Equações diferenciais

Equações diferenciais

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Solução de Equações Diferenciais

1. Introdução

Os modelos matemáticos de sistemas físicos são representados por uma ou mais equações diferenciais ordinárias. A determinação do comportamento de sistemas exige, desta forma, a solução de uma ou mais equações diferenciais. Nesta apostila são revisados de forma sucinta os principais tipos de equações diferenciais que são utilizadas no estudo de sistemas mecânicos sujeitos a vibrações. Maiores detalhes poderão ser encontrados na literatura citada em anexo, ou em qualquer uma das inúmeras obras disponíveis sobre o tema. Especial atenção será dada às equações lineares com coeficientes constantes do tipo homogênea e não-homogênea, para as quais sempre é possível encontrar uma solução analítica. Deve-se salientar que o estudo do comportamento dinâmico de qualquer sistema físico é absolutamente impossível sem o conhecimento básico de equações diferenciais. Sendo que o estudo e projeto de sistemas mecânicos fazem parte das tarefas fundamentais de um engenheiro, torna-se claro que o engenheiro deve obrigatoriamente possuir conhecimentos sólidos sobre equações diferenciais e sua solução. A seguir é dada uma definição do que seja uma equação diferencial.

Definição 1:

Uma equação envolvendo uma função dependente de uma única variável e as suas derivadas é denominada de equação diferencial ordinária (EDO). A maior derivada da função que aparece na equação define a ordem da equação diferencial.

Por exemplo, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é dada na sua forma geral como:

Na equação acima utilizou-se a conhecida notação &xdx dt =. f(t) é uma uma função do tempo t determinada (conhecida). Caso os coeficientes a0 e a1 que aparecem na equação (1) são constantes, ou funções do tempo, a equação acima é denominada linear, caso contrário ela será denominada não-linear. Caso ambos os coeficientes a0 e a1 sejam constantes, a equação será chamada de equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes

Da mesma forma, a equação que segue será chamada de equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes, caso os coeficientes a0, a1 e a3 sejam todos constantes.

axaxaxft210×+×+×=&&&()&&xdx

PUCRS - DEM - Prof. Luís Alberto Pereira- Solução de Equações Diferenciais

A seguir são dados mais alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias dos tipos discutidos até aqui.

2. Formas Padronizadas de Equações de Primeira e Segunda Ordem

A seguir são apresentadas as formas segundo as quais as equações diferenciais lineares de primeira e segunda ordem são encontradas em casos de interesse para o estudo de sistemas físicos. A forma padronizada permite uma interpretação mais clara das várias grandezas físicas envolvidas, tais como constantes de tempo e freqüências naturais.

Definição 2:

Uma equação diferencial de primeira ordem linear com coeficientes constantes é expressa na forma padrão como:

+&t>0 (9)

A constante t é chamada de constante de tempo, ela fornece uma medida da rapidez com que o sistema reage a uma determinada entrada (por exemplo, um distúrbio representado por um impulso). A forma padrão (9) é comum a uma série de fenômenos físicos, os quais

podem ser de natureza bastante distinta: elétrica, química, mecânica, etc

Exemplo:

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Considere o sistema formado por um amortecedor e uma mola no qual a massa é desprezível, conforme mostra a figura 1. A força que age no sistema é dada por f(t), a constante de mola é k e o amortecimento é dado por b. A partir da aplicação das leis de Newton, fica estabelecido que a equação que governa o comportamento deste sistema é da seguinte forma:

Dividindo-se a equação por b, obtém-se a forma padronizada:

( )x kb x f tb

Comparando-se a última equação com a forma padrão (9) pode-se verificar que a constante de tempo é dada por k b=t.

Definição 3:

Uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes é expressa na forma padrão como:

Na equação anterior x é a constante de amortecimento e wn freqüência natural não amortecida. A equação (12) descreve o comportamento de uma série de sistemas, incluindo

sistemas mecânicos, elétricos, etc

Exemplo:

O sistema mola-massa-amortecedor mostrado na figura 2 é representado pela seguinte equação:

figura 1 - Exemplo de Sistema Mecânico de Primeira Ordem

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Dividindo-se toda a equação anterior por m, obtém-se a forma padronizada:

( )x bm x km x f tm

Comparando-se a equação (14) com (12), obtém-se as seguintes relações para os parâmetros x e wn:

2=Þ wnk

wn km m

Þx=×=×

3. Equações Diferenciais Ordinárias, Lineares com Coeficientes Constantes

Uma das principais propriedades das equações diferenciais ordinárias (EDO), lineares e com coeficientes constantes é que elas sempre possuem uma solução analítica que pode ser encontrada de forma sistemática. No entanto, nem todas as equações diferenciais possuem esta propriedades, existindo equações que não possuem solução na forma analítica, sendo que a sua solução deve ser encontrada de forma numérica. Esta propriedade é portanto válida apenas para as EDO lineares e com coeficientes constantes, não sendo válida para sistemas lineares com coeficientes variáveis no tempo.( Uma exceção constitui-se o caso de equações de primeira ordem com coeficientes, para as quais sempre existe uma solução analítica).

EDO lineares com coeficientes constantes representam sistemas com parâmetros fixos, ou seja sistemas em que os parâmetros não variam ao longo do tempo.

3.1 Equações Homogêneas

Uma EDO linear, com coeficientes constantes de ordem n e homogênea pode ser expressa na seguinte forma geral:

k m

Posição de equilíbrio figura 2 - Exemplo de Sistema Mecânico de Segunda Ordem

PUCRS - DEM - Prof. Luís Alberto Pereira- Solução de Equações Diferenciais n n

Deve-se atentar que neste caso o lado direito é zero, ou seja não existe função de entrada no sistema. Neste caso a resposta do sistema é baseada apenas nas condições iniciais, as quais fisicamente estão associadas à energia armazenada no sistema no instante inicial.

A fim de se determinar a solução, assume-se inicialmente que a solução da equação (17) é da forma:

onde l é uma constante a ser determinada. Substituindo expressão (18) em (17), obtém-se:

Uma vez que etl× é sempre diferente de zero, a equação acima será verdadeira quando a expressão entre parênteses for igual a zero, resultando:

A equação (20) é chamada de equação característica ou equação auxiliar e pode ser escrita diretamente a partir da equação (17). Trata-se de um polinômio de grau n, o qual possui n raízes. Por este motivo a equação (20) também é chamada de polinômio característico, denominação que será usada doravante. Denominando-se as raízes de (2) por

()xtet11=×l, xtet22()=×l,()xtet33=×l, ....... ()xten

Caso todas as soluções acima sejam linearmente independentes, a solução geral da equação diferencial homogênea (17) é dada pela seguinte expressão, a qual é uma combinação linear das soluções fundamentais:

( )x t K e K e K e K eh t t t n

( )x t K e K t e K e K eh t t t n

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( )x t K e K t e K t e K t e K e K eh

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