Álgebra Abstrata 2

Álgebra Abstrata 2

(Parte 1 de 7)

VOLUME I (Versao Preliminar)

Abramo Hefez 12 de novembro de 2002

Sumario

1.1 Series de Potencias e Polinomios7
1.2 Divisao de Polinomios15
1.3 Polinomios com Coeficientes em Corpos25
1.4 Polinomios sobre C e sobre R29
1.5 Polinomios em Varias Indeterminadas32

1 POLINOMIOS 7

2.1 Derivada Primeira41
2.2 Divisao por X − a47
2.3 Derivadas de ordem superior52

2 DERIVACAO E MULTIPLICIDADE 41

3.1 Raızes em K de polinomios em D[X]57
3.2 O Teorema de Gauss62
3.3 Metodo de Kronecker para fatoracao em Z[X]6
3.4 Criterios de divisibilidade em Q[X]69
3.5 A Resultante73

3 POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 57

4.1 A Equacao do Segundo Grau81
4.2 A Equacao do Terceiro Grau83
4.3 A Equacao do Quarto Grau93
5.1 Relacoes Entre Coeficientes e Raızes95
5.2 Grupos101
5.2.1 A nocao de grupo101

5 O GRUPO SIMETRICO 95 3

5.2.2 Subgrupos105
5.2.3 Grupos Cıclicos109
5.3 Estrutura de Orbitas de uma Permutacao114
ciclos114
5.4 O Grupo Alternante121
5.5 Funcoes Simetricas124
5.6 Conjugacao em Sn129

4 SUMARIO 5.3.1 Decomposicao de uma permutacao em um produto de 6 O METODO DE LAGRANGE 133

7.1 A Algebra Linear da Extensao de Corpos147

SUMARIO 5 NOTACOES

Anel = Anel comutativo com unidade N = {1,2,3,...} = Conjunto dos numeros naturais Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} = Anel dos numeros inteiros Z+ = {0,1,2,3,...} = Subconjunto dos numeros inteiros nao negativos Q = Corpo dos numeros racionais R = Corpo dos numeros reais C = Corpo dos numeros complexos Y X = Conjunto da funcoes de X em Y A∗ = Conjunto dos elementos invertıveis do anel A Kern ϕ = nucleo do homomorfismo ϕ

6 SUMARIO 6 SUMARIO

Capıtulo 1 POLINOMIOS

Neste Capıtulo iniciaremos o estudo das propriedades algebricas basicas dos polinomios com coeficientes num anel comutativo com unidade.

Nas disciplinas de Calculo os polinomios sao vistos como funcoes particulares de variavel real e como tal sao estudados. A necessidade de se distinguir os polinomios das funcoes polinomiais surge pela consideracao de polinomios com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais frequente por causa de suas inumeras aplicacoes praticas.

Muito do estudo das propriedades dos polinomios em uma indeterminada esta relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equacoes Algebricas a qual estao associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel, culminando com as contribuicoes fundamentais de Abel e Galois.

As propriedades dos polinomios em varias indeterminadas foram pesquisadas inicialmente por suas conexoes com a Geometria Analıtica, evoluindo no que hoje se chama Geometria Algebrica.

Atualmente os polinomios desempenham papel relevante em muitas partes da Matematica.

1.1 Series de Potencias e Polinomios

Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade, e seja X uma indeterminada sobre A. Uma serie de potencias f(X) com coeficientes em A e uma soma formal infinita do tipo:

8 CAPITULO 1. POLINOMIOS com ai ∈ A, para todo i ∈ Z+. Os Xi sao provisoriamente vistos apenas como sımbolos indicadores de posicao.

Duas series de potencias f(X) = ∑∞

sideradas iguais se ai = bi para todo i ∈ Z+. Os elementos ai sao chamados de coeficientes e a parcela aiXi de monomio de grau i. Convenciona-se omitir o monomio aiXi quando ai = 0 e costuma-se denotar a0X0 por a0 e a1X1 por a1X.

O conjunto de todas as series de potencias com coeficientes em A e denotado por A[[X]] e nele definimos as seguintes operacoes:

ajbi−j) Xi.

