Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.2

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.2

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Capıtulo 2 Funcoes Quadraticas

Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pesquisa de opiniao revelou que, por cada real de aumento no preco, o restaurante perderia 10 clientes, com o consumo medio de 500 gramas cada um. Qual deve ser o preco do quilo de comida para que o restaurante tenha a maior receita possıvel?

Este problema recai numa equacao do segundo grau, ou seja, na busca dos zeros de uma funcao quadratica.

1 A forma canonica

Note que se x for uma raiz da equacao x − sx + p = 0 entao s − x tambem sera, pois

Portanto as duas raızes dessa equacao sao os numeros procurados. Deve-se observar entretanto que, dados arbitrariamente os

2 Temas e Problemas numeros s e p, nem sempre existem dois numeros cuja soma e s e cujo produto e p.

Exemplo 1. Nao existem dois numeros reais cuja soma seja 2 e cujo produto seja 5. Com efeito, como o produto 5 e positivo esses numeros teriam o mesmo sinal. E como sua soma 2 tambem e positiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam <2 . Seu produto entao seria menor do que 4, portanto diferente de 5.O s numeros procurados podem tambem reduzir-se a um unico, como no caso em que a soma dada e 6 e o produto e 9, pois a equacao x −6x+9 = 0, da qual eles sao raızes, escreve-se como (x−3) = 0 logo sua unica raiz e 3.J ao s numeros cuja soma e 1 e cujo produto

Um procedimento util para estudar a funcao quadratica eo completamento do quadrado. Basicamente, o metodo de completar o quadrado se resume na observacao de que

4a ·

Func oes Quadraticas 23

Escrevendo o trinomio f(x)= 2x − 5x + 3 na forma canonica, podemos tirar pelo menos duas conclusoes:

2) as raızes da equacao 2x − 5x + 3 = 0 se obtem escrevendo

A forma canonica nos fornece tambem, quando b −4ac ≥ 0,a s raızes da equacao ax + bx + c = 0, pois esta igualdade equivale sucessivamente a

4a ,

2a ,

2a =

2a , uma formula muito bem conhecida.

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∆)/2a as raızes da

a x+ c

Esta e a chamada forma fatorada do trinomio do segundo grau.

A forma fatorada fornece imediatamente a seguinte informacao sobre o sinal da funcao quadratica f(x)= ax +bx+c:

Se x esta situado entre duas raızes da equacao f(x)= 0 entao f(x) tem sinal oposto ao sinal de a. Caso contrario, ou x e raiz ou f(x) tem o mesmo sinal de a.

Func oes Quadraticas 25

A afirmacao acima inclui o caso em que a equacao f(x)= 0 nao possui raiz real. (Entao f(x) tem o mesmo sinal de a para todo x ∈ R.) Inclui tambem o caso em que essa equacao possui uma raiz dupla α. (Entao, para todo x = α, f(x) tem o mesmo sinal de a.)

Vejamos a seguir alguns problemas que envolvem o uso da funcao quadratica.

Exemplo 6. Mostrar que se dois numeros positivos tem soma constante, seu produto em aximo quando eles sao iguais.

Exemplo 7. Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca. Com ele pretendo fazer um cercado retangular de 26m de area. Quanto devem medir os lados desse retangulo?

Exemplo 8. Mostrar que se o produto de dois numeros positivos e constante, sua soma em ınima quando eles sao iguais.

Sejam x, y numeros positivos tais que xy = c. Os valores possıveis para a soma s = x + y sao aqueles para os quais a equacao x − sx + c = 0 possui raızes reais, ou seja, o discrimi-

Exemplo 9. Mostrar que a media aritmetica de dois numeros positivos e sempre maior do que ou igual am edia geometrica, sendo igual apenas quando eles sao iguais.

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Sejam a, b os numeros dados. Ponhamos c = ab. Entre todos os numeros positivos x, y tais que xy = c, a soma x + y em ınima

≥√ ab, com igualdade valendo apenas quando

Exemplo 10. Na Figura 6, determinar x de modo que a area do paralelogramo inscrito no retangulo seja mınima. Supoe-se que a ≤ b ≤ 3a.

a–x x x x

Exemplo 1. Dois comerciantes formam uma sociedade com o capital de 100 mil reais. Um deles trabalha 3 dias por semana e o outro 2. Apos algum tempo, desfazem a sociedade e cada um recebe 9 mil reais. Qual foi a contribuicao de cada um para o capital da sociedade?

