação entre os métodos.................................................................................................. 3-43 3.3.5 Critério de Sassenfeld................................................................................................................ 3-44 4 INTERPOLAÇÃO.................................................................................................................... 4-47 4.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ......................................................................................................4-47 4.1.1 Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador Pn(x).................................................... 4-47 4.1.2 Forma de Lagrange.................................................................................................................... 4-48 4.1.3 Forma de Newton........................................................................................................................ 4-50 4.2 ESTUDO DE ERRO NA INTERPOLAÇÃO ........................................................................................4-52 4.2.1 Estimativa para o Erro............................................................................................................... 4-52 4.3 INTERPOLAÇÃO INVERSA: CASOS EXISTENTES..........................................................................4-54 4.3.1 Encontrar x tal que nP )(x .................................................................................................. 4-54 4.3.2 Interpolação inversa................................................................................................................... 4-54 4.4 FUNÇÕES SPLINE EM INTERPOLAÇÃO.........................................................................................4-56 Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-1 1 Noções básicas sobre Erros Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos. MODELAGEM MODELO MATEMÁTICO RESOLUÇÃO SOLUÇÃOPROBLEMA [Fig. 1]: Modelagem e resolução de problemas. • MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do problema que se quer estudar. • RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos. 1.1 Erros Para se obter a solução do problema através do modelo matemático, erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO. Exercício 1 Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A =4π 2r . Resolução: Aproximações (ERROS): MODELAGEM: RESOLUÇÃO: OBS. 1: Características do planeta Terra. • Características Físicas: Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km; Massa: 5,98× 2410 Kg; Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’. • Características Orbitais: Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km; Distância Máxima do Sol: 152100000Km; Distância Mínima do Sol: 147100000Km; Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg. 1.2 Erros Absolutos e Relativos 1.2.1 Erro Absoluto É o módulo da diferença entre um valor exato x de um número e seu valor aproximado x . (Eq.1) xEA = x − x , onde x é o valor exato e x é o valor aproximado. Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-2 Geralmente não se conhece o valor exato x . Assim, o que se faz é obter um limitante superior ( 1k majorante) ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. (Eq.2) xEA ≤ 1k . 1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro Erro relativo de x é o módulo do quociente entre o erro absoluto xEA e o valor exato x ou o valor aproximado x , se x ou x ≠ 0. (Eq.3) xER = x EAx = x xx − ou xER = x EAx = x xx − . Exercício 2 Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). a) x =1,5 e x =1,49; b) y =5,4 e y =5,39. Resolução: 1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento 1.3.1 Erro de Arredondamento Arredondar um número na casa id é desconsiderar as casas jid + ( j =1,…,∞) de tal forma que: id seja a última casa se 1+id <5; id +1 seja a última casa se 1+id ≥5. Exercício 3 Arredondar π na quarta casa decimal, sendo que π=3,1415926535… Resolução: 1.3.2 Erro de Truncamento Truncar um número na casa id é desconsiderar as casas jid + ( j =1,…,∞). Exercício 4 Aproximar π truncando na quarta casa decimal, sendo que π=3,1415926535… Resolução: Exercício 5 Sabendo-se que xe pode ser escrito como xe =∑ ∞ =0i i i x ! , faça a aproximação de 2e através de um truncamento após quatro termos da somatória. Resolução: Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-3 1.4 Aritmética de Ponto Flutuante Um número é representado, internamente, na máquina de calcular ou no computador através de uma seqüência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou seja, os números são representados na base 2 ou binária. De maneira geral, um número x é representado na base β por: (Eq.4) x =±    β 1d + 2 2 β d + 3 3 β d +…+    βt td ∗ expβ . Onde: • id ⇒ são números inteiros contidos no intervalo 0≤ id <β; i =1, 2, …, t ; • exp⇒ representa o expoente de β e assume valores entre I ≤exp≤ S ; • I , S ⇒ limite inferior e limite superior, respectivamente, para a variação do expoente; •    β 1d + 2 2 β d + 3 3 β d +…+    βt td ⇒ é chamada de mantissa e é a parte do número que representa seus dígitos significativos; • t ⇒ número de dígitos do sistema de representação. Exercício 6 Considerando no sistema de base 10, β=10, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante: a) 0,34510; b) 31,41510. Resolução: OBS. 2: Os números assim representados estão NORMALIZADOS, isto é, a mantissa é um número entre 0 e 1. Exercício 7 Considerando no sistema binário, β=2, represente o número 1012 em aritmética de ponto flutuante. Resolução: 1.5 Conversão de Bases 1.5.1 Conversão da Base β para a Decimal (β⇒10) Um número na base β pode ser escrito, na base decimal, como: (Eq.5) ∑ = β m ni i ia = m ma β + 1 1 − − β m ma +…+ 2 2βa + 1a β+ 0a + 1 1 − − βa + 2 2 − − βa +…+ 1 1 + + β n na + n na β . Onde: • ia ⇒ 0≤ ia <β; Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-6 Exercício 16 100101,10012 = 10x . Resolução: Exercício 17 19,3867187510 = 4x . Resolução: Exercício 18 Transforme a medida 35 h 48 min 18 seg para minutos. DICA: 35:48,1860 = 10x min . Resolução: Exercício 19 Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos. DICA: 35,80510 = 60x . Resolução: Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-7 1.6 Operações de Pontos Flutuantes 1.6.1 Representações • Precisão dupla: “dobra” a mantissa (2∗ t ); • O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor expoente (exp= I ) possível na máquina; • Ao converter um número para determinada aritmética de ponto flutuante, emprega-se sempre o arredondamento; • Não é possível representar todos os números reais em determinada aritmética de ponto flutuante (reta furada). OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com parâmetros β=10 e t =3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos números reais entre 3,57 e 3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou 3,57437. 