Note que com esta definicao de produto, temos que Xi · Xj = Xi+j, para todo i e j, dando assim um sentido de potencia ao sımbolo Xi.

PROPOSIC AO 1.1. O conjunto A[[X]] com as operacoes acima definidas e um anel.

DEMONSTRAC AO: A associatividade e a comutatividade da adicao sao de verificacoes imediatas. O elemento neutro da adicao e 0 = ∑∞ i=0 0Xi, enquanto que o simetrico de f(X) = ∑∞

A comutatividade da multiplicacao e imediata e a propriedade distributiva e facil de ser verificada. A unica propriedade que merece verificacao e a associatividade da multiplicacao. Sejam

1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS 9

Temos que onde λ+µ+η=i aλbµcη.

Por outro lado, onde λ+µ+η=i aλbµcη.

Portanto, di = ei, para todo i, provando assim a associatividade da multiplicacao.

E claro que A ⊂ A[[X]], pois todo elemento a ∈ A pode ser visto como

onde as operacoes nos primeiros membros sao efetuadas em A[[X]] e as dos segundos membros o sao em A. Vemos com isto que as operacoes definidas em A[[X]] estendem as operacoes definidas em A, fazendo com que A seja um subanel de A[[X]].

Um outro subanel de A[[X]] que se destaca e o anel A[X] dos polinomios em uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel e descrito como

Todo elemento de A[X] e chamado de polinomio e pode ser representado como soma finita, p(X) = ∑n i=0 aiXi , para algum n ∈ Z+.

10 CAPITULO 1. POLINOMIOS

Dado um polinomio p(X) = a0 +a1X +···anXn ∈ A[X]−{0}, define-se grau de p(X) como sendo o inteiro gr(p(X)) = max{i ∈ Z+; ai 6= 0}. Note que o polinomio nulo e o unico polinomio que nao possui grau e que

O coeficiente do termo de grau igual ao gr(p(X)) e chamado de coeficiente lıder de p(X). Um polinomio cujo coeficiente lıder e igual a 1 e chamado de polinomio monico. Um polinomio nulo ou de grau zero sera chamado de polinomio constante.

Vejamos agora como a hipotese sobre A de ser domınio se reflete sobre A[X].

DEMONSTRAC AO: Considere os polinomios p(X),q(X) ∈ A[X] dados por

1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS 1

COROLARIO 1.1. Se A e um domınio, entao A[X] e domınio. Em particular, se K e um corpo entao K[X] e um domınio.

DEMONSTRAC AO: Existe por hipotese, um polinomio nao nulo q(X) em A[X] tal que t(X) · q(X) = p(X) . Logo pela Proposicao 3, segue que gr(p(X)) − gr(t(X)) = gr(q(X)) ≥ 0 . Daı segue a desigualdade desejada.

COROLARIO 1.3. Seja A um domınio. Um elemento p(X) ∈ A[X] e invertıvel se, e somente se, p(X) ∈ A e e invertıvel em A. Em sımbolos,

Um fato que merece ser evidenciado e a diferencaa existente entre polinomios e funcoes polinomiais, dois conceitos que frequentemente sao indevidamente confundidos.

A um polinomio p(X) ∈ A[X] associa-se uma funcao p ∈ A chamada funcao polinomial, definida por

O elemento p(a) de A e chamado de valor de p(X) em a. E evidente que a dois polinomios iguais sao associadas duas funcoes polinomiais iguais. Em contrapartida, dois polinomios distintos podem dar origem a duas funcoes polinomiais iguais. Por exemplo, p(X) = X2−X e q(X) = 0, como polinomios de Z2[X] sao distintos, porem, as funcoes polinomiais a eles associadas sao iguais. Mais geralmente, se p e um numero primo positivo, decorre do Pe- queno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinomios Xp − X

12 CAPITULO 1. POLINOMIOS e 0 de Zp[X] determinam a mesma funcao polinomial. Veremos na proxima secao 2, Corolario 4 do Teorema 1, que se A e infinito tal fato nao ocorre.

Uma tecnica muito util ao lidarmos com polinomios e o chamado metodo dos coeficientes a determinar que utiliza basicamente as definicoes da igualdade e das operacoes no anel de polinomios. Ilustraremos o metodo com alguns exemplos.

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