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Universidade Tecnológica Federal do Paraná Departamento Acadêmico de Matemática

Disciplina: Cálculo Numérico (IF 33R) Lista de Exercícios

Profª Angela Olandoski Barboza Curitiba - 2006

Exercícios do Capítulo 1 Noções Básicas sobre Erros

1) Calcular os erros absoluto e relativo para os itens a seguir:

2) Dado o número de Euler 718281828,2e=:

a) Truncar e na 4ª casa decimal:

b) Arredondar e na 4ª casa decimal:

3) Seja a série de MacLaurin:

com intervalo de convergência ()+∞∞−,.

Faça a aproximação para )1(sen através de um truncamento após quatro termos da somatória. Encontre também o valor de

)1(sen em sua calculadora. Compare os resultados.

4) Converta os seguintes números binários para a forma decimal:

a) 253,457810 = x2

5) Transforme para a base que se pede: b) ) 38510 = y3

6) Represente os números que se seguem em ponto flutuante com 5 algarismos significativos usando a base 10. Se a representação não for exata, dê as duas representações, truncada e arredondada. Exemplo:

Número

Representação

Truncada

Representação Arredondada

Número Representação

Truncada

Representação Arredondada a) 7

7) Considere uma máquina com sistema de representação de números definido por: base 10 ()10=β, 5 dígitos na mantissa (t = 5) e expoente no intervalo [-6, 6]. Pede-se: a) Escreva o menor e o maior número em módulo nesta representação; b) Como será representado o número 123456 se for usado o arredondamento? c) E se for utilizado o truncamento? d) Se x = 452700 e y = 4, qual o resultado de x + y? Justifique o resultado.

8) Complete as tabelas efetuando os cálculos a seguir de três formas: (i) exatamente; (i) utilizando uma aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos e o método de truncamento; (i) utilizando uma aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos e o método de arredondamento.

Exercícios do Capítulo 2 – Zeros Reais de Funções Reais

9) Pesquise a existência de raízes das funções a seguir e se houver raízes, encontre o intervalo onde estas estão isoladas usando o método analítico (1) e gráfico (2).

10) Dada a função )x(tgh)xln()x(f−=, determine um intervalo que contenha uma única raiz positiva αde f(x). Para este intervalo calcule o número de iterações necessárias para obter uma aproximação para a raiz com precisão 410−=ε.

1) Aplique o Método da Bissecção para encontrar uma aproximação para a raiz negativa da função 1.0x.5x)x(f3+−=. Considere o critério de parada dado por ε≤ −2 ab com

210−=ε. Num primeiro passo, faça o isolamento da raiz para então completar a tabela.

12) Isolar as raízes de f(x) = 0 por um dos métodos já definidos pode ser um problema difícil. Considere )x1,3cos()xcos()x(f−=. Esta função muda de sinal em I = [-1, 8]. Possui portanto, mais de uma raiz neste intervalo. Suponha que você deseja encontrar a menor raiz positiva. Faça então um esboço gráfico de cos(x) e cos(3,1x) e determine um intervalo com amplitude de 0,1 e aplique o Método da Bissecção para uma precisão

13) Utilize manipulações algébricas para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em x para 0)x(f= sendo 3xx2x)x(f24−−+=.

b)

14) Utilize o Método do Ponto Fixo para determinar uma aproximação para 325 com precisão 410−=ε. Para tanto: a) Encontre uma função f(x) para efetuar este cálculo; b) Mostre através de manipulações algébricas que x

5 )x(=φ é uma função de ponto fixo para a f(x) encontrada; c) Isole a raiz num intervalo [a, b] tal que Zb,a∈; d) Verifique as hipóteses do Teorema 2 para certificar-se que esta função faz com que o método convirja dentro do intervalo [a, b]; e) Escolha convenientemente x0; f) Aplique o método, preenchendo a tabela a seguir:

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1

n xn xn+1 |xn+1 – xn| g) Encontre o valor de 325 usando a calculadora e compare os resultados:

15) Seja ())xln(2x)x(f2−−=. a) Isole as raízes desta função utilizando um dos métodos estudados; b) Verifique as hipóteses do Teorema 3 c) Encontre a fórmula de iteração para o Método de Newton; d) Escolha x0 convenientemente para encontrar a menor raiz; e) Complete a tabela para encontrar x de tal forma que |xn+1 – xn| ≤ 10

0
1

n xn xn+1 |xn+1 – xn| 2

16) O polinômio 9x221x9x18x230)x(f234−−++= tem dois zeros reais. Um no intervalo

[-1, 0] e o outro em [0, 1]. Encontre o valor aproximado do zero negativo com uma precisão de 10 -6 utilizando:

a) Método da Bissecção:

b) Método de Newton:

0
1
2

n xn xn+1 |xn+1 – xn| c) Compare o número de iterações dos dois métodos e o resultado obtido.

17) O Engenheiro recém formado M. J. Hesitant projetou um reservatório de água na forma de semi-esfera de raio 4m que será utilizado em um prédio e cometeu um erro no cálculo:

o volume de água possível neste reservatório é bem maior que 50m3 , estabelecido como limite. Dessa forma, é preciso determinar o nível h máximo que a água pode atingir nesse recipiente para não ultrapassar o limite de volume estabelecido. Determine o valor de h com erro inferior a 10 -3 usando o Método de Newton-Raphson.

A fórmula que calcula o volume com os dados exibidos na figura é:)hR3(h3 V 2 −= π

0
1
2
3

18) A corrente elétrica em um circuito varia com o tempo conforme a seguinte expressão:

)5,0t..2cos(.e.9I1+=−π. Deseja-se determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial (quando t = 0). Efetue três iterações com o Método de Newton e adote como aproximação inicial t0 = 0,2s. Determine o erro |tn+1 – tn| a cada iteração.

0
1
2
3

h R

Exercícios do Capítulo 3 – Resolução de Sistemas de Equações Lineares

19) Utilize a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três algarismos significativos com arredondamento para resolver os sistemas lineares a seguir. Não reordene as equações.

LinhaMultiplicador mMatriz Aumentada

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