1.6.2 Exercícios Exercício 20 Preencher a tabela a seguir, com base nos parâmetros: t =3, β=10, I =−5, S =5 e −5≤ exp≤5. Número Truncamento Arredondamento −6,48 0,0002175 3498,3 −0,00000001452 2379441,5 OBS. 4: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos. Nos exercícios seguintes, calcular o valor das expressões utilizando aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos. Exercício 21 (4,26 + 9,24) + 5,04 Resolução: Exercício 22 4,26 + (9,24 + 5,04) Resolução: Exercício 23 (4210 − 4,99) − 0,02 Resolução: Exercício 24 4210 − (4,99 + 0,02) Resolução: Exercício 25 7 2 ∗(4,0237 − 6,106) Resolução: Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 1-8 Exercício 26 7 1066023742 ),,( −∗ Resolução: OBS. 5: Em aritmética de ponto flutuante não valem as propriedades associativas nem distributivas. Exercício 27 Sendo β=10, t =4 e exp∈[−5,5], calcule: a) 42450 + ∑ = 10 1 3 i ; b) ∑ = 10 1 3 i + 42450. Resolução: 1.6.3 Exercícios complementares Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x : Exercício 28 11000112 = 10x . Resolução: Exercício 29 11111112 = 10x . Resolução: Exercício 30 10101012 = 10x . Resolução: . Exercício 31 101,00112 = 10x . Resolução: Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-11 2 Zeros reais de funções reais 2.1 Introdução Dada uma função real f definida e contínua em um intervalo aberto I , chama-se de zero desta função em I , a todo x ∈ I , tal que f( x ) = 0. Neste capítulo são apresentados alguns processos iterativos para calcular de forma aproximada os zeros reais de uma função real f dada. Por um processo iterativo entende-se um processo que calcula uma seqüência de aproximações 1x , 2x , 3x ,… da solução desejada. O cálculo de uma nova aproximação é feito utilizando aproximações anteriores. Dizemos que a seqüência 1x , 2x , 3x ,… converge para x , se dado ε>0, ∃ N ∈ ( números naturais), tal que qualquer que seja n > N , xxn − <ε. Neste caso tem-se que n n x ∞→ lim = x , o que também poderá ser indicado por nx → x . Nos processos iterativos que serão apresentados, a determinação dos zeros de uma função real de variável real será feita em duas etapas: • Fase I: Isolar cada zero que se deseja determinar da função f em um intervalo [a ,b ], sendo que cada intervalo deverá conter um e somente um zero da função f . • Fase II: Cálculo dos zeros aproximados utilizando um método iterativo, com precisão prefixada ou não. 2.2 Fase I: Isolamento das raízes Teorema 1 Seja f ( x ) uma função contínua num intervalo [a ,b ]. Se f (a )⋅ f ( b )<0, então existe pelo menos um zero de f ( x ) entre a e b . y x y=f x( ) a b [Fig. 2]: O gráfico de uma função y = f ( x ) e seus zeros. OBS. 6: Sob as hipóteses do teorema 1, o zero x =α será definido e único em [a ,b ] se a derivada 'f ( x ) existir e preservar o sinal dentro do intervalo ]a ,b [, isto é se 'f ( x )>0, x∀ ∈] a ,b [ ou 'f ( x )<0, x∀ ∈]a ,b [. Isto significa dizer que a função f ( x ) é estritamente crescente ou estritamente decrescente, respectivamente, no intervalo ]a ,b [. Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-12 y x y=f x( ) a b [Fig. 3]: Exemplo de uma função estritamente crescente num intervalo de a até b . Na pesquisa dos zeros reais de funções reais é muito útil o uso do Teorema 1Erro! A origem da referência não foi encontrada. (que fornece condições de existência de zeros em um intervalo), bem como da OBS 6. (que garante a unicidade, isto é, garante que no intervalo considerado existe um e somente um zero da função f ). Outro recurso bastante empregado é: a partir da equação f ( x )=0, obter a equação equivalente g ( x )= h ( x ) e esboçar os gráficos destas funções obtendo os pontos onde as mesmas se intersectam, pois f (α)=0 ⇔ g (α)=h (α). Exercício 38 Isolar os zeros da função f ( x )= 3x −9x +3. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 f ( x ) y x y =f x( ) 4321-1-2-3-4 1α 2α 3α [Fig. 4]: O gráfico de 393 +−= xxxf )( . Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-13 y x 4321-1-2-3-4 1α 2α 3α g x( ) h x( ) [Fig. 5]: Os gráficos de 3xxg =)( e 39 −= xxh )( . y x y=f ’ x( ) 4321-1-2-3-4 33- [Fig. 6]: O gráfico de 93 2 −= xxf )(' . Exercício 39 Isolar os zeros da função 23,ln)( −= xxxf . Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais: x 1 2 3 4 )(xf Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-16 O processo consiste em dividir o intervalo que contém o zero ao meio e por aplicação do Teorema 1, aplicado aos subintervalos resultantes, determinar qual deles contém o zero.     + 2 ba a, ,     + b ba , 2 O processo é repetido para o novo subintervalo até que se obtenha uma precisão prefixada. Desta forma, em cada iteração o zero da função é aproximado pelo ponto médio de cada subintervalo que a contém. y x2 1 3 x( )f a bmm m α [Fig. 11]: O método da bissecção ou dicotomia. Assim, na figura anterior tem-se: 21 ba m + = , 2 1 2 ma m + = , 2 12 3 mm m + = , … Desta forma, o maior erro que se pode cometer na: • 1a iteração ( n =1): é 2 )( ab − • 2a iteração ( n =2): é 22 )( ab − • 3a iteração ( n =3): é 32 )( ab − M M • n a iteração: é n ab 2 )( − Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a um parâmetro ε, determina-se a quantidade n de iterações encontrando o maior inteiro que satisfaz a inequação: n ab 2 )( − ≤ε que se resolve da seguinte maneira: n ab 2 )( − ≤ε ⇒ log n ab 2 )( − ≤ log ε ⇒ )log( ab − − log n2 ≤ log ε ⇒ )log( ab − −n log 2 ≤ log ε ⇒ n ≥ 2log log)log( ε−− ab Exercício 42 Determinar um valor aproximado para 5 , com erro inferior a 210− . Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-17 Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função )(xf = 2x −5. n a x b f (a ) f ( x ) f (b ) (b − a )/2 1 2 3 4 5 6 7 Portanto 5 ≅ Exercício 43 Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do topo, o volume V da água é: V=       −−     −⋅π⋅⋅ )(arcsen, 222250 hrh r h rrL . Supondo que L =10 ft , r=1 ft e V=12,4 3ft , encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,01 ft . h h r θ [Fig. 12]: O tanque de comprimento L . Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para )(xf e analisar os sinais: h −1 0 1 )(hf Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-18 Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS. 6: , isto é, calcula-se a derivada )(, hf de )(hf para verificar que a mesma preserva o sinal no intervalo ]0,1[. n a h b )(af )(hf )(bf (b−a)/2 1 2 3 4 5 6 7 Assim, h = 2.3.1.1 Algoritmo do Método da Bissecção Seja )(xf uma função contínua em um intervalo [a,b], com )(af . )(bf <0 e a raiz de )(xf isolada em [ a ,b ]. • Dados de Entrada : Pontos extremos a e b do intervalo; precisão ou tolerância (ε) e o número máximo de iterações (ITMAX). • Saída : Solução aproximada x ou mensagem de "solução não encontrada" com a precisão desejada no número máximo de iterações. PASSO 1 Faça i =1 FA= )(af PASSO 2 Enquanto i ≤ ITMAX execute os passos de 3 a 6 PASSO 3 Faça x = 2 )( ba + e FX = )(xf PASSO 4 Se FX = 0 ou 2 )( ab − < ε, então Saída ( x ) (Procedimento executado com sucesso) Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-21 Exercício 46 Aproximar o maior zero da função )(xf = 62 −+ xx , utilizando a função 2 1 6)( xx −=φ , e 0x =1,5. Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência )(1 nn xx φ=+ , n =0, 1, 2, … será: 2 11 6 nnn xxx −=φ=+ )( , e pode-se construir a seguinte tabela: n nx 211 6)( xxx nn −=φ=+ 0 1 2 3 M M M y x x( ) 0 1 x2 x α y x= x 6 2= 1φ [Fig. 15]: Os gráficos das funções y = x e 21 6 xx −=φ )( . Assim, os dois exercícios anteriores mostram que dependendo da transformação )(xx φ= escolhida, a relação de recorrência )(1 nn xx φ=+ pode ou não fornecer uma seqüência }{ nx convergente. Desta forma, como determinar a priori, quais transformações fornecerão seqüências convergentes? As figuras que seguem ilustram alguns casos onde ocorrem convergência e alguns casos onde não ocorrem convergência. Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-22 y xx0x1x2x3α y x= φ x( ) [Fig. 16]: A seqüência { }kx converge para o zero α (Convergência do tipo escada). y xx0x1 x2x3 α y x= x4 φ x( ) [Fig. 17]: A seqüência { }kx converge para o zero α (Convergência do tipo caracol). y xx0 x1 x2 x3α y x=φ x( ) [Fig. 18]: A seqüência { }kx não converge para o zero α. Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-23 y x0x 1 x2x3 α y x= x φ x( ) [Fig. 19]: A seqüência { }kx não converge para o zero α. O Teorema que segue estabelece condições suficientes para garantir a convergência do processo iterativo. OBS. 7: Como as condições que o teorema que segue são apenas suficientes, dada uma função φ que não satisfaça estas condições, não se pode garantir que a seqüência gerada ,,, 321 xxx … diverge. 