Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Calculo I Lista de Exercıcios – Gabaritos – Semana 02 2.o/2007

1) Suponha que uma chapa de metal plana esteja situada em um plano Oxy de modo que, no ponto (x,y), a temperatura T(x,y) seja inversamente proporcional a distancia de (x,y) a origem O. Nesse caso, a) descreva as isotermas da chapa, isto e, as curvas de nıvel de T(x,y).

Resposta: sao circunferencias com centros na origem. b) determine a equacao da isoterma T(x,y) = 20 supondo que T(4,3) = 40. Resposta: x2 + y2 = 102.

2) A figura abaixo ilustra as curvas de nıvel para a area da superfıcie do corpo humano S(x,y) (em m2) como funcao do peso x (em kg) e da altura y (em cm).

a) Use a figura para estimar a area da superfıcie do seu proprio corpo.

Resposta: pessoal.

b) Compare a estimativa acima com a estimativa mais precisa dada pela formula de Dubois & Dubois S(x,y) = 0.007184x0.425 y0.725.

Resposta: pessoal.

3) Suponha que a pressao P de um gas em um recipiente de volume V e temperatura T seja dada por P = 10T/V , com V e T nos intervalos 0 < V < 10 e 0 < T < 10.

a) Esboce as curvas isobaricas do gas, isto e, as curvas de nıvel de P(V,T).

Resposta: as semi-retas do plano Oxy na figura abaixo. b) Esboce os graficos das funcoes g(V ) = P(V,5) e h(T) = P(5,T).

Resposta: estao ilustrados na figura ao lado. c) Esboce o grafico de P(V,T).

Resposta: ver figura ao lado.

d) Decida sobre a existencia do limite

Resposta: o limite nao existe. Observe duas isobaricas distintas de P.

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4) Calcule os limites abaixo:

xy −y x2 −x+2xy −2y (observe que x − 1 e um fator comum ao numerador e ao denominador).

sen(x2 + y2) (use coordenadas polares).

Resposta: 1.

5) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido, no sentido positivo, por uma corrente eletrica estacionaria. Em um ponto P = (x,y) do plano Oxy, a corrente gera um campo magnetico B(P) que tem a direcao e o sentido ilustrados na figura abaixo, em que o cırculo ao redor do fio representa uma linha de forca do campo B. Pode-se mostrar que, no domınio D = {(x,y) ∈ R2 ; y > 0}, o campo e dado por B(P) = (fx(P),fy(P)), em que f(x,y) = K arctg(x/y) e K > 0 e uma constante apropriada.

a) Esboce as curvas equipotenciais do campo B, isto e, as curvas de nıvel da funcao f.

Resposta: sao semi-retas que partem da origem.

b) Calcule as derivadas parciais fx e fy. Em seguida verifique que, como esperado da simetria da situacao, a intensidade de B e constante ao longo de cırculos ao redor do fio.

c) Obtenha o vetor unitario U(x,y) que determina a direcao e o sentido do campo.

d) Verifique que, como ilustrado na figura, o campo B e tangente aos cırculos ao redor do fio.

Resposta: basta verificar que 〈 B(P),P〉 = 0 para todo P ∈ D.

6) O paraboloide P de foco F = (0,0,1) e plano diretor z = −1 e o grafico da funcao f : R2 → R dada por f(x,y) = (1/4)(x2 + y2). Uma propriedade importante do paraboloide e que o ponto

P0 = (x0,y0,z0) ∈ P e equidistante do foco F e do ponto Q0, em que Q0 = (x0,y0,−1) e a projecao ortogonal de P0 sobre o plano diretor, conforme ilustra a figura abaixo. Pode-se mostrar que o plano tangente a P no ponto P0 ∈ P tem equacao z = f(x0,y0) + (x0/2)(x − x0) + (y0/2)(y − y0).

a) Verifique a afirmacao de que P0 e equidistante de F e Q0.

Resposta:

da igualdade x20 +y20 b) Determine a equacao da reta N que e ortogonal a P em P0.

a b

c) Justifique a afirmacao de que N e paralela a reta pelos pontos F e Q0. Resposta: o vetor direcao da reta N e paralelo ao vetor F − Q0 = (−x0,−y0,2).

d) Justifique o fato de os angulos a e b indicados na figura serem iguais.

Resposta: do item anterior segue-se que a = P0Q0F e b = P0 FQ0; mas P0 FQ0 = P0Q0F, uma vez que o triangulo FP0Q0 e isosceles, logo a = b.

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