Um dos socios entrou com x e o outro com 100 − x mil reais.

Func oes Quadraticas 27 sociedade durou 5 dias. Os lucros de cada um por dia de servic¸o foram respectivamente (9 − x)/2 e (x − 1)/3 mil reais. Cada mil reais aplicados deu, por dia de servico, o lucro

Observacao: Se, ao montar a equacao do problema, tivessemos chamado de x o capital inicial do socio que trabalhou 3 dias por

o que nos levaria a equacao x + 395x − 19800 = 0, cujas raızes sao 45 e −440. Desprezando a raiz negativa, concluirıamos ainda queos ocio que trabalhou 3 dias por semana entrou com 45 mil reais e o outro com 5. Obtemos portanto a mesma resposta, a partir de uma equacao diferente.

2O grafico de uma func ao quadratica

Consideremos no plano uma reta d e um ponto F fora dela. A parabola de foco F e diretriz d e o conjunto dos pontos do plano que sao equidistantes do ponto F e da reta d (Figura 7).

Lembremosque a distancia de um pontoa uma reta e o comprimento do segmento perpendicular baixado do ponto sobre a reta.

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D Q d

A reta que contem o foco e e perpendicular a diretriz chama-se o eixo da parabola. Chama-se vertice da parabola ao ponto dessa curva que esta mais proximo da diretriz. Ele e o ponto medio do segmento cujas extremidades sao o foco e a intersecao do eixo com a diretriz.

Mostraremos inicialmente que o grafico da funcao quadratica f(x)= ax e a parabola em R cujo foco e o ponto F =( 0,1/4a) e cuja diretriz e a reta horizontal y =− 1/4a.

Para nos convencermos disso, verificamos primeiro que, para todo x ∈ R, vale a igualdade

onde o primeiro membro e o quadrado da distancia do ponto generico P =( x,ax ) do grafico de f(x)= ax ao foco F =( 0,1/4a) eo segundo membro e o quadrado da distancia do mesmo ponto a reta y =− 1/4a. Isto mostra que todo ponto do grafico de f pertence a parabola em questao. Reciprocamente, se P =( x,y) e um ponto qualquer dessa parabola, o ponto P =( x,ax ), como acabamos de ver, tambem pertence a parabola, logo y = ax pois essa curva nao contem dois pontos distintos com a mesma abscissa. Portanto todo ponto da parabola pertence ao grafico de f.

Func oes Quadraticas 29

Se a>0 , a parabola y = ax tem a concavidade voltada para cima e seu vertice (0,0) e o ponto de menor ordenada. Se a<0 , a concavidade da parabola y = ax e voltada para baixo e seu vertice (a origem) e o ponto de maior ordenada (Figura 8).

Em seguida, examinemos o grafico da funcao quadratica f(x)= a(x − m) . Afirmamos que ele e uma parabola, cujo foco e o ponto F =( m,1/4a) e cuja diretriz e a reta y =− 1/4a (Figura 9).

a mF 4

Para chegar a esta conclusao, tem-se duas opcoes. Ou se verifica que, para todo x ∈ R, vale a igualdade

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a ky 4 a kmF 4

O coeficiente a mede a maior ou menor abertura da parabola.

Como o grafico de f(x)= ax +bx+c se obtem do grafico de g(x)= ax por uma translacao horizontal seguida de uma translacao vertical, portanto sao figuras congruentes, basta examinar o signifi-

Func oes Quadraticas 31 cado de a no grafico de g(x)= ax . Por simplicidade, suponhamos a>0 . Entao a< a′ ⇒ ax <a ′x para todo x = 0, logo a parabola y = a′x situa-se no interior de y = ax . Assim, quanto maior for a mais fechada sera a parabola e, vice-versa, quanto menor e a mais aberta se ve a parabola. No caso de a e a′ negativos, “maior” e “menor” devem ser tomados no sentido de valor absoluto (Figura 1).

