Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

(Parte 4 de 8)

Sendo A, B e C tres conjuntos quaisquer, chama-se produto cartesiano de

A, B e C e designa-se pelo sımbolo A×B×C o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z) tais que x ∈ A, y ∈ B e z ∈ C. No caso particular de ser A = B = C o conjunto A×B×C chama-se cubo cartesiano de A e designa-

se por A3. Mais geralmente, sendo A1,A2,,An conjuntos quaisquer, o
por todas as sequencias (x1,x2,...,xn) tais que x1 ∈ A1,x2 ∈ A2,,xn ∈

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. An:

A1 × A2 ×× An = {(x1,x2,...,xn) : x1 ∈ A1 ∧ ... ∧ xn ∈ An}.
Se for A1 = A2 == An = A, o conjunto A1 × A2 × ... × An e a na

potencia cartesiana de A, habitualmente designada por An.

Exemplos

1. Sendo n um natural qualquer, a na potencia cartesiana do conjunto dos reais, Rn, e o conjunto de todas as sequencias de n numeros reais; sao

elementos de Rn, por exemplo, as sequencias (1, 12,, 1n
), (0, 0, 0)

(com n zeros).

2. Instituıdo um referencial no “espaco ordinario”, cada ponto P deste espaco determina um terno ordenado de numeros reais (a abcissa x, a ordenada y e a cota z do ponto P, no referencial considerado); reciprocamente, a cada terno ordenado de numeros reais corresponde um ponto do espaco ordinario. Nesta ordem de ideias, tal como o conjunto

PSfrag replacements x

R pode ser identificado com o conjunto dos pontos de uma recta e o conjunto R2 com o conjunto dos pontos de um plano, R3 pode ser interpretado como o conjunto dos pontos do espaco ordinario (fixado um referencial). Para n > 3, nao ha possibilidade de interpretacoes geometricas intuitivas deste tipo.

Em Geometria Analıtica Plana faz-se corresponder a condicao p(x,y) — onde x e y sao variaveis reais — um subconjunto A de pontos do plano.

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELAC OES.

Essa correspondencia e estabelecida com base na seguinte convencao: para que um ponto, (x0,y0), pertenca ao conjunto A e necessario e suficiente que p(x0,y0) seja uma proposicao verdadeira; para exprimir esta ideia, pode tambem escrever-se, como sabemos:

Assim, por exemplo, as condicoes y = 2x e y > x — que exprimem certas “relacoes” entre x e y : “y e o dobro de x”, “y e maior do que x” — correspondem respectivamente, uma determinada recta e um determinado semiplano (observe-se, porem, que a mesma recta e o mesmo semiplano corresponderiam tambem, por exemplo, as condicoes 10y = 100x e y3 > x3, equivalentes a y = 2x e y > x, respectivamente).

Em sentido inverso, se for fixado um conjunto de pontos do plano, e tambem natural pensar que ficara assim definida uma “relacao entre x e y”: por exemplo, a bissectriz dos quadrantes pares — isto e, ao conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x + y = 0 — corresponderia a relacao de simetria (“y e o simetrico de x”); a circunferencia de centro na origem e raio 1, ficaria associada uma relacao que poderia exprimir-se dizendo que “a soma dos quadrados de x e y e igual a unidade”, etc.

Note-se que, nas consideracoes precedentes, o termo “relacao” (que nao foi ainda definido) tem estado a ser utilizado na sua acepcao intuitiva; temse apenas em vista sugerir que a cada “relacao” das que foram consideradas, pode associar-se um conjunto de pares ordenados de tal forma que, conhecido este conjunto, podera dizer-se, em certo sentido, que ficara determinada a relacao considerada.

Um outro exemplo: seja H o conjunto dos homens e M o conjunto das mulheres, residentes em determinada localidade. Uma relacao entre M e H (ou entre elementos de M e elementos de H) e a que se exprime pela condicao “y e o marido de x” (com x ∈ M e y ∈ H).

Neste caso, para quem dispusesse de uma lista de todos os “casais” (x,y), seria facil, escolhidos arbitrariamente dois elementos, um de M e outro de H, verificar se eles constituiam ou nao um casal, isto e, se estavam ou nao na relacao considerada. Uma vez mais, o conhecimento de um conjunto de pares ordenados equivaleria ao conhecimento da relacao em causa.

