Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Calculo I Lista de Exercıcios – Gabaritos – Semana 07 2.o/2007

1) A figura ao lado ilustra o solido, no primeiro octante, limitado pelos planos x = 1 e y = 1 e pelo grafico da funcao f(x,y) = 2 + sen(2pi x) + x2 sen(2pi y).

a) Calcule o volume do solido integrando primeiro na variavel y.

Resposta: volume = 2.

b) Inverta a ordem de integracao do item anterior e compare os resultados.

Resposta: como f e contınua no quadrado [0,1]×[0,1], os resultados sao os mesmos.

2) Considere o problema de calcular a area da regiao limitada pela elipse de equacao x2

b2 = 1, em que a e b sao constantes positivas.

a) Descreva a regiao na forma Rx, isto e, na forma de uma regiao limitada pelos graficos de funcoes y1(x) e y2(x).

b) Calcule a area da regiao usando integral dupla e a substituicao x = asen(θ). Como verificacao, no caso em que a = b o resultado deve coincidir com a area pi a2 do disco de raio a.

Resposta: area = piab.

3) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integracao pode facilitar muito os calculos. Por exemplo, considere a regiao D limitada pelas curvas y + 1 = 0, y2 + x − 4 = 0 e x+√ 4 − y2 = 0, como ilustrado abaixo.

a) Identifique cada uma das tres curvas e determine as coordenadas dos pontos A, B, C e D indicados na figura ao lado.

C = (4,0) e D = (3,−1); a identificacao de cada curva e ilustrada na figura ao lado.

b) A regiao D pode ser dividida em quatro regioes do tipo Rx. Identifique essas regioes e use-as para o calculo da area de D, inte- grando iteradamente primeiro na variavel y.

c) Observe que D e uma regiao do tipo Ry, e portanto a sua area pode ser calculada por meio de uma unica integral. Proceda a esse calculo e compare com o resultado do item anterior.

Resposta: os resultados sao iguais.

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4) Da figura abaixo, que ilustra o grafico de f(x,y) = (x−y)/(x+y)3, percebe-se que essa funcao nao se comporta bem perto da origem, assumindo valores proximos de +∞ e de −∞. Nesse caso, como ilustra os itens a seguir, coisas estranhas podem acontecer com as integrais iteradas no domınio D = [0,1] × [0,1].

a) Obtenha a expressao da funcao F1(y) = seguida, calcule a integral

b) Obtenha a expressao da funcao F2(x) = seguida, calcule a integral c) Usando os itens anteriores, a definicao da integral dupla como limite das somas de Riemann e a relacao dessas somas com as integrais iteradas, de uma justificativa para a afirmacao de que f(x,y) nao e integravel no domınio D.

Resposta: escolhendo uma particao de D com mais pontos no eixo Oy (ou com mais pontos no eixo Ox) as somas de Riemann se aproximam de 1/2 (ou de −1/2). Este comportamento indica que nao existe o limite das somas de Riemann.

5) Considere o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano

em que a, b e c sao constantes positivas, como ilustra a figura ao lado.

a) Determine um domınio D ⊂ R2 e uma funcao f : D → R de modo que o tetraedro seja a regiao abaixo do grafico desta funcao. a b) Usando integrais, verifique que o volume do tetraedro e igual a um sexto do volume do paralelepıpedo de lados a, b e c.

Resposta: basta calcular ∫∫

6) A figura abaixo ilustra o grafico da funcao f(x,y) = 2x + y2 definida no triangulo D de vertices (0,0), (2,1) e (0,1). Mostra-se que a area A da superfıcie desse grafico e dada por

a) Descreva o domınio D na forma Rx e na forma Ry.

b) Obtenha a expressao da area A como uma integral iterada, integrando primeiro na variavel y.

Resposta: A = c) Obtenha a expressao de A como uma integral iterada, integrando primeiro na variavel x.

Resposta: A = d) Use os itens anteriores para calcular a area A.

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