Livro de Analise Real de Cassio Neri

Livro de Analise Real de Cassio Neri

(Parte 1 de 5)

Instituto de Matematica Universidade Federal do Rio de Janeiro curso de analise real δδδεεε Cassio Neri

Curso de Analise Real

Cassio Neri Professor do Instituto de Matematica - UFRJ

Rio de Janeiro - RJ - Brasil 2006

Copyright c© 2006 de Cassio Neri Moreira

Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1998. O autor e titular dos direitos autorais desta obra, permite a reproducao e distribuicao da mesma, total ou parcial, exclusivamente para fins nao comerciais desde que a autoria seja citada.

Neri, Cassio

Curso de Analise Real / Cassio Neri - 1 ed - Rio de Janeiro. 163p.

Inclui Bibliografia

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Sabe o que te acontecera, praticando o desenho a pena? tornar-te-as perito, pratico, e capaz de muitos desenhos dentro de tua mente.

- Cennino Cennini da Colle di Valdelsa Il Libro dell’arte (1437) - Cap. XIII.

Sumario

1.1 Conjuntos e elementos1
1.2 Operacoes com conjuntos3
1.3 Simplificando a escrita5
1.4 ⋆ Teoria dos Conjuntos e facil?5
1.5 Funcoes6
1.6 Famılias9
1.7 Exercıcios10

1 Nocoes de Teoria dos Conjuntos 1

2.1 Numeros naturais e inteiros13
2.2 Conjuntos finitos, enumeraveis e nao enumeraveis15
2.3 ⋆ O Hotel de Hilbert20
2.4 Numeros racionais: operacoes e enumerabilidade21
2.5 Numeros racionais: ordem24
2.6 Numeros racionais: propriedade arquimediana25
2.7 Exercıcios25

2 Numeros naturais, inteiros e racionais 13

3.1 A polemica descoberta dos incomensuraveis29
3.2 ⋆ Cortes de Dedekind30
3.3 Numeros reais41
3.4 Exercıcios4

3 Numeros reais 29 v vi SUMARIO

4.1 Sequencias e subsequencias47
4.2 Sequencias convergentes48
4.3 Sequencias monotonas e sequencias limitadas51
4.4 Sequencias de Cauchy52
4.5 Limites infinitos53
4.6 Operacoes com limites54
4.7 ⋆ Limite superior e limite inferior56
4.8 Series57
4.9 ⋆ A serie dos inversos dos primos62
4.10 Exercıcios63

4 Sequencias e series 47

5.1 Introducao67
5.2 Pontos interiores e conjuntos abertos68
5.3 Pontos de aderencia e conjuntos fechados69
5.4 Conjuntos compactos71
5.5 Conjuntos densos73
5.6 Exercıcios74

5 Topologia de R 67

6.1 Limite de funcoes7
6.2 Os quinze tipos de limite81
6.3 Funcoes contınuas82
6.4 O Teorema do Valor Intermediario84
6.5 Funcoes contınuas definidas em compactos85
6.6 ⋆ Pontos fixos para funcoes contınuas87
6.7 Exercıcios89

6 Limite e continuidade 7

7.2 Propriedades operatorias96
7.3 Extremos locais e o Teorema do Valor Medio9
7.4 Derivadas de ordem superior e Formulas de Taylor102
7.5 ⋆ O Metodo de Newton106
7.6 ⋆ Regras de L’Hospital107
7.7 Exercıcios109

SUMARIO vii

8.1 Somas superiores e inferiores113
8.2 Integral e funcoes integraveis116
8.3 Os Teoremas Fundamentais do Calculo124
8.4 ⋆ A constante π127
8.5 Mudanca de variaveis e integracao por partes128
8.6 O Teorema de Lebesgue129
8.7 Exercıcios134

8 Integral de Riemann 113

9.1 Convergencia simples137
9.2 Convergencia uniforme138
9.3 Continuidade138
9.4 Integral139
9.5 Derivada140
9.6 O espaco C(K)141
9.7 ⋆ Equacoes diferenciais145
9.8 ⋆ Logarıtmo, exponencial e a constante e149
9.9 ⋆ Definicoes analıticas de seno e cosseno152
9.10 Exercıcios155

9 Sequencias de funcoes 137

Bibliografia 157 Indice 159 viii SUMARIO viii SUMARIO

Capıtulo 1 Nocoes de Teoria dos Conjuntos

1.1 Conjuntos e elementos.

A nocao intuitiva que se tem da palavra conjunto nos e satisfatoria e uma apresentacao rigorosa da Teoria dos Conjuntos e difıcil e alem dos objetivos do curso.