Consideremos agora a condicao “X e o ponto medio do segmento de extremos Y e Z” (onde pode supor-se que o domınio de qualquer das variaveis X, Y e Z e o espaco ordinario). Esta condicao exprime uma relacao que pode ser ou nao ser verificada por tres pontos X, Y e Z arbitrariamente escolhidos (e considerados por certa ordem); do ponto de vista que temos vindo a desenvolver, a essa relacao corresponde um conjunto, cujos elementos sao todos os ternos ordenados (U,V,W) tais que “U, V , W sao pontos do espaco ordinario e U e o ponto medio do segmento que tem V e W por extremos”. Trata-se, desta vez, de uma relacao que faz intervir tres objectos (relacao ternaria).

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Analogamente, a condicao “os pontos P, Q, R e S sao complanares” corresponde um certo conjunto de quaternos ordenados (relacao quaternaria), etc.

Os exemplos anteriores contribuirao talvez para tornar menos artificiais as definicoes seguintes, que enunciaremos nos termos abstractos caracterısticos da teoria dos conjuntos:

Chama-se relacao binaria a qualquer conjunto de pares ordenados. Mais explicitamente: diz-se que um conjunto A e uma relacao binaria sse cada um dos elementos que o constituem e um par ordenado, isto e, sse:

Se G e uma relacao binaria, em vez de dizer que o par (a,b) pertence a

G, diz-se tambem que o elemento a esta na relacao G com o elemento b e escreve-se, por vezes, a G b.

Consideremos, por exemplo, a relacao binaria entre numeros reais que habitualmente se representa pelo sinal <. De acordo com a definicao anterior, essa relacao e um conjunto de pares, tais como (2,3), (−1,5), etc. Em vez de dizer que o par (2,3) pertence a relacao considerada, diz-se de preferencia que 2 esta nessa relacao com 3 (ou que “2 e menor do que 3”) e escreve-se 2 < 3.

De forma analoga, uma relacao ternaria e, por definicao, qualquer conjunto de ternos ordenados; mais geralmente, sendo n ∈ N, chama-se relacao n-aria a qualquer conjunto formado por sequencias de n objectos. Assim, por exemplo, sao relacoes n-arias os conjuntos de todas as sequencias

1a) x1 + x2 ++ xn = 0,
2a) x21 + x22 ++ x2n = 0,
3a) x21 + x22 ++ x2n + 1 = 0.

Observe-se de passagem que, no 1o caso, ha infinitas sequencias que pertencem a relacao considerada (se n > 1); no 2o caso, a relacao e constituıda por uma unica sequencia: a sequencia nula, formada por n zeros; no 3o, a relacao nao contem sequencia alguma (relacao vazia).

No que vai seguir-se, as relacoes que terao maior interesse para nos serao as relacoes binarias; alias, nesta parte do curso, quase nunca nos referiremos a outras. Convencionamos por isso que o termo “relacao” devera de aqui em diante ser interpretado como abreviatura da expressao “relacao binaria” (salvo algum caso em que seja evidente que tal interpretacao e inaceitavel).

Sendo A e B dois conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano

A × B e, evidentemente, um conjunto de pares ordenados, e portanto uma relacao: e o que por vezes se chama uma relacao entre os conjuntos A e

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELAC OES.

B. Se, em particular, for A = B, podera dizer-se que se trata de uma relacao no conjunto A. E nesta acepcao que a usual relacao de “maior” pode considerar-se como uma relacao no conjunto dos reais, a de “divisor” como uma relacao no conjunto dos naturais, a de “irmao”, no conjunto das pessoas humanas, etc.

