Exercícios com gabarito - Cálculo 1

Exercícios com gabarito - Cálculo 1

Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Calculo 1

Lista de Exercıcios – Semana 9 – 2.o/2006 – Gabarito –

1) [2.0/2002] Em um sistema de coordenadas de origem O = (0,0), o grafico da equacao x2 + 4y2 = 1 e uma elipse, conforme ilustra a figura abaixo. Suponha que essa equacao defina implicitamente um funcao derivavel y = f(x) para x ∈ (−1,1), e denote por L0 a reta tangente ao grafico de f(x) no ponto P0 = (x0,f(x0)). Julgue os itens a seguir.

C E b) Calculando implicitamente a derivada, obtem-se que f′(x) nao muda de sinal para x ∈ (−1,1).

C E c) A equacao de L0 pode ser escrita na forma x0x + 4f(x0)y = 1.

C E d) Nao existe o limite lim x→1− f′(x).

2) [1.0/2003] Conforme ilustra a figura abaixo, as areas dos retangulos inscritos na circun- ferencia x2 + y2 = 16 podem ser calculadas por meio da funcao A(x) = 4x√ 16 − x2, com y a) Calcule os pontos crıticos da funcao A(x) no intervalo (0,4).

Resposta: o unico ponto crıtico e x = √ 8.

b) Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento da funcao A(x).

c) Determine os intervalos em que a concavidade do grafico de A(x) e voltada para baixo e os intervalos em que concavidade e voltada para cima.

Resposta: A(x) tem concavidade voltada para baixo em todo o intervalo (0,4).

d) Esboce o grafico de A(x).

Resposta: o grafico e como ilustrado ao lado. √ 8 4

3) [2.0/2003] Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0,1 kg que foi lancado verticalmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma forca de resistencia do ar FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximacao g = 10 m/s2 da aceleracao da gravidade, pode-se mostrar que v(t) e solucao do problema de valor inicial

Como ilustra os itens a seguir, o problema (∗) pode ser melhor entendido a partir do fato de que, se a derivada de uma funcao for identicamente nula em um intervalo, entao a funcao e necessariamente constante.

a) Calcule as derivadas das funcoes ln(1 + v(t)) e −10t.

Resposta: d

b) Use o item anterior e as informacoes dadas para obter uma relacao entre as funcoes ln(1 + v(t)) e −10t.

Resposta: ln(1 + v(t)) = −10t + K para alguma constante K.

c) Use o item anterior e a condicao inicial v(0) = 63 para obter a expressao de v(t). Resposta: v(t) = −1 + 64e−10t.

d) Determine o instante em que o corpo alcanca a altura maxima usando a aproximacao ln(2) = 0,69.

Resposta: o instante e t = 6ln(2)

4) [1.0/2004] Considere um reservatorio, na forma de um hemisferio de raio R = 10 m, com agua ate uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de agua e dado por V (h) = (pi/3)(3Rh2 − h3). Suponha que o reservatorio esteja sendo abastecido a uma razao de 0,48pi m3/min, e portanto a altura h e o raio r da superfıcie da agua sao funcoes do tempo. Observe que a forma esferica do reservatorio estabelece uma relacao entre as funcoes h = h(t) e r = r(t).

r R a) Usando a regra da cadeia aplicada ao caso em que V = V (h) e h = h(t), determine o valor de h′(t) no instante t em que h(t) = 4.

c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(t) no instante t em que h(t) = 4.

d) Determine, caso exista, a altura h na qual se tenha h′(t) = r′(t).

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