DEFINICAO 1.1. Um conjunto e constituıdo de objetos chamados elementos. Usamos a notacao x ∈ A (le-se x pertence a A) para dizer que x e um elemento do conjunto A. Se x nao e um elemento de A, entao escrevemos x /∈ A (le-se x nao pertence a A).

Uma forma de caracterizar um conjunto e atraves da lista dos seus elementos, escrevendoos separados por vırgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.

Outra maneira de caracterizar um conjunto e atraves de uma propriedade P possuida por todos os seus elementos e apenas por estes (mais adiante faremos algumas consideracoes sobre isto). Escrevemos neste caso {x ; P(x)}, {x | P(x)} ou {x : P(x)} (le-se o conjunto dos elementos x tais que P(x) e verdadeira, ou ainda, dos elementos x que possuem a propriedade P). Salientamos que a letra x e arbitraria de modo que {x ; P(x)} = {y ; P(y)}.

EXEMPLO 1.3. Seja P a propriedade “e um numero presente na face de um dado” e seja

DEFINICAO 1.4. Dizemos que A e um subconjunto de B ou que A e uma parte de B, ou ainda, que A esta contido em B e escrevemos A ⊂ B se todo elemento de A pertence a

1i.e., abreviacao de “id est” que, em latim, significa “isto e”.

2 CAPITULO 1. NOC OES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

B. Dizemos tambem que B contem A e escrevemos B ⊃ A. Quando A ⊂ B e B ⊂ A, os conjuntos A e B sao ditos iguais e escrevemos A = B. Caso contrario eles sao diferentes e escrevemos A 6= B. A notacao A ( B (ou B ) A) e uma abreviacao para A ⊂ B com A 6= B, neste caso dizemos que A e um subconjunto proprio de B.

EXEMPLO 1.6. Sejam A o conjunto dos numeros inteiros multiplos de 4 e B o conjunto dos numeros pares. E obvio que A ⊂ B porem, vamos demonstrar esta afirmacao. O primeiro passo consiste em interpretar a definicao do conjunto A. Um numero inteiro n e multiplo de 4 se n/4 e inteiro, ou equivalentemente, se existe um inteiro m tal que n = 4m. Logo,

A = {n ; existe um inteiro m tal que n = 4m}.

Analogamente, B = {n ; existe um inteiro m tal que n = 2m}.

Estamos preparados para a demonstracao. Seja n ∈ A. Entao existe um inteiro m tal que n = 4m = 2(2m). Como m e inteiro, 2m tambem e. Concluımos que n ∈ B.

Como n e um elemento arbitrario de A (alem de n ∈ A nao fizemos nenhuma hipotese sobre n) concluımos que qualquer que seja n ∈ A temos n ∈ B, i.e, que todo elemento de A pertence a B, ou seja, que A ⊂ B. Isto termina a demonstracao.

De maneira geral, se A nao e um subconjunto de B significa que existe pelo menos um elemento de A que nao pertence a B.

Existe um conjunto especial chamado de vazio (denotado ∅) que nao possui nenhum elemento, ou seja, nao existe x tal que x ∈ ∅. Uma propriedade interessante do conjunto vazio e que ele e subconjunto de qualquer conjunto. Vejamos isto mais precisamente. Suponhamos que exista um conjunto A tal que ∅ nao seja subconjunto de A. Pelo que vimos anteriormente, isto significa que existe algum elemento x ∈ ∅ tal que x /∈ A. Mas, por definicao de vazio, nao podemos ter x ∈ ∅. Esta contradicao nos obriga a concluir que ∅ ⊂ A pois, senao, chegarıamos a uma conclusao absurda.