O c

Seja P um ponto de uma parabola. Uma reta que passe por P determina dois semiplanos. Diz-se que essa reta e tangente a parabola no ponto P quando a parabola esta contida inteiramente num desses semiplanos.

A reta que passa pelo ponto P =( 0,c) e tem inclinacao b e descrita pela equacao y = bx+c. Os semiplanos por ela determinados sao descritos pelas desigualdades y ≥ bx +c (semiplano superior) e y ≤ bx+c (semiplano inferior). Os pontos (x,y) da parabola cumprem y = ax + bx + c logo estao todos no semiplano superior da reta y = bx + c quando a>0 ou estao todos no semiplano inferior se for a<0 . Portanto a reta y = bx+c, de inclinacao b, e tangente a parabola y = ax + bx + c no ponto P =( 0,c) (Figura 12).

Exemplo 1 (completando o Exemplo 10). Agora que conhecemos a forma geometrica do grafico da funcao quadratica f(x)=

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a b–a

Func oes Quadraticas 3

3 Movimento uniformemente variado

Um dos exemplos mais relevantes em que se aplicam as funcoes quadraticas e o movimento uniformemente variado. Aqui se tem um ponto movel, que se desloca ao longo de um eixo. Sua posicao no instante t e determinada pela abscissa f(t). O que caracteriza o movimento uniformemente variado e o fato de f ser uma funcao quadratica, que se escreve usualmente sob a forma

2 at + bt + c.

Nesta expressao, a constante a chama-se a aceleracao, b ea velocidade inicial (no instante t = 0)e c ea posicao inicial do ponto.

Em qualquer movimento retilıneo, dado por uma funcao arbitraria f(t), o quociente

tempo de percurso

34 Temas e Problemas chama-se a velocidade media do ponto no intervalo cujos extremos

media nesse intervalo e igual a at+b+ ah2 · Para valores cada vez menores de h, este numero vale aproximadamente at+b. Por isso dizemos que v(t)= at + b

Um importante exemplo de movimento uniformemente variado e a queda livre de um corpo, isto e, sujeito apenas a cao da gravidade, desprezada a resistencia do ar. Neste caso, a aceleracao da gravidade e representada por g e seu valor, determinado experimentalmente, e g = 9,81m/seg .

Se o corpo e simplesmente deixado cair de uma altura (que consideramos de coordenada zero num eixo vertical, orientado para baixo) sem ser empurrado, entao sua velocidade inicial e zero e sua posicao inicial e dada por c = 0, logo sua coordenada, apos t segundos de queda, e 1

Nosso conhecimento da funcao quadratica permite responder as mais diversas questoes a respeito do movimento uniformemente variado. Por exemplo, se uma partıcula e posta em movimento sobre um eixo a partir de um ponto de abscissa −6 com velocidade inicial de 5m/seg e aceleracao constante de −2m/seg , quanto tempo se passa ate sua trajetoria mude de sentido e ela comece a voltar para o ponto de partida? Resposta: temos f(t)=− t +5t−6. Logo o valor maximo de f e obtido quando t =− 5(−2)= 2,5 seg. Podemos ainda dizer que o ponto comeca a voltar quando v(t)= 0. Como v(t)=− 2t + 5 isto nos da novamente t = 2,5 seg.

O movimento uniformemente variado pode ocorrer tambem no plano. Um exemplo disso e o movimento de um projetil (uma bala,

Func oes Quadraticas 35 uma bola, uma pedra, etc.) lancado por uma forca instantanea e, a partir daı, sujeito apenas a cao da gravidade, sendo desprezada a resistencia do ar (movimento no vacuo). Embora o processo ocorra no espaco tridimensional, a trajetoria do projetil esta contida no plano determinado pela reta vertical no ponto de partida e pela direcao da velocidade inicial.

Quanto se tem um movimento retilıneo (sobre um eixo), a velocidade do movel e expressa por um numero. Mas quando o movimento ocorre no plano ou no espaco, a velocidade e expressa por um vetor (segmento de reta orientado), cujo comprimento se chama a velocidade escalar do movel (tantos metros por segundo). A direcao e o sentido desse vetor indicam a direcao e o sentido do movimento.