2.3.2.1 Convergência do Método das Aproximações Sucessivas Teorema 2 Seja α um zero de uma função f, isolada em um intervalo I=[a,b], e seja φ uma função tal que ( ) α=αφ . Se: i) ' e φφ são funções contínuas em I; ii) ( ) 1<φ= ∈ xk Ix 'max iii) Ix ∈0 e Ixx nn ∈φ=+ )(1 , para n = 0, 1, 2, … Então a seqüência { }nx converge para o zero α . OBS. 8: Para se resolver um problema com o método das aproximações sucessivas, utiliza-se o teorema anterior da seguinte forma: inicialmente determina-se um intervalo I onde o zero α de )(xf esteja isolado, e uma função φ que tenha α como ponto fixo. Analisando φ e 'φ , pode-se verificar se as condições i) e ii) do Teorema 2 estão satisfeitas. Estas condições podem não estar satisfeitas pelo fato do intervalo I ter sido superdimensionado. Neste caso procura-se por um intervalo I ’ satisfazendo as condições do teorema. Na demonstração do Teorema 2 , que pode ser vista em HUMES, Ana Flora C., et al. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw-Hill, p. 16, 1984, tem-se que as condições i) e ii) garantem que se 1−nx ∈ I então nx−α < 1−−α nx . Entretanto, isto não implica que nx ∈ I . Uma maneira simples para garantir que [ ]baIxn ,=∈ 0≥∀n é tomar como valor inicial 0x o extremo de I mais próximo do zero α. Na seqüência, será mostrado que neste caso Ixx ∈φ= )( 01 : Supondo que a seja o extremo de I mais próximo de α, tem- se: α−1x < α−0x = α−a ≤ α−b , logo 1x ∈ I . A demonstração é análoga para o caso em que b o extremo de I mais próximo de α. OBS. 9: A condição iii) do Teorema 2 pode ser substituída por: iii’) o zero α é o ponto médio do intervalo I . Na verdade, se para o intervalo I = [ ]ba, , estão satisfeitas as condições Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-26 Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: x −3 −2 −1 )(xf y x x( ) α 21 3 2 1 h x( )g -2 -1-3 -2 -3 -4 -1 3 4 5 = e x = x2- 4 [Fig. 21]: Os gráficos de xexh =)( e 42 −= xxg )( . Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer: Verificando as hipóteses i) e ii) do Teorema 2: Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-27 n nx 1+nx nn xx −+1 0 1 2 3 Portanto, x = 2.3.3Método de Newton, Newton-Raphson (ou Método das Tangentes) Este método é uma particularidade do método das aproximações sucessivas. A idéia é construir uma função )(xφ para a qual exista um intervalo contendo o zero α , onde 1)(' <φ x . Esta construção é feita impondo 0)(' =αφ . Como )(' xφ deve ser uma função contínua, existe sempre uma vizinhança I de α onde )('max αφ ∈Ix <1. Obtenção da função )(xφ : A forma mais geral de )(xx φ= equivalente a )(xf =0 é dada por: (Eq.7) x = x + =)()( xfxA )(xφ onde )(xA é uma função contínua tal que 0)( ≠αA . Escolhe-se )(xA de forma que 0)(' =αφ . Derivando-se a (Eq.7), obtém-se )(' xφ =1+ )()(')(')( xfxAxfxA + . Calculando esta derivada no ponto α , obtém-se: )(' αφ =1+ )(')( αα fA . Supondo que 'f (α)?0, para que 0)(' =αφ , deve-se ter )(αA = )(' 1 α − f . Assim, uma escolha satisfatória para )(xA será portanto: (Eq.8) )(xA = )(' 1 xf − , uma vez que α≅x . Substituindo (Eq.8) em (Eq.7), tem-se: (Eq.9) )(xφ = x )(' )( xf xf − Assim, o processo iterativo de Newton é definido por: (Eq.10) 1+nx = nx )(' )( n n xf xf − , =n 0, 1, 2, … Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-28 OBS. 13: A (Eq. 10) é válida mesmo que )(' αf = 0, uma vez que α≠nx . 2.3.3.1 Interpretação Geométrica do Método de Newton O ponto 1+nx é obtido traçando-se a tangente ao gráfico da função )(xf no ponto ))(,( nn xfx . A intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas fornece a nova aproximação 1+nx . Esta interpretação justifica o nome de método das tangentes. y xx( ) α 0 x1x2xf θ nx x x( )f n+1 n [Fig. 22]: Interpretação Geométrica do Método de Newton. 1+− ==θ nn n n xx xf xf )( )('tg ⇒ )(' )( n n nn xf xf xx −=+1 2.3.3.2 Convergência do Método de Newton Teorema 3 Seja [ ] ℜ→baf ,: , duas vezes diferenciável, com ( )xf " contínua. Suponha que: i) ( ) ( ) 0 <⋅ bfaf ii) ,)(' 0≠xf ],[ bax ∈∀ iii) )('' xf não troca de sinal em [ ]ba, Então, a seqüência gerada pelas iterações do método de Newton-Raphson utilizando a função ( ) ( )( )xf xf xx ' −=φ que equivale a ( ) ( )n n nn xf xf xx ' −=+1 converge para o único zero α de f , isolado em [ ]ba, , se [ ]bax ,∈0 for escolhido convenientemente. OBS. 14: Para se escolher o ponto inicial 0x , pode-se, por exemplo, fazer 0x =a se ( ) [ ]baa ,∈φ ou 0x = b caso contrário. 2.3.3.3 Algoritmo do Método de Newton Para encontrar uma solução para )(xf =0, dada a derivada de )(xf e uma aproximação inicial 0p . • Dados de Entrada : Aproximação inicial 0p , precisão ou tolerância (ε) e o número máximo de iterações (ITMAX). • Saída : Solução aproximada p ou mensagem de “solução não encontrada”. PASSO 1 Faça i =1 Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 2-31 10 11 12 13 14 Logo, x = Exercício 52 Pelo método da Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma aproximação para x ∈(1,2) da função f ( x )= 2xe− − xcos com aproximação 1ε = 2ε = 410− tal que | f ( nx )|< 1ε ou | 1+nx − nx |< 2ε . Utilize 0x =1,5. Resolução: n nx 1+nx | 1+nx − nx | | f ( 1+nx )| Parada 0 1 2 3 4 5 Logo, x = Exercício 53 Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para x ∈(1,2) da função f ( x )= 2xe− − xcos com aproximação 1ε = 2ε = 410− tal que | f ( nx )|< 1ε ou | 1+nx − nx |< 2ε . Utilize 0x =1,5. Resolução: n nx 1+nx | 1+nx − nx | | f ( nx )| Parada 0 1 Logo, x = Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-32 3 Resolução de sistemas de equações lineares 3.1 Introdução Vários problemas, como cálculo de estruturas de redes elétricas e solução de equações diferenciais, recorrem a resolução numérica de um sistema linear nS de n equações com n incógnitas. 3.1.1 Forma Algébrica de Sn (Eq.11) nS =        =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L MMMM L L 2211 22222121 11212111 ou (Eq.12) nS =∑ = n j jij xa 1 = ib , i =1, 2, …, n . 3.1.2 Forma Matricial de Sn (Eq.13) A ⋅ x = b             nnnn n n aaa aaa aaa L MMM L L 21 22221 11211 ⋅             nx x x M 2 1 =             nb b b M 2 1 . Onde: • A ⇒ matriz dos coeficientes; • x ⇒ vetor das incógnitas (ou vetor solução); • b ⇒ vetor dos termos independentes. 3.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema B =[ A : b ]=             nnnnn n n baaa baaa baaa L MMMM L L 21 222221 111211 . 3.1.4 Solução do Sistema x =( 1x , 2x , …, nx ) T . Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-33 3.1.5 Classificação de um Sistema Linear • COMPATÍVEL: apresenta soluções; • INCOMPATÍVEL: caso contrário. 3.1.6 Classificação quanto ao Determinante de A • Adet ≠0 (SPD) ⇒ sistema linear possível e determinado (SOLUÇÃO ÚNICA); • Adet =0 (SPI) ou (SI): a matriz A é SINGULAR. (SPI) ⇒ Sistema possível e indeterminado, (SI) ⇒ Sistema impossível. OBS. 17: Se ib =0, i =1, 2, …, n , isto é, se b =0, o sistema é dito HOMOGÊNEO. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admite sempre a solução x =0. A solução é chamada TRIVIAL. 3.2 Métodos diretos São métodos que determinam a solução de um sistema linear com um número finito de operações. Definição: Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução. 3.2.1 Método de Eliminação de Gauss Com (n −1) passos, o sistema linear A ⋅ x = b é transformado num sistema triangular superior equivalente. Tome Adet ≠0 como hipótese. A ⋅ x = b ≈ U ⋅ x =c , o que se resolve por substituição. [ A : b ] ≈ [U : c ]             nnnnn n n baaa baaa baaa L MMMM L L 21 222221 111211 ≈             nnn n n cu cuu cuuu L MMMM L L 00 0 2222 111211 . Exercício 54 Resolver o sistema 3S , com 3S =      −=+− =−+ =−+ 132 3344 532 321 321 321 xxx xxx xxx . Resolução: Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-36 Para k =1, 2, …, ( n −1) Para i =( k +1), …, n m = kk ik a a ika =0 Para j =( k +1), …, n ija = ija − m ∗ kja ib = ib − m ∗ kb FIM FIM FIM RESOLUÇÃO DO SISTEMA U ⋅ x =c . nx = nn n a b Para k =( n −1), …, 2, 1 s =0 Para j =( k +1), …, n s = s + kja ∗ jx FIM kx = kk k a sb − FIM 3.2.2 Estratégia de Pivoteamento Completo No momento de se calcular o multiplicador ikm , se o pivô estiver próximo de zero, o método pode ampliar os erros de arredondamento. Para se contornar estes problemas, escolhe- se como pivô ijaMAX , com i , j =1, 2, …, n . Dado A ⋅ x =b , tome B =[ A :b ]. B =                     nnnnqnn ppnpqpp nq nq baaaa baaaa baaaa baaaa LL MMMMM LL MMMMM LL LL 21 21 2222221 1111211 . Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-37 Seja pqa = ijaMAX , (i , j =1, 2, …, n ) o pivô da linha p . Então, calcula-se o multiplicador )(0iqm = − )( )( 0 0 pq iq a a , em cada linha, i∀ ≠ p com i =1, 2, …, n . Assim, anulam-se os elementos ija da coluna q através da operação: )(1 iL ← )(0 iqm ∗ )(0 pL + )(0 iL . Eliminando-se a linha pivotal p , repete-se o processo até que se obtenha )(kiL com k conjuntos de operações elementares aplicadas sobre B , onde k =1, 2, …, ( n −1). Exercício 57 Resolva 4S com arredondamento em duas casas decimais, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo. 4S ⇒ A ⋅ x = b ⇒        −=+−− −=+−− −=−+− =+++ 3106521213081021 880411523084352 74914551188524 416011390378 4321 4321 4321 4321 ,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,, xxxx xxxx xxxx xxxx . Resolução: Linha Multiplicador m Matriz Aumentada (1) )(012m = 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40 (2) )(022m = 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70 (3) 0B ⇒ 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80 (4) )(042m = 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30 (1) )(114m = (2) 1B ⇒ (4) )(144m = (1) )(211m = (4) 2B ⇒ (1) 3B ⇒ Então A ⋅ x = b ≈ U ⋅ x = c ⇒ [ A :b ] ≈ [U :c ]. U ⋅ x = c ⇒ 3.2.3 Refinamento de Soluções Seja )(0x a solução aproximada para A ⋅ x = b . Obtém-se a solução melhorada )(1x aplicando-se a correção )(0δ em )(0x . Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-38 )(1x = )(0x + )(0δ Se A ⋅ )(1x = b , então A ⋅( )(0x + )(0δ )= b A ⋅ )(0x + A ⋅ )(0δ = b ⇒ A ⋅ )(0δ = b − A ⋅ )(0x ⇒ A ⋅ )(0δ = )(0r . Assim, )(0δ vem de [ A : )(0r ]. Obtido o )(0δ , calcula-se )(1x = )(0x + )(0δ . Repete-se o processo para se obter )(2x , )(3x , …, )(kx , até que se tenha a precisão desejada. Logo, obtém-se o refinamento de forma iterativa pela seguinte equação: (Eq.15) )(ix = )( 1−ix + )( 1−δ i , com i =1, 2, …k . Exercício 58 Considerando a resposta x do Exercício 55 , faça o refinamento de x até que se obtenha o resíduo )(kr =0, considerando precisão dupla ( 410− =0,0001), quatro casas decimais. A ⋅ x = b ⇒        −=+−− −=+−− −=−+− =+++ 3106521213081021 880411523084352 74914551188524 416011390378 4321 4321 4321 4321 ,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,, xxxx xxxx xxxx xxxx )(0x = [ ]T001011012011 ,,,, − )(0r = b − A ⋅ )(0x ⇒ )(0r = [ ]T4680082004200240 ,,,, −− REFINAMENTO: )(kx = )( 1−kx + )( 1−δ k A ⋅ )( 1−δ k = )( 1−kr ⇒ [ A : )( 1−kr ] ⇒ )( 1−δ k Resolução: • k =1 [ A : )(0r ] ⇒ )(0δ ⇒ )(1x = )(0x + )(0δ Linha Multiplicador m Matriz Aumentada (1) 0B ⇒ 8,7000 3,0000 9,3000 11,0000 -0,0240 (2) )(021m = 24,5000 -8,8000 11,5000 -45,1000 -0,0420 (3) )(0 31m = 52,3000 -84,0000 -23,5000 11,4000 0,0820 (4) )(0 41m = 21,0000 -81,0000 -13,2000 21,5000 0,4680 (2) 1B ⇒ (3) )(1 32m = (4) )(142m = (3) 2B ⇒ (4) )(243m = (4) 3B ⇒ Considerando 4 casas decimais: Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-41 k )(kx1 )(kx2 )(kx3 )()(max 1 31 − ≤≤ − ki k i i xx 0 0 0 0 - 1 2 3 4 5 6 Com )(0x = [ ]T000 e ε=0,01, o processo convergiu com ........... iterações para: x = 3.3.2.1 Critério das linhas Uma condição suficiente (mas não necessária) para garantir a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado ao sistema xA⋅ = b , com ≠iia 0, i∀ , é (Eq.16) ii n ij j ij aa <∑ ≠ =1 , =i 1, 2, 3, … , n . Neste caso, a matriz dos coeficientes das incógnitas A é dita estritamente diagonal dominante. Exercício 60 Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA⋅ = b , que segue: xA⋅ = b ⇒      =++ −=++ =++ 61032 85 7210 321 321 321 xxx xxx xxx Resolução: =A           1032 151 1210 ⇒ Logo, a matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que garante a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de equações e incógnitas. Exercício 61 Verificar se o critério das linhas é satisfeito no sistema de equações xA⋅ = b , que segue: xA⋅ = b ⇒      −=+ =++ −=++ 686 3225 23 32 321 321 xx xxx xxx Resolução: =A           860 225 131 ⇒ Logo a matriz dos coeficientes A não é estritamente diagonal dominante. Isto significa que não é garantida a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta ordem de equações e incógnitas. Mas permutando adequadamente as equações do sistema, obtém-se o sistema equivalente: Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-42 =A Logo, esta nova matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante, o que garante a convergência do método de Gauss-Jacobi aplicado a este sistema com esta nova ordem de equações e incógnitas. 3.3.3 Método de Gauss-Seidel. É semelhante ao método de Gauss-Jacobi, com a diferença de utilizar )( 1+kix , 1 i≤ < p , para o cálculo de )( 1+kpx . Desta forma, as equações recursivas ficam:               ++++− = ++++− = ++++− = ++++− = + −− +++ + ++ + + + + nn k nnn k n k n k nnk n k nn kkk k k nn kkk k k nn kkk k a xaxaxaxab x a xaxaxaxab x a xaxaxaxab x a xaxaxaxab x )( )( )( )( )( )()( )()()( )( )()()()( )( )()()()( )( )()()()( )( 1 11 1 33 1 22 1 111 33 3434 1 232 1 13131 3 22 2424323 1 12121 2 11 141431321211 1 L MM L L L Exercício 62 Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Seidel, com 1 0 0 ×= nx )( e 210−=ε =0,01. xA⋅ = b ⇒      =++ −=++ =++ 61032 85 7210 321 321 321 xxx xxx xxx Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência fica:          = = = + + + )( )( )( 1 3 1 2 1 1 k k k x x x Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-43 k )(kx1 )(kx2 )(kx3 )()(max 1 31 − ≤≤ − ki k i i xx 0 0 0 0 - 1 2 3 4 Com )(0x = [ ]T000 e ε=0,01, o processo convergiu com ......... iterações para: x = 3.3.4 Comparação entre os métodos Exercício 63 Resolva o sistema xA⋅ = b , utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 1 0 0 ×= nx )( e ε=0,05. xA⋅ = b ⇒      =++ =++ =++ 0633 643 55 321 321 321 xxx xxx xxx Resolução: F = e d = Neste caso a fórmula de recorrência fica: )( 1+kx = F ⋅ )(kx + d ⇒          = = = + + + )( )( )( 1 3 1 2 1 1 k k k x x x k )(kx1 )(kx2 )(kx3 )()(max 1 31 − ≤≤ − ki k i i xx 0 0 0 0 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cálculo Numérico Resolução de sistemas de equações lineares Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 3-46 Então, i i M β= ≤≤ 31 max = Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-47 4 Interpolação 4.1 Interpolação polinomial Uma função f ( x ) pode ser conhecida por um conjunto finito e discreto de n +1 pontos. y x( )f 0 x x( )P x x x x x x1 2 3 4 5 ( , )1x y1 ( , )0x y0 ( , )3x y3 ( , )2x y2 ( , )4x y4 ( , )5x y5 [Fig. 24]: Interpolação de f ( x ) pelo polinômio P ( x ). ix iy 0x 0y 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y Para se INTERPOLAR os n +1 pontos obtidos da tabela, é utilizado um polinômio nP ( x ) de tal forma que: (Eq.17) nP ( ix )= f ( ix ) para i =0, 1, …, n . 4.1.1 Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador Pn(x) Teorema 4 Existe um único polinômio nP ( x ), de grau ≤ n , tal que: nP ( ix )= f ( ix ), com i =0,1,…, n , desde que ix ≠ jx , i ≠ j . Tome nP ( ix )= ∑ = n k k ik xa 0 = f ( ix ) para i =0,1,…, n . Desenvolvendo o sistema f ( ix )= ∑ = n k k ik xa 0 ( i =0,1,…, n ), obtém-se:        ==++++ ==++++ ==++++ )()( )()( )()( nixfxaxaxaa ixfxaxaxaa ixfxaxaxaa n n nnnn n n n n L MMMMM L L 2 210 11 2 12110 00 2 02010 1 0 Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-48 Daí, retira-se a matriz dos coeficientes A para se calcular as incógnitas 0a , 1a ,…, na . A =               n nnn n n xxx xxx xxx L MMMM L L 2 1 2 11 0 2 00 1 1 1 . A é uma matriz de VANDERMONDE e, sendo ix com i =0,1,…,n , pontos distintos, o Adet ≠0. Assim o sistema admite solução única. OBS. 20: Adet =( nx − 1−nx )∗( nx − 2−nx )∗…∗( nx − 0x )∗( 1−nx − 2−nx )∗( 1−nx − 3−nx )∗…∗( 1−nx − 0x ) ∗…∗ ∗( 3x − 2x )∗( 3x − 1x )∗( 3x − 0x )∗( 2x − 1x )∗( 2x − 0x )∗( 1x − 0x ) ⇒ Adet = ( )∏ > − ji ji xx . ENTÃO: O polinômio nP ( x ) existe e é único. 