Acabamos de mostrar que ∅ ⊂ A usando um argumento do tipo “demonstracao por absurdo”. Neste tipo de argumento supomos inicialmente que a conclusao desejada seja falsa e, a partir desta hipotese, chegamos a um absurdo. Desta forma, somos obrigados a admitir que a suposicao e falsa e, portanto, que a conclusao desejada e verdadeira.

Existem conjuntos cujos elementos sao conjuntos como mostra o proximo exemplo.

1.2. OPERAC OES COM CONJUNTOS. 3

EXEMPLO 1.8. Sejam A = {1,2}, B = {3} e C = {A,B}. Tente se convencer de que todas as afirmativas abaixo sao verdadeiras.

Perceba ainda que e errado dizer {2} ⊂ C, {3} ⊂ C ou {{2}} ⊂ C. Entretanto, e verdade que {{3}} ⊂ C (esta e simplesmente a quarta das afirmacoes acima).

Quando C e um conjunto de conjuntos, para simplificar a linguagem, muitas vezes dizemos que C e uma colecao, uma classe ou uma famılia de conjuntos. Para famılias utiliza-se tambem notacao especial (como veremos a seguir). Elementos de C sao comumente chamados de membros.

Por falar em conjuntos de conjuntos...

DEFINIC AO 1.9. Seja A um conjunto. A colecao de todos os subconjuntos de A e dita conjunto das partes de A e e denotada por P(A) ou por 2A. Em sımbolos,

1.2 Operacoes com conjuntos.

DEFINICAO 1.1. Sejam A e B dois conjuntos. Existe um conjunto, chamado uniao ou reuniao de A e B (denotado por A ∪ B), cujos elementos pertencem a A ou a B. Tambem existe um conjunto chamado intersecao de A e B (denotado por A ∩ B) cujos elementos pertencem a A e a B. Em outros termos

De maneira geral, fazemos a seguinte definicao.

DEFINICAO 1.12. Se C e uma colecao nao vazia de conjuntos, entao a uniao ou reuniao da colecao C e formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um membro de C. Em sımbolos, ⋃

A∈C A = {x ; existe A ∈ C tal que x ∈ A}.

A intersecao da colecao C e constituıda pelos elementos que pertencem a todos os membros de C. Em sımbolos, ⋂

4 CAPITULO 1. NOC OES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

Por definicao A∩B∩C = {x ; x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}. Neste caso podemos substituir o conectivo “e” por uma vırgula “,” escrevendo A ∩B ∩C = {x ; x ∈ A, x ∈ B e x ∈ C}. Porem, o conectivo “ou” e sempre preservado.

DEFINICAO 1.14. Sejam A e B conjuntos. O conjunto diferenca entre A e B (denotado por A \ B ou A − B) e constituıdo pelos elementos de A que nao pertencem a B. Em sımbolos,

DEFINICAO 1.15. Quando trabalhamos apenas com subconjuntos de um determinado conjunto X (subentendido no contexto) definimos o complementar de A por X \ A e o denotamos A∁.

Dissemos anteriormente que um conjunto pode ser definido pela lista de seus elementos.

Devemos ressaltar que a ordem dos elementos na lista nao importa e que repeticoes sao irrelevantes. Desta forma,

Quando queremos que a ordem ou repeticoes sejam relevantes usamos o conceito de par ordenado. Dados dois objetos a e b definimos o par ordenado (a,b) cuja primeira coordenada e a e a segunda e b. Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) sao iguais se eles forem iguais coordenada por coordenada, i.e.,

Repare que (a,b) 6= (b,a) salvo se a = b e que (a,a) 6= (a). De maneira analoga definimos triplas ordenadas (a,b,c) ou n-uplas ordenadas (a1,...,an).

DEFINICAO 1.16. Dados dois conjuntos A e B existe um conjunto chamado de produto cartesiano de A e B (denotado A×B) formado pelos pares ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B. Em sımbolos:

Em particular, podemos definir A × A e, por simplicidade, o denotamos A2. De maneira analoga definimos A × B × C = {(a,b,c) ; a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C}, A3 = A × A × A, An = A × · × A (n vezes).

1.3. SIMPLIFICANDO A ESCRITA. 5 1.3 Simplificando a escrita.

Repetidas vezes usamos expressoes do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc.

