Exercicios resolvidos resnick 4° edição

Exercicios resolvidos resnick 4° edição

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 17:13

Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnetica

Jason Alfredo Carlson Gallas

Professor Titular de Fısica Teorica Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fısica

Materia para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’

Conteudo

25.1 Questoes2
25.2 Problemas e Exercıcios3
25.2.1 Fluxo do campo eletrico3
25.2.2 Lei de Gauss3
25.2.5 Lei de Gauss: simetria plana6

25 Lei de Gauss 2 25.2.3 Um condutor carregado isolado 4 25.2.4 Lei de Gauss: simetria cilındrica 5 25.2.6 Lei de Gauss: simetria esferica . 8

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 17:13 25 Lei de Gauss

25.1 Questoes

Considere uma superfıcie gaussiana envolvendo parte da distribuicao de cargas mostrada na Fig. 25-2. (a) Qual das cargas contribui para o campo eletrico no ponto ? (b) O valor obtido para o fluxo atraves da superfıcie circulada, usando-se apenas os campos eletricos devidos a e , seria maior, igual ou menor que o va- lor obtido usando-se o campo total?(a) Todas as cargas contribuem para o campo. Ou seja, o campo e devido a todas as cargas. (b) O fluxo total e sempre o mesmo. Por estarem fora da gaussiana, as cargas e nao contribuem efetivamente para o fluxo total uma vez que todo fluxo individual a elas devido entra porem tambem sai da superfıcie.

Uma carga puntiforme e colocada no centro de uma superfıcie gaussiana esferica. O valor do fluxo mudara se (a) a esfera for substituıda por um cubo de mesmo volume? (b) a superfıcie for substituida por um cubo de volume dez vezes menor? (c) a carga for afastada do centro da esfera original, permanecendo, entretanto, no seu interior? (d) a carga for removida para fora da esfera original? (e) uma segunda carga for colocada proxima, e fora, da esfera original? (f) uma segunda carga for colocada dentro da superfıcie gaussiana?(a) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. A forma da superfıcie gaussiana considerada nao e relevante.

(b) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. O volume englobado pela superfıcie gaussiana considerada nao e relevante.

(c) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. A posicao das cargas nao altera o valor do fluxo total atraves da superfıcie gaussiana considerada, desde que o o valor desta carga total nao seja modificado.

(d) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada e nula, o fluxo total sera igual a zero.

(e) Nao. O fluxo total so depende da carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada. Colocando-se uma segunda carga fora da superfıcie gaussiana considerada, nao ocorrera nenhuma variacao do fluxo total (que e determinado apenas pelas cargas internas). As cargas externas produzem um fluxo nulo atraves da superfıcie gaussiana considerada.

(f) Sim. Neste caso, como a carga total no interior da superfıcie gaussiana considerada passa a ser igual a, o fluxo total e igual a .

Suponha que a carga lıquida contida em uma superfıcie gaussiana seja nula. Podemos concluir da lei de Gauss que e igual a zero em todos os pontos sobre a superfıcie? E verdadeira a recıproca, ou seja, se o campo eletrico em todos os pontos sobre a superfıcie for nulo, a lei de Gauss requer que a carga lıquida dentro da superfıcie seja nula?Se a carga total for nula podemos conlcuir que o fluxo total sobre a gaussiana e zero mas nao podemos concluir nada sobre o valor de em cada ponto individual da superfıcie. Para convencer-se disto, estude o campo gerado por um dipolo sobre uma gaussiana que o envolva. O campo sobre a gaussiana nao precisa ser homogeneo para a integral sobre a superfıcie dar zero. A recıproca e verdadeira, pois neste caso a integral sera calculada sobre o produto de dois vetores, um dois quais e identicamente nulo sobre toda a gaussiana.

Q Extra – 25-8 da terceira edicao do livro Na lei de Gauss, o campo e necessariamente devido a carga

?Nao. O fluxo total atraves da gaussiana depende do excesso de carga (i.e. da carga nao-balanceada) ne- la contida. O campo eletrico em cada ponto da su- perfıcie gaussiana depende de todas as cargas existen- http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2 de 12

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 17:13 tes, internas ou nao. O que ocorre e que, como demonstrado no Exemplo 25-1 do livro texto, o fluxo total devido a qualquer carga externa sera sempre zero pois “todo campo que entra na gaussiana, tambem ira sair da gaussiana”. Reveja os dois paragrafos abaixo da Eq. 25-8.

25.2 Problemas e Exercıcios

25.2.1 Fluxo do campo eletrico

A superfıcie quadrada da Fig. 25-24, tem m de la- do. Ela esta imersa num campo eletrico uniforme comN/C. As linhas do campo formam um angulo de com a normal “apontando para fora”, como e mostrado. Calcular o fluxo atraves da superfıcie.Em todos os pontos da superfıcie, o modulo do campo eletrico vale

N/C, e o angulo , entre e a normal

Note que o fluxo esta definido tanto para superfıcies abertas quanto fechadas. Seja a superfıcie como for, a integral deve ser sempre computada sobre ela. Portanto,N/C mN.m /C

Note que o objetivo desta questao e relembrar como fazer corretamente um produto escalar: antes de medir o angulo entre os vetores e preciso que certificar-se que ambos estejam aplicados ao mesmo ponto, ou seja, que ambas flechas partam de um mesmo ponto no espaco (e nao que um vetor parta da ‘ponta’ do outro, como quando fazemos sua soma).