4.1.2 Forma de Lagrange Seja f uma função tabelada em (n +1) pontos distintos 0x , 1x ,…, nx e seja iL ( x ) polinômios de Lagrange de grau n , onde iL é dado por: iL ( x )=∏ ≠ = − −n ij j ji j xx xx 0 )( )( de tal forma que iL ( kx )=    ≠ = ki ki se ,0 se ,1 Exercício 67 Determine iL ( kx ) para i =0,1,2, k =0,1,2 e n =2. Resolução: • i =0 ⇒ 0L ( x )= ))(( ))(( 2010 21 xxxx xxxx −− −− k =0 ⇒ 0L ( 0x )= .......... . k =1 ⇒ 0L ( 1x )= .......... . k =2 ⇒ 0L ( 2x )= .......... . • i =1 ⇒ 1L ( x )= ))(( ))(( 2101 20 xxxx xxxx −− −− k =0 ⇒ 1L ( 0x )= .......... . k =1 ⇒ 1L ( 1x )= .......... . k =2 ⇒ 1L ( 2x )= .......... . • i =2 ⇒ 2L ( x )= ))(( ))(( 1202 10 xxxx xxxx −− −− k =0 ⇒ 2L ( 0x )= .......... . k =1 ⇒ 2L ( 1x )= .......... . k =2 ⇒ 2L ( 2x )= .......... . Para x = kx , com k =0,1,2,…, n , temos: Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-51 4.1.3.1 Tabela Prática (DIFERENÇAS DIVIDIDAS) x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 … ordem n 0x f [ 0x ] f [ 0x , 1x ] 1x f [ 1x ] f [ 0x , 1x , 2x ] f [ 1x , 2x ] f [ 0x , 1x , 2x , 3x ] 2x f [ 2x ] f [ 1x , 2x , 3x ] O f [ 2x , 3x ] f [ 1x , 2x , 3x , 4x ] 3x f [ 3x ] f [ 2x , 3x , 4x ] O f [ 3x , 4x ] M f [ 0x ,…, nx ] 4x f [ 4x ] M N M f [ 3−nx , 2−nx , 1−nx , nx ] M M f [ 2−nx , 1−nx , nx ] f [ 1−nx , nx ] nx f [ nx ] Exercício 69 Interpolar o ponto x =1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton. i 0 1 2 3 ix −1 0 1 2 iy 1 3 1 1 Resolução: n =3 é o grau máximo de 3P ( x ). Tabela de diferenças divididas: x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 −1 0 1 2 Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-52 3P ( x )= f [ 0x ]+( x − 0x )⋅ f [ 0x , 1x ]+( x − 0x )⋅( x − 1x )⋅ f [ 0x , 1x , 2x ]+ +( x − 0x )⋅( x − 1x )⋅( x − 2x )⋅ f [ 0x , 1x , 2x , 3x ] 3P ( x )= 3P ( x )= 3P ( x )= 4.2 Estudo de erro na interpolação Sejam 0x < 1x < 2x <…< nx , (n +1) pontos. Seja f ( x ) com derivadas até ordem (n +1) para x pertencente ao intervalo [ 0x , nx ]. Seja nP ( x ) o polinômio interpolador de f ( x ) nos pontos 0x , 1x , 2x ,…, nx . Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [ 0x , nx ], o erro é dado por: nE ( x )= f ( x )− nP ( x ) (Eq.20) nE ( x )=( x − 0x )⋅( x − 1x )⋅…⋅( x − nx )⋅ )!( )()( 1 1 + ξ+ n f x n onde xξ ∈( 0x , nx ). Esta fórmula tem uso limitado, pois são raras as situações em que )( 1+nf ( x ) é conhecida e o ponto xξ nunca é conhecido. 4.2.1 Estimativa para o Erro Utilizando a (Eq.20), sendo )( 1+nf ( x ) contínua em I =[ 0x , nx ], pode-se escrever: | nE ( x )|=| f ( x )− nP ( x )| | nE ( x )|≤ ∏ = − n i ixx 0 )( ⋅ )!( 1 1 + + n M n , onde 1+nM = )(max )( xf n Ix 1+ ∈ . Ao se construir a tabela de diferenças divididas até ordem n +1, pode-se usar o maior valor em módulo desta ordem como aproximação para )!( 1 1 + + n M n no intervalo I =[ 0x , nx ]. Então: (Eq.21) | nE ( x )|≈ ∏ = − n i ixx 0 )( ⋅ ( )Ddmax sendo Dd os valores da tabela de diferenças divididas de ordem ( n +1). Exercício 70 Seja f ( x ) dada em forma de tabela de valores, como segue: x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72 f ( x ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37 a) Obter f (0,47) usando um polinômio de grau 2; Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-53 b) Dar uma estimativa para o erro. Resolução: Tabela de diferenças divididas: x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72 Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de 2P ( x ). 2P ( x )= f [ 0x ]+( x − 0x )⋅ f [ 0x , 1x ]+( x − 0x )⋅( x − 1x )⋅ f [ 0x , 1x , 2x ] 2P ( x )= 2P ( x )= a) 2P (0,47)= .......... ..........≈ f (0,47) b) | nE (0,47)|≈ | nE (0,47)|≈ .......... Exercício 71 Prove a igualdade seguinte. 1P ( x )= f ( 0x )⋅ 10 1 xx xx − − + f ( 1x )⋅ 01 0 xx xx − − = f [ 0x ]+( x − 0x )⋅ f [ 0x , 1x ] Resolução: x ordem 0 ordem 1 0x f [ 0x ]= .......... f [ 0x , 1x ]= .......... 1x f [ 1x ]= .......... ⇒ 1P ( x )= f [ 0x ]+( x − 0x )⋅ f [ 0x , 1x ] 1P ( x )= ⇔ 1P ( x )= ⇔ 1P ( x )= ⇔ 1P ( x )= Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-56 ⇒ Logo: 3M = | 2E (1,3165)| ≤ 4.4 Funções spline em interpolação Considere f ( x )= 2251 1 x+ tabelada no intervalo [−1,1] nos pontos ix =−1+ n i2 , com i =0,1,…, n . No gráfico abaixo, pode ser observada a função f ( x ) e o polinômio 10P ( x ) que interpola o conjunto discreto de pontos para n =10. x −1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 f ( x ) 0,038 0,059 0,1 0,2 0,5 1,0 0,5 0,2 0,1 0,059 0,038 y x x( )P 1 10 -1 1 01 2- 12 1 2 3 2 x( )f [Fig. 26]: Gráfico do polinômio )(xP10 interpolando )(xf . Em certos casos, a aproximação por nP ( x ) pode ser desastrosa. Uma alternativa é interpolar f ( x ) em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômios de graus menores, e impor condições para que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem. 4.4.1 Função Spline Considere a função f ( x ) tabelada nos pontos 0x < 1x < 2x <…< nx . Uma função pS ( x ) é denominada SPLINE DE GRAU p com nós nos pontos ix , com i =0,1,…,n , se satisfaz as 3 seguintes condições: Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-57 1) Em cada subintervalo [ ix , 1+ix ], com i =0,1,…,( n −1), pS ( x ) é um polinômio de grau p representado por is ( x ). 2) pS ( x ) é contínua e tem derivada contínua até ordem ( p −1) em [ a ,b ]. 3) pS ( ix )= f ( ix ), com i =0,1,…,n . Nestes termos, pS ( x ) é denominada SPLINE INTERPOLANTE. 4.4.2 Spline linear interpolante É representada por 1S ( x ) . 1S ( x ) pode ser escrita em cada subintervalo [ 1−ix , ix ], com i =1,2,…, n como: (Eq.22) is ( x )= f ( 1−ix ) 1−− − ii i xx xx + f ( ix ) 1 1 − − − − ii i xx xx , x∀ ∈[ 1−ix , ix ]. 1S ( x ) definida dessa forma satisfaz as condições 1) , 2) e 3) . Exercício 74 Achar a função spline linear que interpola a função f ( x ) tabelada a seguir. 0x 1x 2x 3x x 1 2 5 7 y = f ( x ) 1 2 3 2,5 y x x( )s 1 1 1 0 x( )f 2 3 4 5 6 7 3 2 2,5 x( )s2 x( )s3 [Fig. 27]: Spline linear interpolando 4 pontos. Resolução: Pela definição, pode-se definir 3 splines lineares para os 4 pontos: 1s ( x ), 2s ( x ) e 3s ( x ). 1s ( x )= 0y 01 1 xx xx − − + 1y 01 0 xx xx − − 1s ( x )= ⇒ 1s ( x )= .......... , x ∈[ .......... , ..........]. 2s ( x )= 1y 12 2 xx xx − − + 2y 12 1 xx xx − − 2s ( x )= ⇒ 2s ( x )= .......... .......... .......... , x ∈[ .......... , ..........]. 3s ( x )= 2y 23 3 xx xx − − + 3y 23 2 xx xx − − Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-58 3s ( x )= ⇒ 3s ( x )= .......... .......... .......... , x ∈[ .......... , ..........]. Então, no intervalo [a ,b ]=[1,7], a spline linear 1S ( x ) é dada por: 1S ( x )= 4.4.3 Spline cúbica interpolante É representada por 3S ( x ) . A spline linear tem derivada primeira descontínua nos nós. A spline quadrática 2S ( x ) tem derivadas contínuas até ordem 1, portanto, pode ter picos ou troca abrupta de curvatura nos nós. A spline cúbica 3S ( x ) é mais utilizada por ter derivadas primeira e segunda contínuas, que faz 3S ( x ) ser mais suave nos nós. Suponha f ( x ) dada por ix , com i =0,1,…, n . Tome 3S ( x ) como spline cúbica de f ( x ) nos nós ix , caso existam n polinômios de grau 3 definidos em cada subintervalo k por ks ( x ), com k =1,2,…, n . Então a spline cúbica 3S ( x ) deve satisfazer as 5 igualdades seguintes: 1) 3S ( x )= ks ( x ) para x ∈[ 1−kx , kx ], k =1,2,…, n . 2) 3S ( ix )= f ( ix ), com i =0,1,…,n . 3) ks ( kx )= 1+ks ( kx ), k =1,2,…,( n −1). 