Para simplificar a escrita destas expressoes introduziremos alguns sımbolos que as representam, a saber:

=⇒ significa “seentao ...” ou “implica que”;

∃ significa “existe”; ∃! significa “existe um unico”; ∀ significa “para todo” ou “qualquer que seja”; ⇐⇒ ou “sse” 1 significa “se, e somente se,”.

Desta maneira, podemos escrever que, por definicao, A ⊂ B sse

Temos tambem⋂

1.4 ⋆ Teoria dos Conjuntos e facil?

Nao entramos nos fundamentos logicos da Teoria dos Conjuntos e tudo parece trivial e familiar. Mas (in)felizmente a Teoria dos Conjuntos nao e tao facil como possa parecer. Por exemplo, nossa exposicao apresenta uma inconsistencia logica, ou paradoxo, conhecido como Paradoxo de Russel2.

Logo na primeira secao dissemos que dada uma propriedade P podemos definir, ou melhor, existe o conjunto A dos elementos que possuem a propriedade P e escrevemos

Ora, nao ha nada mais razoavel.

Nada nos impede de considerar conjuntos cujos elementos sao conjuntos (como ja fizemos ao introduzir colecoes) e de questionar se um conjunto e elemento dele mesmo. Como exemplo, considere o conjunto C de todos objetos que nao sao bolas. Ora, C nao e uma bola, logo, C ∈ C. Vejamos como isto gera um paradoxo.

Diremos que um conjunto X e normal se ele nao pertence a si proprio, i.e., se X /∈ X. Seja N o conjunto dos conjuntos normais:

1Este neologismo e derivado de outro em ingles iff que significa if and only if. Foi o matematico Halmos que o inventou. A ele devemos tambem o pequeno quadrado que indica final de demonstracao. Paul Richard Halmos: ⋆ 03/03/1916, Budapeste, Hungria. 2Bertrand Arthur William Russell, ⋆ 18/05/1872, Ravenscroft, Paıs de Gales - † 02/02/1970, Penrhyndeudraeth, Paıs de Gales

6 CAPITULO 1. NOC OES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

Perguntamo-nos se N e normal. Existem duas respostas possıveis: sim ou nao. Vamos analisar cada uma delas.

1a possibilidade: N e normal.

Por definicao, N e o conjunto dos conjuntos normais e, sendo ele proprio normal, temos que N ∈ N. Isto implica, por definicao de conjunto normal, que N nao e normal.

Temos entao uma contradicao! Pode-se pensar que este argumento seja apenas uma demonstracao por absurdo que mostra que a primeira possibilidade nao funciona e entao devemos concluir que e a segunda que e a boa. Vejamos.

2a possibilidade: N nao e normal.

Pela definicao de N, e como N nao e normal, devemos ter N /∈ N. Logo, por definicao de conjunto normal, concluımos que N e normal.

Novamente temos uma contradicao. Nenhuma das duas possibilidades e possıvel - paradoxo!

Para eliminar este paradoxo da Teoria dos Conjuntos (que e o pilar de toda a Matematica) uma solucao e a seguinte. Ao inves de admitir que dada uma propriedade P existe o conjunto dos elementos que possuem a propriedade P, admitimos que dada uma propriedade P e um conjunto A existe o subconjunto dos elementos de A que possuem a propriedade P.

Escrevemos {x ∈ A ; P(x)} . Feito isto o argumento usado no Paradoxo de Russel se transforma em um teorema (veja Exercıcio 10) segundo o qual nao existe o conjunto de todas as coisas ou, de forma mais “poetico-filosofica”, “nada contem tudo”. Boa viagem!

Todos sabemos que o valor da prestacao de uma televisao comprada em 12 parcelas iguais e sem juros depende do seu preco a vista. Por isto, dizemos que o valor da prestacao e funcao do preco a vista. Neste caso, se x e o preco a vista, entao o valor da prestacao e x/12. A funcao “valor da prestacao” a cada “valor a vista” x associa o “valor da prestacao”, dado por x/12. De maneira geral, uma funcao associa, atraves de uma regra precisa, cada elemento de um conjunto a um unico elemento de outro conjunto (os dois conjuntos em questao podem ser iguais).