No plano em que se da o movimento, tomemos um sistema de coordenadas cuja origem e o ponto de partida do projetil e cujo eixo OY e a vertical que passa por esse ponto.

A velocidade inicial do projetil e o vetor v =( v ,v ) cuja primei- ra coordenada v fornece a velocidade da componente horizontal do movimento (deslocamento da sombra, ou projecao do projetil sobre o eixo horizontal OX).

Como a unica forca atuando sobre o projetil e a gravidade, a qual nao possui componente horizontal, nenhuma forca atua sobre este movimento horizontal, que e portanto um movimento uniforme. Assim, se P =( x,y) e a posicao do projetil no instante t,

Por sua vez, a aceleracao (= forca) da gravidade e constante, vertical, igual a −g. (O sinal menos se deve ao sentido da gravidade ser oposto a orientacao do eixo vertical OY.) Portanto, a componente vertical do movimento de P e um movimento uniformemente acelerado sobre o eixo OY, com aceleracao igual a −g e velocidade inicial v .

Logo, em cada instante t, a ordenada y do ponto P =( x,y) e

36 Temas e Problemas

O x= v1tv1 com gt + v t.

Neste caso, a trajetoria do projetil e vertical.

Substituindo t por este valor na expressao de y, obtemos

Isto mostra que a trajetoria do projetil e uma parabola.

4 A propriedade refletora da parabola

Outra aplicacao bastante difundida da funcao quadratica, ou melhor, da parabola que lhe serve de grafico, diz respeito a propriedade refletora dessa curva.

Se girarmos uma parabola em torno do seu eixo, ela vai gerar uma superfıcie chamada paraboloide de revolucao, tambem conhecida como superfıcie parabolica. Esta superfıcie possui inumeras aplicacoes interessantes, todas elas decorrentes de uma propriedade geometrica da parabola, que veremos nesta secao.

A fama das superfıcies parabolicas remonta a Antiguidade. Ha uma lenda segundo a qual o extraordinario matematico grego

Func oes Quadraticas 37

Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C., destruiu a frota que sitiava aquela cidade incendiando os navios com os raios de sol refletidos em espelhos parabolicos. Embora isto seja teoricamente possıvel, has erias duvidas historicas sobre a capacidade tecnologica da epoca para fabricar tais espelhos. Mas a lenda sobreviveu, e com ela a ideia de que ondas (de luz, de calor, de radio ou de outra qualquer natureza), quando refletidas numa superfıcie parabolica, concentram-se sobre o foco, assim ampliando grandemente a intensidade do sinal recebido.

Da lenda de Arquimedes restam hoje um interessante acendedor solar de cigarros e outros artefatos que provocam ignicao fazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfıcie parabolica polida.

Outros instrumentos atuam inversamente, concentrando na direcao paralela ao eixo os raios de luz que emanam do foco. Como exemplos, citamos os holofotes, os farois de automoveis e as simples lanternas de mao, que tem fontes luminosas a frente de uma superfıcie parabolica refletora.

F eixo

Um importante uso recente destas superfıcies e dado pelas antenas parabolicas, empregadas na radio-astronomia, bem como no dia-a-dia dos aparelhos de televisao, refletindo os debeis sinais provenientes de um satelite sobre sua superfıcie, fazendo-os convergir para um unico ponto, o foco, deste modo tornando-os consideravelmente mais nıtidos.

Se a antena parabolica estiver voltada para a posicao (estacionaria) do satelite, a grande distancia fara com que os sinais por

38 Temas e Problemas ele emitidos que atingem a antena sigam trajetorias praticamente paralelas ao eixo da superfıcie da antena, logo eles se refletirao na superfıcie e convergirao para o foco. Para a demonstracao da propriedade refletora da parabola, vide o livro “A Matematica do Ensino Medio”, vol. 1, paginas 135 a 141.

Func oes Quadraticas 39 Problemas Propostos∗

2. Sejam a e b numeros positivos. Prove que, para x>0 e y>0 com xy = c (constante), a soma ax + by assume seu valor mınimo quando ax = by = √ abc.

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