25.2.2 Lei de Gauss

Uma carga puntiforme de C encontra-se no centro de uma superfıcie gaussiana cubica de cm de aresta.

Calcule o valor atraves desta superfıcie. Usando a Eq. 9, encontramos o fluxo atraves da su- perfıcie gaussiana fechada considerada (que, no caso deste exercıcio, e um cubo):

C /(N m )N m /C

Determinou-se, experimentalmente, que o campo eletrico numa certa regiao da atmosfera terrestre esta dirigi- do verticalmente para baixo. Numa altitude de m o campo tem modulo de

N/C enquanto que a o campo vale N/C. Determine a carga lıquida contida num cubo de m de aresta, com as faces horizontais nas altitudes de e m. Despreze a curvatura da

Terra.Chamemos de a area de uma face do cubo, a magnitude do campo na face superior e a magnitude na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o fluxo atraves da face superior e negativo (pois entra no cubo) enquanto que o fluxo na face inferior e positivo. O fluxo atraves das outras faces e zero, de modo que o fluxo total atraves da superfıcie do cubo e . A carga lıquida pode agora ser determinada facilmente com a lei de Gauss: C

Uma carga puntiforme e colocada em um dos vertices de um cubo de aresta . Qual e o valor do fluxo atraves de cada uma das faces do cubo? (Sugestao: Use a lei de

Gauss e os argumentos de simetria.)Considere um sistema de referencia Cartesiano no espaco, centrado na carga , e sobre tal sistema colo- que o cubo de modo a ter tres de suas arestas alinhadas com os eixos, indo de ate os pontos ,e .

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Usando a lei de Gauss: O fluxo eletrico sobre cada uma das tres faces que estao sobre os planos , e e igual a zero pois sobre elas os vetores e sao ortogonais (i.e. seu produto escalar e nulo). Como se pode perceber da simetria do problema, o fluxo eletrico sobre cada uma das tres faces restantes e exatamente o mesmo. Portanto, para determinar o fluxo total, basta calcular o fluxo sobre uma qualquer destas tres faces multiplicando-se tal resultado por tres. Para tanto, consideremos a face superior do cubo, paralela ao plano, e sobre ela um elemento de area . Para qualquer ponto sobre esta face o modulo do campo eletrico e

Chamando de o angulo que a direcao do campo eletrico em faz com o eixo percebemos que este angulo coincide com o angulo entre a normal e e, ainda, que . Portanto, o fluxo eletrico e dado pela seguinte integral:

face

Observe que a integral e sobre uma superfıcie aberta, pois corresponde ao fluxo parcial, devido a uma das arestas apenas. Integrando em relacao a e depois integrando em relacao a com auxılio das integrais dadas no Apendice G, encontramos o fluxo eletrico sobre a face em questao como sendo dado por face Portanto, o fluxo total sobre todo o cubo e face

Usando argumentos de simetria: E a maneira mais simples de obter a resposta, pois prescinde da necessidade da calcular a integral dupla. Porem, requer maior maturidade na materia. Observando a figura do problema, vemos que colocando-se 8 cubos identicos ao redor da carga poderemos usar a lei de Gauss para determinar que o fluxo total atraves dos 8 cubos e dado por total

Devido a simetria, percebemos que o fluxo sobre ca- da um dos 8 cubos e sempre o mesmo e que, portanto, o fluxo sobre um cubo vale total que, em particular, e o fluxo sobre o cubo do problema em questao. Simples e bonito, nao?

25.2.3 Um condutor carregado isolado

Uma esfera condutora uniformemente carregada, de m de diametro, possui uma densidade superficial de carga de C/m . (a) Determine a carga sobre a esfera. (b) Qual e o valor do fluxo eletrico total que esta deixan- do a superfıcie da esfera?(a) A carga sobre a esfera sera C C

(b) De acordo com a lei de Gauss, o fluxo e dado porN m /C

Um condutor isolado, de forma arbitraria, possui uma carga total de C. Dentro do condutor existe uma cavidade oca, no interior da qual ha uma carga puntiforme C. Qual e a carga: (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre a superfıcie externa da condutor?(a) O desenho abaixo ilustra a situacao proposta no problema.