O exemplo anterior e de uma funcao numerica definida atraves de uma formula, mas nem toda funcao e deste tipo. Por exemplo, cada pessoa possui um unico tipo sanguıneo, logo, podemos considerar a funcao que a cada elemento do conjunto das pessoas associa o seu tipo sanguıneo que e um elemento do conjunto {A,B,AB,O}. Mudando a regra a funcao muda. Assim, a funcao anterior e diferente da funcao que a cada pessoa associa o tipo sanguıneo do pai.

DEFINICAO 1.17. Sejam A e B dois conjuntos nao vazios. Uma funcao f : A → B (le-se funcao f de A em B) e definida por uma regra de associacao, ou relacao, entre elementos de A e B que a cada x ∈ A associa um unico elemento f(x) (le-se f de x) em B, dito imagem de x por f. O conjunto A e o domınio de f enquanto que B e o contradomınio de f.

Note que nao deve haver excecao a regra: todo x ∈ A possui uma imagem f(x) ∈ B. Por outro lado, pode existir y ∈ B que nao seja imagem de nenhum x ∈ A. Note tambem que, dado x ∈ A, nao deve haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elemento y ∈ B pode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer f(x1) = f(x2) com x1 6= x2.

EXEMPLO 1.18. Sejam A = {alunos da UFRJ}, B = {numeros inteiros}. Como exemplo de funcao, temos f : A → B que a cada x ∈ A associa seu ano de nascimento. Outro exemplo e a funcao g : A → B que a cada x ∈ A associa seu ano de entrada na UFRJ.

EXEMPLO 1.19. Seja A = {pessoas}. Se a cada x ∈ A fazemos corresponder f(x) ∈ A de maneira que f(x) seja irmao de x, entao f nao e uma funcao por duas razoes. Primeiro por excecao pois nem toda pessoa tem irmao. Segundo por ambiguidade pois existem pessoas que tem mais de um irmao.

Por definicao, f,g : A → B sao iguais se sao dadas pela mesma regra de associacao, ou seja, se f(x) = g(x) ∀x ∈ A.

A condicao acima so tem sentido (podendo ser falsa) se f e g tiverem o mesmo domınio (no caso A). No entanto, e dispensavel que f e g tenham o mesmo contradomınio. Por esta razao, podemos considerar iguais duas funcoes de contradomınios diferentes. Desta forma, a funcao h : {alunos da UFRJ} → {numeros inteiros positivos}, que a cada x ∈ {alunos da UFRJ} associa seu ano de entrada na UFRJ e igual a funcao g do Exemplo 1.18.

Mais grave e considerar que funcoes de domınios diferentes sejam iguais. Entretando, cometemos este abuso quando, por exemplo, o domınino de uma funcao contem o domınio da outra. Quando a prudencia mandar, devemos lidar com os conceitos de restricao e extensao.

DEFINICAO 1.20. Sejam f : A → B e g : C → D. Dizemos que f e uma restricao de g ou que g e uma extensao de f se A ⊂ C e f(x) = g(x) para todo x ∈ A. Neste caso escrevemos f = g|A.

DEFINICAO 1.21. Sejam f : A → B e C ⊂ A. A imagem de C por f e definida por

Em particular, o conjunto f(A) e chamado de imagem de f.

8 CAPITULO 1. NOC OES DE TEORIA DOS CONJUNTOS

DEFINICAO 1.2. Sejam f : A → B e C ⊂ B. A imagem inversa ou pre-imagem de C por f e definida por

DEFINICAO 1.23. Uma funcao f : A → B e dita sobrejetiva se f(A) = B, ou seja, se qualquer que seja y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y.

Observamos na definicao anterior que, ao se tratar da sobrejetividade de uma funcao, deve estar claro qual conjunto esta sendo considerado como contradomınio.

EXEMPLO 1.24. Seja A = {a,b}. A funcao f, definida por f(x) = x para todo x ∈ A, nao e sobrejetiva de A em {a,b,c} mas e sobrejetiva de A em {a,b}. De modo geral, toda funcao e sobrejetiva na sua imagem.

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