Sendo G uma relacao, chama-se domınio de G ao conjunto de todos os elementos x para os quais existe (pelo menos) um y tal que xGy e contradomınio de G ao conjunto dos y para os quais existe (pelo menos) um x tal que xGy; o domınio e o contradomınio de G podem designar-se, respectivamente, por DG e CG:

Assim, o domınio da relacao determinada pela condicao “y e o marido de x”, considerada num dos exemplos anteriores, e o subconjunto de M formado pelas mulheres casadas (cujo marido resida tambem na localidade considerada); o contradomınio e a parte de H formada pelos homens casados com mulheres do conjunto M. A relacao determinada no conjunto dos reais pela condicao x2 + y2 = 1 tem por domınio e por contradomınio o conjunto dos reais compreendidos entre −1 e 1 (incluindo estes dois numeros). A “relacao de pertenca” (entre um conjunto qualquer A e o conjunto P(A), dos seus subconjuntos) formada por todos os pares (x,X) tais que x ∈ A, X ⊂ A e x ∈ X, tem por domınio o conjunto A e por contradomınio P(A) \ {∅}. Sendo G uma relacao, chama-se inversa ou recıproca de G e representase por G−1 a relacao que se obtem trocando as coordenadas em cada par (x,y) ∈ G, isto e: G−1 = {(y,x) : (x,y) ∈ G}.

Por exemplo, a inversa da relacao de “maior” (y > x) e a relacao de “menor” (y < x) e a inversa da relacao definida pela condicao x2+y2 = 1 e essa mesma relacao. E evidente que, sendo G uma relacao arbitraria,

1. Prove que

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

2. Prove, por inducao, que se A tem m elementos e B tem n elementos, (m,n ∈ N), A × B tem mn elementos.

4. a) Verifique que a relacao e precisamente a usual “relacao de pertenca” entre elementos do conjunto A = {0,1} e subconjuntos deste mesmo conjunto.

b) Defina, de forma analoga, a relacao de igualdade, entre elementos de A e as relacoes de igualdade e de inclusao, entre subconjuntos de A.

5. Determine os domınios, os contradomınios e as relacoes inversas das relacoes:

a) de igualdade (em N), b) de “divisor” (em N), c) de inclusao (em P(A), sendo A um conjunto arbitrario).

6. O mesmo para as relacoes em R, formadas por todos os pares (x,y) cujas coordenadas verificam as condicoes seguintes:

Introduziremos agora a seguinte definicao fundamental:

Uma relacao F diz-se uma funcao sse nao contem dois pares distintos com igual primeira coordenada; assim, dizer que F e uma funcao equivale a dizer que, quaisquer que sejam x, y e z

A relacao em R, determinada pela condicao x2 + y2 = 1 nao e uma funcao: pertencem-lhe, por exemplo, os pares (0,1) e (0,−1). No exemplo dos “casais”, a relacao considerada e uma funcao (excluıda a hipotese de poliandria). A lista telefonica de uma localidade define evidentemente uma relacao, associando a cada “assinante” o seu - ou os seus - “numeros de telefone”. Tal relacao so sera uma funcao se nao houver na localidade assinantes que aı tenham mais de um numero de telefone. Intuitivamente, uma funcao pode ser imaginada como uma tabela, com duas colunas, figurando em cada linha um par (x,y). A coluna dos x correspondera o domınio da funcao,

2.3. FUNC OES. APLICAC OES. INVERSAO. COMPOSIC AO.

a coluna dos y o contradomınio. Evidentemente, tratando-se de facto de uma funcao, se figurarem, em duas linhas, os pares (x,y) e (x,z), ter-se-a necessariamente y = z. Em vez de dizer que uma funcao F tem por domınio o conjunto A, diz-se tambem que F e uma funcao definida em A. Seja F uma funcao e x um elemento qualquer do seu domınio; chama-se valor de F em x (ou valor de F no ponto x) o (unico) objecto y tal que (x,y) ∈ F. O valor de F no ponto x e habitualmente designado por F(x), podendo entao escrever-se y = F(x) em lugar de (x,y) ∈ F. Quando se pretende definir uma funcao e geralmente preferıvel, em vez de indicar explicitamente os pares que a constituem, descrever o seu domınio e, para cada valor de x nesse domınio, indicar como pode obter-se o correspondente valor da funcao. Por exemplo, o conjunto de todos os pares (x,x2), com x ∈ R e evidentemente uma funcao, f. Para descreve-la, podera dizer-se: f e a funcao definida em R tal que f(x) = x2(∀x ∈ R).

Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, designa-se por aplicacao de A em

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