Considere uma superfıcie gaussiana envolvendo a ca- vidade do condutor. A carga encontra-se no interior da cavidade e seja a carga induzida na superfıcie interna da cavidade do condutor. Lembre que o campo eletrico http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4 de 12

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 1 de Dezembro de 2004, as 17:13 no interior da parte macica de um condutor e sempre igual a zero. Aplicando a lei de Gauss, encontramos:

Como , devemos ter , ou seja, que C

(b) Como a carga total do condutor e de C, vemos que a carga sobre a superfıcie externa da condutor devera ser de C

25.2.4 Lei de Gauss: simetria cilındrica E 25-21.

Uma linha infinita de cargas produz um campo deN/C a uma distancia de m. Calcule a densidade linear de carga sobre a linha.Usando a expressao para o campo devido a uma linha de cargas, , Eq. 25-14, encontramos facilmente que C/m

P 25-23.Use uma superfıcie Gaussiana cilındrica de raio e comprimento unitario, concentrica com o tubo metalico.

Entao, por simetria, dentro

(a) Para , temos dentro , de modo que

(b) Para , a carga dentro e zero, o que implica termos

Para podermos fixar a escala vertical da figura, precisamos determinar o valor numerico do campo no ponto de transicao, cm: N/C

P 25-24.Use uma superfıcie Gaussiana cilındrica de raio e comprimento unitario, concentrica com ambos cilin- dros. Entao, a lei de Gauss fornece-nosdentro de onde obtemos dentro

(a) Para a carga dentro e zero e, portanto .

(b) Para a carga dentro e , de modo que

A Fig. 25-32 mostra um contador de Geiger, dispositivo usado para detectar radiacao ionizante (radiacao que causa a ionizacao de atomos). O contador consiste em um fio central, fino, carregado positivamente, circundado por um cilindro condutor circular concentrico, com uma carga igual negativa. Desse modo, um forte campo eletrico radial e criado no interior do cilindro. O cilindro contem um gas inerte a baixa pressao. Quando uma partıcula de radiacao entra no dispositivo atraves da parede do cilindro, ioniza alguns atomos do gas. Os eletrons livres resultantes sao atraidos para o fio positivo. Entretanto, o campo eletrico e tao intenso que, entre as colisoes com outros atomos do gas, os eletrons livres ganham energia suficiente para ioniza-los tambem.

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Criam-se assim, mais eletrons livres, processo que se repete ate os eletrons alcancarem o fio. A “avalanche” de eletrons e coletada pelo fio, gerando um sinal usado para registrar a passagem da partıcula de radiacao. Suponha que o raio do fio central seja de m; o raio do cilindro seja de cm; o comprimento do tubo seja de cm.

Se o campo eletrico na parede interna do cilindro for deN/C, qual sera a carga total positiva sobre o fio central?O campo eletrico e radial e aponta para fora do fio central. Desejamos descobrir sua magnitude na regiao entre o fio e o cilindro, em funcao da distancia a partir do fio. Para tanto, usamos uma superfıcia Gaussiana com a forma de um cilindro com raio e comprimento , concentrica com o fio. O raio e maior do que o raio do fio e menor do que o raio interno da parede cilındrica. Apenas a carga sobre o fio esta localizada dentro da superfıcie Gaussiana. Chamemo-la de .

A area da superfıcie arredondada da Gaussiana

Se desprezarmos o fluxo atraves das extremidades do cilindro, entao o sera o fluxo total e a lei de Gauss nos fornece . Como a magnitude do campo na parede do cilindro e conhecida, suponha que a superfıcie Gaussiana seja coincidente com a parede. Neste caso, e o raio da parede e C

Uma carga esta uniformemente distribuida atraves do volume de um cilindro infinitamente longo de raio .

(a) Mostre que a uma distancia do eixo do cilindro onde e a densidade volumetrica de carga. (b) Escreva uma expressao para a uma distancia

.(a) O cırculo cheio no diagrama abaixo mostra a seccao reta do cilindro carregado, enquanto que o cırculo tracejado corresponde a seccao reta de uma superfıcie Gaussiana de forma cilındrica, concentrica com o cilindro de carga, e tendo raio e comprimento .

Queremos usar a lei de Gauss para encontrar uma expressao para a magnitude do campo eletrico sobre a superfıcie Gaussiana.

A carga dentro da Gaussiana cilındrica e onde e o volume do cilindro. Se e positivo, as linhas de campo eletrico apontam radialmente para fora, sao normais a superfıcie arredondada do cilindro e estao distribuidas uniformemente sobre ela. Nenhum fluxo atravessa as bases da Gaussiana. Portanto, o fluxo total atraves da Gaussiana e , onde e a area da porcao arredondada da Gaussiana.

A lei de Gauss ( ) nos fornece entao , de onde tira-se facilmente que

(b) neste caso consideramos a Gaussiana como sendo um cilindro de comprimento e com raio maior que. O fluxo e novamente . A carga dentro da

Gaussiana e a carga total numa seccao do cilindro car- regado com comprimento lei de Gauss nos fornece entao , de modo que o campo desejado e dado por

Observe que os valores dados pelas duas expressoes coincidem para , como era de se esperar.

Um grafico da variacao de em funcao de e bastante semelhante ao mostrado na Fig. 25-21, porem, apresentando para um decaimento proporcional a

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