Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

(Parte 5 de 8)

B qualquer funcao cujo domınio seja A e cujo contradomınio seja uma parte de B 4. Para indicar que f e uma aplicacao de A em B pode escrever-se f : A → B. Evidentemente, sempre que f seja uma aplicacao de A em B, ter-se-a, por definicao,

No caso particular de ser Cf = B, diz-se que a aplicacao f e sobrejectiva (ou que f e uma sobrejeccao) de A em B; dizer que f : A → B e uma sobrejeccao equivale portanto a afirmar que e verdadeira a proposicao

Por outro lado, uma aplicacao f : A → B diz-se injectiva (ou uma injeccao) sse, para cada y ∈ B, existe quando muito um x ∈ A tal que y = f(x); doutra forma, dizer que f e injectiva equivale a dizer que:

Diz-se ainda que f : A → B e bijectiva (ou que e uma bijeccao) sse f e injectiva e sobrejectiva. As aplicacoes bijectivas de A em B chama-se tambem correspondencias biunıvocas entre A e B5.

4Em vez de aplicacao de A em B diz-se tambem por vezes funcao definida em A e com valores em B. 5Usam-se tambem as expressoes: aplicacao de A sobre B, aplicacao biunıvoca de A em B, a aplicacao biunıvoca de A sobre B para significar respectivamente, aplicacao sobrejectiva, injectiva e bijectiva de A em B.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Exemplos

(aplicacao por vezes chamada funcao de Dirichlet) e sobrejectiva mas nao injectiva.

Seja f uma aplicacao de A em B. Como qualquer relacao, f admite uma relacao inversa, f−1. Em geral, porem, f−1 nao e uma funcao. Quais serao entao as aplicacoes f para as quais f−1 e uma funcao? A resposta e facil: para que f−1 seja uma funcao deve ter-se:

o que, como vimos, significa que f e injectiva. Assim, a relacao inversa f−1 de uma aplicacao f : A → B e uma funcao, sse f e injectiva. Em tal caso, chama-se a f−1 a funcao inversa ou a aplicacao inversa de f.

Sejam A, B e C tres conjuntos, f uma aplicacao de A em B e g uma aplicacao de B em C. A cada x ∈ A corresponde, por meio de f, um unico elemento y = f(x) ∈ B; por sua vez g, aplicacao de B em C, associa a esse y um e um so z = g(y) ∈ C. Assim, aplicando, sucessivamente f e g, faz-se corresponder a cada x ∈ A um unico elemento z = g(f(x)) ∈ C, definindo-se portanto uma aplicacao de A em C, que se chama aplicacao composta de f e g. Em resumo: chama-se aplicacao composta de f e g e designa-se por g ◦ f a aplicacao de A em C definida por

Consideramos, por exemplo, as aplicacoes:

2.3. FUNC OES. APLICAC OES. INVERSAO. COMPOSIC AO.

Tem-se:

e tambem:

Por outro lado, se for

ter-se-a ainda:

mas as composicoes θ ◦ ϕ, θ ◦ Ψ nao poderao formar-se (notar que a composicao de duas aplicacoes f e g so foi definida na hipotese de ser f : A → B e g : B → C; ver, no entanto, uma nota ulterior).

O exemplo anterior revela, em particular, que a composicao de aplicacoes nao e uma operacao comutativa: existindo f ◦ g e g ◦ f pode ter-se f ◦ g 6= g ◦ f (pode tambem acontecer que uma das composicoes tenha sentido e a outra nao ou que qualquer delas o nao tenha). E facil, porem provar que a composicao de aplicacoes e associativa, isto e, que, sendo f : A → B, g : B → C e h : C → D, se tem sempre

Deixaremos a demonstracao como exercıcio. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se aplicacao identica em A a aplicacao : IA : A → A definida por

E evidente que a aplicacao IA e uma bijeccao e que a inversa, A−1, e a propria aplicacao IA. Ja sabemos que se ϕ : A → B e uma aplicacao bijectiva, a inversa ϕ−1 e tambem uma bijeccao (de B em A). Tem-se entao, como logo se reconhece:

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Introduziremos ainda as seguintes definicoes, que nos serao necessarias na sequencia: Sejam A e B dois conjuntos, f uma aplicacao de A em B e C um subconjunto de A. Chama-se restricao de f ao conjunto C e designa-se por f|C a aplicacao de C em B definida por:

Em particular, ter-se-a evidentemente, f|A = f. Nas mesmas condicoes acima referidas, chama-se imagem ou transfor- mado do conjunto C pela funcao f e designa-se pelo sımbolo f(C), o con- tradomınio da aplicacao f|C, isto e, o conjunto dos valores f(x), que correspondem a todos os elementos x ∈ C. Tem-se assim, por definicao:

sendo tambem evidente que f(A) = Cf. Supondo ainda que f e uma aplicacao de A em B, seja agora D um subconjunto de B; chama-se entao imagem inversa ou imagem recıproca de D por f — e designa-se por f−1(D) — o conjunto de todos os elementos x ∈ A tais que f(x) ∈ D:

Nota. A nocao de aplicacao composta pode ser definida com maior generalidade do que foi feito atras: sendo f : A → B e g : C → D duas aplicacoes (onde agora A, B, C e D sao conjuntos quaisquer) chamar-se-a composta de f com g e designar-se-a ainda por g ◦ f a funcao que tem por domınio o conjunto E = {x ∈ A : f(x) ∈ C} e tal que, para cada x ∈ E, se tem

Evidentemente, pode acontecer que o conjunto E seja vazio, caso em que g ◦ f, funcao com domınio vazio, sera a chamada funcao vazia (e o que se passa, por exemplo, se for f : R → R, f(x) = −x2 e g : ]0,+∞[ → R,g(x) =

1/√ x). Convem observar que a maior generalidade da definicao acabada de referir e, em certo sentido, apenas aparente: na realidade e facil verificar que a funcao g◦f agora definida nao e mais do que a composta g◦f|E no sentido previamente considerado da restricao de f ao conjunto E com a funcao g.

Nao e tambem difıcil reconhecer que, mesmo com a definicao considerada nesta Nota, a composicao de funcoes e ainda uma operacao associativa.

Exerc cios 1. Das relacoes consideradas nos exercıcios 4, 5 e 6 da seccao 2.2, indique:

2.3. FUNC OES. APLICAC OES. INVERSAO. COMPOSIC AO.

a) as que sao funcoes; b) as que tem por inversa uma funcao.

2. De exemplos de aplicacoes de R em R e de N em N que sejam:

a) bijectivas, b) injectivas mas nao sobrejectivas, c) sobrejectivas mas nao injectivas, d) nao injectivas nem sobrejectivas.

3. Classifique, numa das quatro classes consideradas nas alıneas do exercıcio 2, as seguintes funcoes:

onde C(x) designe o maior numero inteiro inferior ou igual a x.

4. Supondo A ⊂ B, chama-se aplicacao canonica de A em B a aplicacao

I : A → B definida por I(x) = x (∀x ∈ A). Prove que I e uma aplicacao injectiva. Em que caso e bijectiva?

bijeccao.

6. Dadas as aplicacoes de R em si mesmo definidas por

7. Sendo f, g e h as aplicacoes do exercıcio 6 e

8. Sendo f : A → B, verifique que f ◦ IA = IB ◦ f = f. 9. Prove que a composicao de aplicacoes e uma operacao associativa.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

10. Recordando que uma funcao foi definida como sendo um conjunto de pares ordenados (com certa propriedade especial) e tendo em conta a definicao de igualdade de conjuntos, prove que duas funcoes f e g sao iguais sse

1. Prove que se f : A → B e g : B → C sao injectivas (resp. sobrejectivas) g ◦ f e injectiva (resp. sobrejectiva).

12. Prove que f : A → B e uma bijeccao sse existe g : B → A tal que f ◦ g = IB e g ◦ f = IA.

13. Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A e equipotente a B e escrevese A ≈ B sse existe uma bijeccao f : A → B. Prove que, quaisquer que sejam A, B e C, se tem:

2.4 Rela c~oes de equivalencia. Rela c~oes de ordem.

Seja A um conjunto nao vazio. Uma relacao G no conjunto A, diz-se uma relacao de equivalencia sse forem verificadas as propriedades seguintes:

∀x∈A xGx (reflexividade), ∀x,y∈A xGy =⇒ yGx (simetria),

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