Probabilidade e estátisca

Probabilidade e estátisca

(Parte 1 de 4)

Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

Luiz Roberto M. Bastos 2005

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto SUMÁRIO

1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS5
1.1Introdução .......................................
1.2Símbolos .........................................
1.3Noções sobre Conjuntos ...........................
1.4Conjunto dos Números Naturais (N) ................
1.5Conjunto dos Números Inteiros (Z) ................
1.6Representação decimal das frações ................
1.7Conjunto dos Números Irracionais .................
1.8Conjunto dos Números Reais (R) ...................
1.9Intervalos .......................................
1.10 Problemas com número finito de elementos
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1Introdução .......................................
2.2Fatorial de um número natural ....................
2.3Princípio fundamental da contagem - PFC ..........
2.4Arranjos simples .................................
2.5Cálculo do número de arranjos ....................
2.6Permutações simples ..............................
2.7Permutações com elementos repetidos ..............
2.8Combinações simples ..............................
2.9Exercícios .......................................
3 PROBABILIDADE
3.1Experimento aleatório ............................
3.2Espaço amostral ..................................

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto

3.3Evento ...........................................
3.4Probabilidade de um Evento .......................
3.5Evento complementar ..............................
3.6Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
3.7Probabilidade da união de dois eventos ...........
3.8Experiência Composta .............................
3.9Probabilidade condicional ........................
4 ESTATÍSTICA BÁSICA
4.1 Conceitos fundamentais
4.2 Divisão da estatística
4.3 População
4.4Amostragem .......................................
4.5Amostra ..........................................
4.6Censo ............................................
4.7Tipos de variáveis ...............................
4.8Definição do problema ............................
4.9 Definição dos objetivos (geral e específico)
4.10 Planejamento
4.1 Coleta dos dados
4.12 Crítica dos dados
4.13 Apuração (armazenamento) dos dados
4.14 Exposição ou apresentação dos dados
4.15 Análise e interpretação dos dados
4.16 Regras de arredondamento
4.17 Série temporal, histórica ou cronológica
4.18 Gráficos estatísticos

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4.19 Principais tipos de gráficos
4.19.1 Gráficos em curvas ou em linhas
4.19.2 Gráficos em colunas
4.19.3 Gráficos em barras
4.19.4 Gráfico em colunas múltiplas (agrupadas)
4.19.5 Gráfico em barras múltiplas (agrupadas)
4.19.6 Gráfico em setores
4.20 Distribuição de freqüências
4.21 Distribuições cumulativas
4.2 Medidas de posição (ou de tendência central)
4.2.1 Média aritmética
4.2.2 Esperança matemática
4.2.3 Moda (mo)
4.2.4 Mediana (md)
4.2.6 Variância
4.2.7 Desvio-padrão
4.23 Distribuições discretas de probabilidade
4.23.1 Distribuição de “bernoulli”
4.23.2 Distribuição binomial
BIBLIOGRAFIA

4.2.5 Medidas de dispersão (medidas de variabilidade) . 4

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1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.1 Introdução

Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.

O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais.

Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles.

1.2 Símbolos

: pertence : existe : não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio N : contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros

I : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais : se, e somente se R: conjunto dos números reais

: pertence : existe ∨ : ou : e ∧

Símbolos sobre Operações

: a menor ou igual a b ≠: Diferente

: A intersecção B a > b: a maior que b : A união B : a maior ou igual a b a - b: diferença de a com b : a e b a < b: a menor que b : a ou b 5

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1.3 Noções sobre Conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por ou { }.

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B,

ou seja AB.

Obs.: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; - O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: .

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como

intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja

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1.4 Conjunto dos Números Naturais (N) N é o conjunto dos números naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, n, ...}

Onde n representa o elemento genérico do conjunto.

Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.

um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N

Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de

O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).

unidade

O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: 1° O conjunto dos números naturais não nulos

N* ={1, 2, 3, 4, 5,, n, ...}

N* = N - {0}

quer suprimir o elemento zero

Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se 2° O conjunto dos números naturais pares:

Np={0, 2, 4, 6,, 2n, ...} n ∈ N
Ni={1, 3, 5, 7,, 2n+1, ...} n ∈ N

3° O conjunto dos números naturais ímpares: 7

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Pi={2, 3, 5, 7, 1, 13}

4° O conjunto dos números primos:

No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição e multiplicação. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos

quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:

m,n N, m + n Ne m * n N

Essa característica pode ser sintetizada na frase: “N é fechado em relação à adição e à multiplicação”.

1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:

N Zou Z N

Temos também outros subconjuntos de Z:

Z* = Z - {0}Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ = {0,1,2,3,4,5,...}conjunto dos inteiros não negativos
Z*+ = {1,2,3,4,5,...}conjunto dos inteiros positivos
Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0}conjunto dos inteiros não positivos
Z* = {..., -4, -3, -2, -1}conjunto dos inteiros negativos _

Observe que Z+ = N.

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Números Opostos

Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem (zero).

Considerando os números inteiros ordenados sobre uma reta, podemos tomar como exemplo o número 2.

O oposto de 2 é –2, e o oposto de –2 é 2, pois: 2 + (-2) = -2 + 2 = 0

2 unidades 2 unidades

No geral, dizemos que o oposto (ou simétrico) de a é -a., e vice-versa; particularmente, o oposto de zero é o próprio zero.

Módulo de um número inteiro

Damos o nome de módulo, ou valor absoluto de a, à distância da origem ao ponto que representa o número a.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à divisão: embora

(-12):(+4) = -3 Z, não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais.

O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros. Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma

de fração (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

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2,2,3
1,1 0,Qq

Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:

pQ=I p Z e q Z*

Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações q p; assim, um número é racional quando pode ser escrito como uma fração q p, com p e q

inteiros e q ≠ 0.

Quando q = 1, temos q p = 1 p = p Z, de onde se conclui que Z é subconjunto de Q. Assim, podemos construir o diagrama:

No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos: Q*: conjunto dos racionais não nulos

Q*: conjunto dos racionais negativos _

O conjunto Q é fechado para as operações adição, subtração, multiplicação e divisão.

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto Exemplos:

Assim, podemos escrever:

1.6 Representação decimal das frações

pTome um número racional, tal que p não é múltiplo de q.

Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos (não nulos):

7525,14
55,02

Tais números racionais são chamados decimais exatos.

2°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:

1= 0,3= 0,3 7
9= 0,7= 0,7
1= 0,0454545= 0,045 6
167= 2,5303030= 0,530

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.

1.7 Conjunto dos Números Irracionais (I)

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). Vejamos alguns exemplos:

1. O número 0,212112111não é dízima periódica, pois os algarismos
2. O número 0,203040também não comporta representação

após a vírgula não se repetem periodicamente. fracionária, pois não é dízima periódica. 3. Os números

= 1,7320508…3 = 1,4142136… e 2 π=3,1415926535... ,

por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números racionais.

1.8 Conjunto dos Números Reais (R)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como:

R = Q ∪ I = {x | x é racional ou x é irracional}

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

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Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta noutros subconjuntos importantes:

R* = {x R I x ≠ 0} conjunto dos números reais não nulos

R+ = {x R I x ≥ 0}conjunto dos números reais não negativos
R = {x *+ R I x > 0}conjunto dos números reais positivos
R- = {x R I x ≤ 0}conjunto dos números reais não positivos
R = {x *− R I x < 0}conjunto dos números reais negativos

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de “I” temos: I* = I - {0}

I+ = conjunto dos números reais não negativos I_ = conjunto dos números reais não positivos

Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Ex:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,9 ; 1,99 ; 1,99

Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,9 ; 5,99 ; 5,99

Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 1.9 Intervalos

]a,b[ = {x R I a < x < b} 35

a) Intervalo Aberto:

[a,b] = {x R I a ≤ x ≤ b} 35

b) Intervalo Fechado:

c) Intervalo aberto à direita:

35

[a,b[ = {x R I a ≤ x < b} d) Intervalo aberto à esquerda:

35

]a,b] = {x R I a < x ≤ b} 13

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Existem ainda os intervalos infinitos: e) ]-∞,a] = {x R I x ≤ a}

3 f) ]-∞,a[ = {x R I x < a} g) [a, +∞[ = {x R I x ≥ a}

h) ]a, +∞[ = {x R I x > a} 3

1.10 Problemas com número finito de elementos

Exemplo 1 O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variação da temperatura à sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo:

Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Temperatura 7° 6° 5° 4° 3° 2° 2° 3° 5° 7° 12° 15°

Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2 23 Temperatura 18° 18° 20° 20° 20° 18° 15° 13° 11° 9° 8° 7°

corresponder várias horas, a hora não é função da temperatura

Nesse exemplo, são medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente temperatura. A cada hora corresponde uma única temperatura. Dizemos, por isso, que a temperatura é função da hora. Como à mesma temperatura podem

Exemplo 2 Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte tabela:

Números de cocos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Preço (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,0 7,20 8,40 9,60 10,80 12,0

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto

Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de cocos e o respectivo preço. A cada quantidade de cocos corresponde um único preço. Dizemos, por isso, que o preço é função do número de cocos comprados. Aqui é possível até achar a fórmula que estabelece a relação de interdependência entre o preço (y) e o número de cocos (x): y = 1,20 x.

Exemplo 3 Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados, todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm, 15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso? Para achar o número de ladrilhos (y), basta dividir a área da sala (9m2) pela área do ladrilho (em m2). Se o lado mede x m2, então a fórmula que relaciona y com x é: y = 9/x2.

Medida do lado do ladrilho (x) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30 Número de ladrilhos (y) 900 625 400 225 144 100

Exercícios

1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo:

Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Deslocamento (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 a) Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos? b) Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm? c) O deslocamento é função do intervalo de tempo? d) Qual é o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do móvel constante).

2. A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de automóvel:

Número de peças 1 2 3 4 5 6 Custo (R$) 1 4 9 16 25 36

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto a) Qual é o custo da produção de três peças? b) Qual é o número de peças produzidas com R$25,0? c) Qual é o custo c da produção de n peças? d) Com relação ao item anterior, qual é o numero máximo de peças produzidas com R$1.0,0?

3. O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que é de R$250,0, e mais uma quantia que depende da área pintada. A tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados pelo pintor:

Área pintada (m2) 5 10 15 20 30 40 80 Total a pagar (R$) 350 550 700 850 1.150 1.450 2.050 a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x m2? b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m2? c) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,0?

4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização é dado a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após 4 horas? b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após um dia? c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado do jogo? 5. A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90 Km/h.

de acertadores (x = 1, 2,, 40) e y a quantia recebida por cada

Responda: a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em uma hora? b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 Km? c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em função do tempo (t)? 6. Um professor propõe a sua turma um exercício-desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio de R$120,0 entre os acertadores. Seja x o número acertador (R$). Responda: a) y é função de x? Por quê? b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25? c) Qual é o valor máximo que y assume? d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?

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2 ANÁLISE COMBINATÓRIA

2.1 Introdução:

A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

Pascal

Fermat Tartaglia

A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

Consideremos o seguinte problema: Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? Podemos ter as seguintes refeições:

a) hot dog e sorvete b) hot dog e torta

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto c) hot dog e salada de frutas d) hambúrger e sorvete e) hambúrger e torta f) hambúrger e salada de frutas

A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 1ª coluna 2ª coluna sorvete Refeição 1 hot dog torta Refeição 2 salada de frutas Refeição 3 sorvete Refeição 4 hambúrger torta Refeição 5 salada de frutas Refeição 6

Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições. Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas: 1ª escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades de fazer tal escolha. 2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de escolher a sobremesa. Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3 = 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas.

2.2 Fatorial de um número natural

Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta matemática chamada Fatorial. Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n . (n-1) . (n-2)4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2.

Se n = 1, então 1! = 1. Se n = 0, então 0! = 1.

Probabilidade e Estatística Luiz Roberto

Exemplos: a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.

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