4) ,ks ( kx )= , 1+ks ( kx ), k =1,2,…,( n −1). 5) ,,ks ( kx )= ,, 1+ks ( kx ), k =1,2,…,( n −1). Em cada intervalo [ 1−kx , kx ], ks ( x ) será dada por: (Eq.23) ks ( x )= ka ( x − kx ) 3+ kb ( x − kx ) 2+ kc ( x − kx )+ kd , com k =1,2,…, n . São 4 coeficientes para cada k à serem determinados. Tome a notação kh = kx − 1−kx , para x = 1−kx . Condição 1) : é satisfeita pela definição de ks ( x ). Para a condição 2) , tem-se as equações: (Eq.24) kd = f ( kx )= ks ( kx ), k =1,2,…, n . (Eq.25) 1s ( 0x )= f ( 0x ) ⇒ − 1a 3 1h + 1b 2 1h − 1c 1h + 1d = f ( 0x ), k =1. Condição 3) para k =1,2,…,( n −1). Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-61 Resolução: n =4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ). Spline Natural ⇒ k =1,2,…,( n −1) ⇒ k =1,2,3 ⇒ Utilizando a (Eq.36), segue que: (Eq.36) ⇒ 1−kk gh +2( kh + 1+kh ) kg + 11 ++ kk gh =6     − + + 1 1 k kk h yy −    − − k kk h yy 1 Desenvolvendo o sistema A g =b :          =++ =++ =++ .......... .............................. .......... .............................. .......... .............................. 432 321 210 ggg ggg ggg 0g = 4g = .......... (Spline Natural). Então, A g = b ⇒           .............................. .............................. .............................. ⋅           3 2 1 g g g = ..........∗           .......... .......... .......... . Substituindo os valores:           .............................. .............................. .............................. ⋅           3 2 1 g g g =           .......... .......... .......... ⇒ g =           .......... .......... .......... . Forma geral de is ( x ) ⇒ is ( x )= ia ( x − ix ) 3+ ib ( x − ix ) 2+ ic ( x − ix )+ id , com i =1,2,3,4. f (0,25) ≈ 1s (0,25) 1a = h gg 6 01 − = .......... ⇒ 1a = .......... 1b = 2 1g = .......... ⇒ 1b = .......... 1c = h yy 01 − + 6 2 01 hghg + = .......... ⇒ 1c = .......... 1d = 1y = .......... ⇒ 1d = .......... Logo, 1s (0,25)= .......... ⇒ 1s (0,25)= .......... .......... ≈ f (0,25) . Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-62 Considerando os próximos 5 exercícios, encontrar uma aproximação para f ( x ) por spline cúbica natural, interpolando a tabela: 0x 1x 2x 3x 4x x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 y = f ( x ) 3 1,8616 −0,5571 −4,1987 −9,0536 n =4, logo, procura-se 1s ( x ), 2s ( x ), 3s ( x ) e 4s ( x ). Do exercício anterior, a forma geral de is ( x ) é dada por: is ( x )= ia ( x − ix ) 3+ ib ( x − ix ) 2+ ic ( x − ix )+ id , com i =1,2,3,4. Exercício 76 f (0,8). Resolução: f (0,8) ≈ 2s (0,8) 2a = h gg 6 12 − = .......... ⇒ 2a = .......... 2b = 2 2g = .......... ⇒ 2b = .......... 2c = h yy 12 − + 6 2 12 hghg + = .......... ⇒ 2c = .......... 2d = 2y = .......... ⇒ 2d = .......... Logo, 2s (0,8)= .......... ⇒ 2s (0,8)= .......... .......... ≈ f (0,8) . Exercício 77 f (1,1). Resolução: f (1,1) ≈ 3s (1,1) 3a = h gg 6 23 − = .......... ⇒ 3a = .......... 3b = 2 3g = .......... ⇒ 3b = .......... 3c = h yy 23 − + 6 2 23 hghg + = .......... ⇒ 3c = .......... 3d = 3y = .......... ⇒ 3d = .......... Logo, 3s (1,1)=−0,7137(−0,4) 3−3,1260(−0,4)2−8,6678(−0,4)−4,1987 ⇒ 3s (1,1)= .......... .......... ≈ f (1,1) . Cálculo Numérico Interpolação Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 4-63 Exercício 78 f (1,2). Resolução: f (1,2) ≈ 3s (1,2) 3a = h gg 6 23 − = .......... ⇒ 3a = .......... 3b = 2 3g = .......... ⇒ 3b = .......... 3c = h yy 23 − + 6 2 23 hghg + = .......... ⇒ 3c = .......... 3d = 3y = .......... ⇒ 3d = .......... Logo, 3s (1,2)= .......... ⇒ 3s (1,2)= .......... .......... ≈ f (1,2) . Exercício 79 f (1,3). Resolução: f (1,3) ≈ 3s (1,3) 3a = h gg 6 23 − = .......... ⇒ 3a = .......... 3b = 2 3g = .......... ⇒ 3b = .......... 3c = h yy 23 − + 6 2 23 hghg + = .......... ⇒ 3c = .......... 3d = 3y = .......... ⇒ 3d = .......... Logo, 3s (1,3)= .......... ⇒ 3s (1,3)= .......... .......... ≈ f (1,3) . Exercício 80 f (1,7). Resolução: f (1,7) ≈ 4s (1,7) 4a = h gg 6 34 − = .......... ⇒ 4a = .......... 4b = 2 4g = .......... ⇒ 4b = .......... 4c = h yy 34 − + 6 2 34 hghg + = .......... ⇒ 4c = .......... 4d = 4y = .......... ⇒ 4d = .......... Logo, 4s (1,7)= .......... ⇒ 4s (1,7)= .......... .......... ≈ f (1,7) . Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-66 ),,,,( n j F αααα α∂ ∂ L321 =0, j =1, 2, 3, …, n , isto é: ),,,,( n j F αααα α∂ ∂ L321 = 2·∑ = −⋅α−−α−α− m k kjknnkkk xgxgxgxgxf 1 2211 )]([)]()()()([ L =0, j =1, 2, 3, …, n ou ∑ = ⋅α−−α−α− m k kjknnkkk xgxgxgxgxf 1 2211 )]([)]()()()([ L =0, j =1, 2, 3, …, n Assim, tem-se o seguinte sistema de n equações lineares com n incógnitas 1α , 2α , 3α , … , nα : (Eq.37)             =⋅α−−α−α− =⋅α−−α−α− =⋅α−−α−α− ∑ ∑ ∑ = = = 0 0 0 1 2211 1 22211 1 12211 m k knknnkkk m k kknnkkk m k kknnkkk xgxgxgxgxf xgxgxgxgxf xgxgxgxgxf )]([)]()()()([ )]([)]()()()([ )]([)]()()()([ L MM L L Que é equivalente a: (Eq.38)             ⋅=α⋅      ⋅++α⋅      ⋅ ⋅=α⋅      ⋅++α⋅      ⋅ ⋅=α⋅      ⋅++α⋅      ⋅ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ === === === )()()()()()( )()()()()()( )()()()()()( k m k knn m k knkn m k kkn k m k kn m k knk m k kk k m k kn m k knk m k kk xfxgxgxgxgxg xfxgxgxgxgxg xfxgxgxgxgxg 11 1 1 1 1 2 1 21 1 12 1 1 1 11 1 11 L MM L L As equações deste sistema linear são chamadas de equações normais. Este sistema pode ser escrito na forma matricial bA =α⋅ :        =α+++ =α+++ =α+++ αα αα αα nnnnnn nn nn baaa baaa baaa L MMMM L L 21 21 21 21 222221 111211 Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-67 onde =A ( ija ) tal que ija ∑ = ⋅= m k kjki xgxg 1 )()( ∑ = =⋅= m k jikikj axgxg 1 )()( , ou seja, A é uma matriz simétrica; T n ],,,[ ααα=α L21 e T nbbbb ],,,[ L21= é tal que ∑ = ⋅= m k kkii xfxgb 1 )()( . Lembrando que, dados os vetores x e y mℜ∈ o número real ∑ = ⋅=〉〈 m k kk yxyx 1 , é chamado de produto escalar de x por y , e usando esta notação no sistema normal bA =α⋅ , tem-se: 〉〈= jiij gga , e 〉〈= fgb ii , onde: lg é o vetor T mllll xgxgxgxg )]()()()([ 321 L e f é o vetor Tmxfxfxfxf )]()()()([ 321 L . Desta forma o sistema na forma matricial fica: (Eq.39)               〉〈 〉〈 〉〈 =             α α α ⋅             〉〈〉〈〉〈 〉〈〉〈〉〈 〉〈〉〈〉〈 fg fg fg gggggg gggggg gggggg nnnnnn n n , , , ,,, ,,, ,,, MM L MMM L L 2 1 2 1 21 22212 12111 Demonstra-se que, se as funções 1g ( x ), 2g ( x ), 3g ( x ), … , ng ( x ) forem tais que os vetores ,,,,, ngggg L321 sejam linearmente independentes (LI), então 0≠Adet e o sistema de equações é possível e determinado (SPD). Demonstra-se ainda que a solução única deste sistema, 1α , 2α , 3α , … , nα é o ponto em que a função F ( 1α , 2α , 3α ,…, nα ) atinge seu valor mínimo. OBS. 22: Se os vetores ,,,,, ngggg L321 forem ortogonais entre si, isto é, se 0=〉〈 ji gg , se ji ≠ e 0≠〉〈 ji gg , se ji = , a matriz dos coeficientes A será uma matriz diagonal, o que facilita a resolução do sistema bA =α⋅ . Exercício 81 (Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta. i 1 2 3 4 5 ix 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 )( ixf 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 Resolução: Fazendo )()()( xgxgxg 2211 ⋅α+⋅α= e considerando =)(xg1 .......... e =)(xg 2 .......... , tem-se: )(xg = ................................................. . Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes 1α e 2α , que são solução do seguinte sistema na forma matricial:       〉〈 〉〈 =      α α ⋅      〉〈〉〈 〉〈〉〈 fg fg gggg gggg , , ,, ,, 2 1 2 1 2212 2111 1g =[ .......... .......... .......... .......... ..........] T 2g =[ .......... .......... .......... .......... ..........] T f =[ .......... .......... .......... .......... ..........] T Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-68 =〉〈 11 gg , ............................................................................................................................................................................. =〉〈 21 gg , ............................................................................................................................................................................. =〉〈 12 gg , ............................................................................................................................................................................. =〉〈 22 gg , ............................................................................................................................................................................. =〉〈 fg ,1 ............................................................................................................................................................................. =〉〈 fg ,2 ............................................................................................................................................................................. Assim, Logo a equação da reta procurada é: )(xg = ................................................. Exercício 82 Ajustar os dados da tabela através da parábola )(xg = 2x : i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ix −1 −0,75 −0,6 −0,5 −0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 )( ixf 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05 y x 2 1-1 1 [Fig. 31]: Diagrama de dispersão. Resolução: Fazendo )()( xgxg 11 ⋅α= e considerando )(xg1 = 2x , obtém-se )(xg = .................... . Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário encontrar 1α do sistema: [ ] [ ] [ ]〉〈=⋅〉〈 1111 gfgg ,, α 1g =[ .................... .................... .................... … .................... .................... ] T f =[ .................... .................... .................... … .................... .................... ] T =〉〈 11 gg , ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. =〉〈 fg ,1 ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. Assim, 1α = .................... . Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-71 Exercício 84 Aproximar a função f ( x )=4 3x por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no intervalo [0,1]. Resolução: g ( x )= 1α 1g ( x )+ 2α 2g ( x )= ................................................. , isto é, 1g ( x )= .......... e 2g ( x )= .......... . A α=b ⇒       2221 1211 aa aa ⋅       α α 2 1 =       2 1 b b ⇒       〉〈〉〈 〉〈〉〈 2212 2111 gggg gggg ,, ,, ⋅       α α 2 1 =       〉〈 〉〈 2 1 gf gf , , 11a = 〉〈 11 gg , = .......... 12a = 〉〈 21 gg , = 〉〈 12 gg , = 21a = .......... 22a = 〉〈 22 gg , = .......... 1b = 〉〈 1gf , = .......... 2b = 〉〈 2gf , = .......... A α=b ⇒ Logo: g ( x )= ................................................. ≈ f ( x )=4 3x em [0,1]. Exercício 85 Aproximar a função f ( x )= xe no intervalo [0,1] por uma reta. Resolução: g ( x )= 1α 1g ( x )+ 2α 2g ( x )= ................................................. , isto é, 1g ( x )= .......... e 2g ( x )= .......... . A α=b ⇒       2221 1211 aa aa ⋅       α α 2 1 =       2 1 b b ⇒       〉〈〉〈 〉〈〉〈 2212 2111 gggg gggg ,, ,, ⋅       α α 2 1 =       〉〈 〉〈 2 1 gf gf , , 11a = 〉〈 11 gg , = .......... 12a = 〉〈 21 gg , = 〉〈 12 gg , = 21a = .......... 22a = 〉〈 22 gg , = .......... 1b = 〉〈 1gf , = .......... 2b = 〉〈 2gf , = .......... Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-72 Usando o método de integração por partes em 2b : ∫ ⋅ dvu = ∫ ⋅−⋅ duvvu g ( x )= ................................................. ≈ f ( x )= xe em [0,1]. 5.4 Família de Funções Não Lineares nos Parâmetros Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode ser não linear nos parâmetros, isto é, g ( x ) não é da forma )(xgk m k k ⋅α∑ =1 . Nestes casos é preciso efetuar uma “linearização”, através de transformações convenientes. Exemplos: 1o) f ( x )≈ xe 21 α⋅α = g ( x ) fln ( x )≈ ln xe 21 α⋅α = 1αln + x⋅α2 = G ( x ). Fazendo 11 a=αln e 22 a=α , tem-se: G ( x )= 1a + xa ⋅2 , Desta forma G ( x )≈ fln ( x ), sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros 1a e 2a . 2o) f ( x )≈ x⋅α+α 21 1 = g ( x ) )(xf 1 ≈ x⋅α+α 21 = G ( x ). Fazendo 11 a=α e 22 a=α , tem-se: G ( x )= 1a + xa ⋅2 , Desta forma G ( x )≈ )(xf 1 , sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros 1a e 2a . 3o) f ( x )≈ x⋅α+α 21 = g ( x ) 2f ( x )≈ x⋅α+α 21 = G ( x ). Fazendo 11 a=α e 22 a=α , tem-se: G ( x )= 1a + xa ⋅2 , Desta forma G ( x )≈ 2f ( x ), sendo que G ( x ) é linear nos parâmetros 1a e 2a . Cálculo Numérico Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 5-73 Exercício 86 Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma g ( x )= 1α ⋅ xe 2α . x 0 1 2 f ( x ) 1 0,5 0,7 Resolução: Desta forma, “linearizando” a função g ( x )= 1α ⋅ xe 2α , como no primeiro exemplo anterior, tem-se:       〉〈〉〈 〉〈〉〈 2212 2111 gggg gggg ,, ,, ⋅       2 1 a a =       〉〈 〉〈 2 1 g g , , 1g =[ .......... .......... ..........] T 2g =[ .......... .......... ..........] T .................... =[ .................... .................... .................... ] T 〉〈 11 gg , = ............................................................................................................................................................................. 〉〈 21 gg , = ............................................................................................................................................................................. 〉〈 12 gg , = 〉〈 21 gg , = .......... 〉〈 22 gg , = ............................................................................................................................................................................. 〉〈 1g,.............. = ............................................................................................................................................................................. 〉〈 2g,............. = ............................................................................................................................................................................. ⇒ g ( x )= ................................................. ≈ f ( x ). Os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos quadrados, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por mínimos quadrados e não o problema original. Portanto, os parâmetros 1a e 2a do exemplo, são os que ajustam a função G ( x ) à função ln f ( x ), no sentido dos mínimos quadrados. Não se pode afirmar que os parâmetros 1α e 2α (obtidos de 1a e 2a ) são os que ajustam g ( x )= 1α ⋅ xe 2α à f ( x ), dentro do critério dos mínimos quadrados. Cálculo Numérico Integração Numérica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 6-76 Logo, | TE |≤ .................... . 6.1.2 Regra dos Trapézios repetida y x00 x( )f xa= n xb=1x1x 2x 3x - n [Fig. 33]: Regra dos trapézios repetida h = 1x − 0x = 2x − 1x = 3x − 2x = … = nx − 1−nx h = n ab − , com n sendo o número de subdivisões do intervalo [a ,b ]. ∫ b a dxxf )( ≈ 1A + 2A + 3A +…+ nA tal que iA =área do trapézio i , com i =1,2,…,n . iA = 2 h [ f ( 1−ix )+ f ( ix )] (Eq.46) ∫ b a dxxf )( ≈ 2 h [ f ( 0x )+ f ( nx )+2⋅∑ − = 1 1 n i ixf )( ] 6.1.2.1 Estimativa para o Erro (Eq.47) | TRE |≤ 2 3 12n ab )( − ],[ max bax∈ | "f ( x )| Exercício 88 Calcular ∫ − 9 1 56x dx empregando o método dos trapézios com 8 repetições. Determine uma aproximação para o erro cometido. Resolução: Cálculo Numérico Integração Numérica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 6-77 x 0x = ....... 1x = ....... 2x = ....... 3x = ....... 4x = ....... 5x = ....... 6x = ....... 7x = ....... 8x = ....... f ( x ) ∫ − 9 1 56x dx ≈ .................... . Erro cometido será, no máximo: | TRE | ≤ .................... . Neste caso em particular, f ( x ) pode ser integrada de forma exata: ∫ − 9 1 56x dx = .................... . Exercício 89 Seja I = ∫ 1 0 dxex . Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a regra dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido. Resolução: ∫ 1 0 dxex ≈ .................... . Erro cometido será, no máximo: | TRE | ≤ .................... . Exercício 90 Seja I = ∫ 1 0 dxex . Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos trapézios repetida aplicada em I , de modo que o erro seja inferior a 10−3? Resolução: n = .................... . 6.1.3 Regra 1/3 de Simpson É obtida aproximando-se a função f ( x ) da (Eq.41) por um por um polinômio interpolador de 2o grau, 2p ( x ), que é dado pela fórmula de Lagrange: 2p ( x )= 0L ( x ) f ( 0x )+ 1L ( x ) f ( 1x )+ 2L ( x ) f ( 2x ) Cálculo Numérico Integração Numérica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 6-78 tal que iL ( x )= ∏ ≠ = − −2 0 ij j ji j xx xx )( )( , com i =0,1,2. y x00 xa= b=1x 2x x( )f h m=h ( )f 0x ( )f 2x ( )f 1x x( )p2 [Fig. 34]: Regra 1/3 de Simpson. 0x = a , 1x = m e 2x =b m = 1x = 2 ba + h = 2 ab − 0x − 1x =−h , 0x − 2x =−2h , 1x − 0x = h , 1x − 2x =−h , 2x − 0x =2h , 2x − 1x = h . 2p ( x )= ))(( ))(( hh xxxx 2 21 −− −− f ( 0x )+ ))(( ))(( hh xxxx − −− 20 f ( 1x )+ ))(( ))(( hh xxxx 2 10 −− f ( 2x ) ∫ b a dxxf )( = ∫ 2 0 x x dxxf )( ≈ ∫ 2 0 2 x x dxxp )( = 2 0 2h xf )( ∫ −− 2 0 21 x x dxxxxx ))(( − 2 1 h xf )( ∫ −− 2 0 20 x x dxxxxx ))(( + 2 2 2h xf )( ∫ −− 2 0 10 x x dxxxxx ))(( = 3 h [ f ( 0x )+4 f ( 1x )+ f ( 2x )]. Logo: (Eq.48) ∫ b a dxxf )( = ∫ 2 0 x x dxxf )( ≈ 3 h [ f ( 0x )+4 f ( 1x )+ f ( 2x )]. 6.1.3.1 Estimativa para o Erro ∫ 2 0 x x dxxf )( = ∫ 2 0 2 x x dxxp )( + ∫ 2 0 2 x x dxxR )( (Eq.49) SE = ∫ b a dxxR )(2 = ∫ −−− b a xxxxxx ))()(( 210 ! )(''' 3 xf ξ dx Cálculo Numérico Integração Numérica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 6-81 Exercício 91 Seja I = ∫ 1 0 dxex . Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com m =10. Estime o erro cometido. Resolução: ∫ 1 0 dxex ≈ ................................................. . Estimativa do erro: SRE ≤ ................................................. . Observe que SRE ≤ ................................................. e TRE ≤ ................................................. . Exercício 92 Seja I = ∫ 1 0 dxex . Para que valor de m teríamos erro inferior a 10−3? Resolução: m = .................... ⇒ Para um erro inferior a 10 −3 seriam necessários .......... subintervalos. Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários .......... intervalos. Exercício 93 Seja I = ∫ 10 6 xdxlog . Aproxime I com a regra dos trapézios com 8 repetições. Estime o erro cometido. Resolução: h = ................................................. ⇒ h = .................... . i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ix )( ixf Cálculo Numérico Integração Numérica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 6-82 ∫ 10 6 xdxlog ≈ ................................................. . Estimativa do erro: ⇒ TRE ≤ ................................................. . Exercício 94 Seja I = ∫ 10 6 xdxlog . Aproxime I com a regra de Simpson com 8 subintervalos. Estime o erro cometido. Resolução: h = ................................................. ⇒ h = .................... . m = .......... e n = .......... . i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ix )( ixf ∫ 10 6 xdxlog ≈ ................................................. . Estimativa do erro: ⇒ SRE ≤ ................................................. . Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 7-83 7 Solução numérica de equações diferenciais ordinárias 7.1 Introdução Se uma equação diferencial tem apenas uma variável independente, então ela é uma equação diferencial ordinária. EXEMPLOS: dx dy = x + y ; ,y = 2x + 2y ; ,,y +(1− 2y ) ,y + y =0. Se uma equação diferencial envolve mais que uma variável independente, então ela é equação diferencial parcial. EXEMPLO: 2 2 x u ∂ ∂ + 2 2 y u ∂ ∂ =0, com u ≡ u ( x , y ). A ordem de uma equação diferencial é a mais alta ordem de derivação que aparece na equação. Se, dada uma equação diferencial de ordem n , a função, assim como suas derivadas até ordem n −1, são especificadas em um mesmo ponto, então temos um problema de valor inicial (PVI). Se, em problemas envolvendo equações diferenciais ordinárias de ordem n , n ≥2, as n condições fornecidas não são dadas todas num mesmo ponto, então temos um problema de valor de contorno (PVC). Exercício 95 Resolver a seguinte EDO: dx dy =− xy . Resolução: ⇒ y = .................... , para k ∈ℜ. Que representa uma família de curvas em ℜ 2. Exercício 96 Para a mesma EDO anterior, ,y =− xy , resolva considerando uma condição inicial y ( 0x )= 0y , com 0x =0 e 0y =1. Resolução: y = .................... . Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 7-86 j =1: TABELA: j jx jy y ( jx ) jy − y ( jx )= je 0 0 2 2 1 2,004837 2 2,018731 3 2,040818 4 2,07032 5 2,106531 6 2,148812 7 2,196585 8 2,249329 9 2,30657 10 2,367879 Na pratica, não se dispõe da solução exata y ( jx ) do PVI. Daí a necessidade de se determinar uma expressão matemática para o erro. Usa-se a fórmula de Taylor para desenvolver y ( x ), solução teórica do PVI, em torno de 0x : (Eq.61) y ( x )= y ( 0x )+ !1 0xx − ,y ( 0x )+ ! )( 2 2 0xx − ,,y ( 0x )+ ! )( 3 3 0xx − ,,,y ( 0x )+… Fazendo x = 1x e lembrando que y ( 0x )= 0y , 1x − 0x =h , ,y ( 0x )= f ( 0x , y ( 0x )) e 1y = y ( 1x ), toma-se os dois primeiros termos da (Eq.61): 1y = 0y + h ⋅ f ( 0x , 0y ). Generalizando-se, tem-se (Eq.59). 7.2.2.3 Erro local de truncamento - ELT O erro no método de Euler quando se calcula 1y é obtido a partir do resto da fórmula de Taylor, que é: ! )( 2 2 0xx − ,,y (ξ), 0x <ξ< 1x , ou 1e = !2 2h ,,y (ξ), para h = 1x − 0x . Numa etapa j dos cálculos, tem-se: (Eq.62) je = !2 2h ,,y (ξ), 1−jx <ξ< jx , que é o ERRO LOCAL DE TRUNCAMENTO – ELT. Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 7-87 Na prática, procura-se estabelecer COTAS ou ESTIMATIVAS para que se possa conduzir o cálculo do erro com segurança. Toma-se k = ,,y (ξ), constante, e h suficientemente pequeno para ser tomado como parâmetro do ELT. Diz-se que ELT é da ordem de 2h e se escreve ( 2h ). 7.2.3 Métodos de Runge-Kutta 7.2.3.1 Métodos de passo simples Um método para resolver o PVI (Eq.56) é de passo simples se a aproximação 1+jy depende apenas do resultado jy da etapa anterior. Forma geral para métodos de passo simples: (Eq.63) 1+jy = jy + h φ( jx , jy ; h ), para j =0,1,2,…,m −1. Onde φ é a função incremento e h o comprimento do passo. OBS. 24: Para o método de Euler, a função incremento é φ( jx , jy ;h )= f ( jx , jy ). Um caso especial de Runge-Kutta. 7.2.3.2 Métodos com Derivadas O método de Euler possui ordem um pois, foi obtido da fórmula de Taylor com desenvolvimento até o termo em h . Ao fazer o mesmo desenvolvimento até o termo em 2h , obtém-se o método de passo simples e ordem dois. (Eq.64) 1+jy = jy + h ,y ( jx )+ !2 2h ,,y ( jx ), para j =0,1,2,…, m −1. 7.2.3.3 ELT – Erro local de truncamento (Eq.65) 1+je = !3 3h ,,,y (ξ), jx <ξ< 1+jx . OBS. 25: Em (Eq.64), ,y ( jx )= f ( jx , jy ). ,,y ( jx )=? Regra da cadeia de f em relação a jx : 43421 )(,, ),( jxy jj yxx f = ∂ ∂ = x f ∂ ∂ ( jx , jy ) 43421 1= ∂ ∂ ),( jj yxx x + y f ∂ ∂ ( jx , jy ) 43421 ),( ),( jj yxf jj yxx y = ∂ ∂ ,,y ( jx )= x f ∂ ∂ ( jx , jy )+ y f ∂ ∂ ( jx , jy ) f ( jx , jy ) Exercício 98 Achar aproximações para a solução do PVI    = +−= 20 2 )( , y yxy na malha [0,1] com h =0,1 usando o método da (Eq.64). Resolução: Cálculo Numérico Solução numérica de equações diferenciais ordinárias Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 7-88 0x =0, 0y =2, a =0, b =1, m = 10 01 , − → m =10. Usar (Eq.64) para j =0,1,…,9. j =0: j =1: TABELA: j jx jy y ( jx ) jy − y ( jx )= je 0 0 2 2 1 2,004837 2 2,018731 3 2,040818 4 2,07032 5 2,106531 6 2,148812 7 2,196585 8 2,249329 9 2,30657 10 2,367879 7.2.4 Método de Euler Aprimorado (Método de Runge- Kutta de Segunda Ordem) Retomando a (Eq.62): 1+jy = jy +h φ( jx , jy ; h ), para j =0,1,2,…, m −1.
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