Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Exercícios com gabarito - Cálculo 3

Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Calculo I Lista de Exercıcios – Gabaritos – Semana 05 2.o/2007

a) Dado (x,y) ∈ D, determine z > 0 de forma que o paralelepıpedo retangulo de lados 2x, 2y e 2z esteja inscrito no elipsoide E. Em seguida, defina como V (x,y) o volume desse paralelepıpedo.

b) Usando a funcao V (x,y), verifique que o paralelepıpedo retangulo de maior volume que pode ser inscrito no elipsoide tem lados de comprimentos 2a/√ 3, 2b/√ 3 e 2c/√ 3.

Resposta: o maximo absoluto de V ocorre no ponto (a/√ 3, b/√ 3).

2) Sejam x, y e z quaisquer tres numeros nao negativos. O objetivo dessa questao e verificar que a media geometrica (xy z)1/3 e menor ou igual a media aritimetica 13 (x + y + z) desses numeros.

a) Justifique a afirmacao de que, com a notacao acima, o problema fica reduzido a verificar que f(x,y) 6 (S/3)3.

Resposta: basta extrair a raiz cubica da desigualdade dada.

b) Verifique que f possui um unico ponto crıtico interior a D. Resposta: (S/3,S/3) e o unico ponto crıtico interior a D.

c) Justifique a afirmacao de que o ponto crıtico do item anterior e o ponto de maximo absoluto de f. Em seguida, verifique que f(x,y) 6 (S/3)3 para todo (x,y) ∈ D.

Resposta: D e fechado e limitado e f e contınua, e portanto possui maximo e mınimo absoluto. Como f(x,y) > 0 e f(x,y) ≡ 0 ∀ (x,y) ∈ ∂D, segue-se que o maximo absoluto e assumido num ponto interior a D, e portanto e ponto crıtico. Logo, o maximo e o unico ponto encontrado no item anterior.

3) Considere o problema de determinar a distancia de P0 = (1,1,0) ao paraboloide P de equacao z = x2 + y2, cujo grafico esta ilustrado abaixo. Nesse sentido, seja f(x,y) o quadrado da distancia de P0 a um ponto generico (x,y,x2 + y2) de P.

a) Obtenha a expressao e calcule as derivadas parciais de f(x,y).

c) Determine a distancia de P0 a P.

Resposta: a distancia e igual a √ 3/2.

segmento P0 P1 e ortogonal a P no ponto P1.

Calculo I Lista de Exercıcios – Gabaritos – Semana 05 2.o/2007 – 1/2

4) Sejam a e b numeros positivos e considere o plano de equacao z = d − ax − by que passa pelo ponto P0 = (1,2,3). Nesse caso, o plano corta os eixos coordenados nos pontos (A,0,0), (0,B,0) e (0,0,d), e determina no primerio octante um tetraedro de volume igual a ABd/6.

a) Determine os numeros A, B e d em termos dos coeficientes a e b. Resposta: d = 3 +2b+a, A = d/a e B = d/b.

b) Use o item anterior para determinar o volume V (a,b) do tetraedro em funcao dos coeficientes a e b.

c) Justifique a afirmacao de que a funcao V (a,b) nao possui ponto de

Resposta: observe que limb→0 V (2,b) = ∞, logo V (a,b) nao e limitada superiormente.

d) Use a informacao de que V (a,b) possui um ponto de mınimo absoluto em D para determinar qual e esse valor mınimo e os correspondentes vertices (A,0,0), (0,B,0) e (0,0,d).

5) Os alelos A, B e O determinam os tipos sanquineos A (A ou AO), B (B ou BO), O (O) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z sao as proporcoes dos alelos A, B e O em uma populacao, entao a proporcao P de indivıduos da que possuem dois alelos distintos e dada por

b) Calcule os pontos crıticos de P(x,y) interiores ao domınio D. Resposta: o unico ponto crıtico interior a D e (1/3,1/3).

c) Determine o valor maximo da funcao P(x,y) sobre a fronteira de D.

Resposta: o maximo de P∣ ∣ d) Usando os itens anteriores, determine as proporcoes dos alelos A, B e O que maximizam a proporcao P de indivıduos com dois alelos distintos.

6) Considere a funcao de Cobb-Douglas P(x,y) = Kx1/5y4/5, em que K > 0, x e o numero de unidade de capital e y o e numero de unidades de trabalho empregadas na producao P(x,y) de um determinado bem. Considere ainda que o custo das unidades de capital e trabalho sejam, respectivamente, de 5 e 10 unidades monetarias, de modo que o custo de producao e dado pela funcao C(x,y) = 5x + 10y. Com essa notacao, um problema interessante e determinar o custo mınimo de producao de uma quantidade fixa de bens P(x,y) = P0. Indicando por N0 a curva de nıvel P(x,y) = P0, esse problema corresponde a minimizar a restricao C∣ ∣

N0 . A figura abaixo ilustra a curva de nıvel N0

(no plano Oxy) juntamente com o grafico da restricao C∣∣

N0 . Por simplicidade, suponha P0 = 2K.

b) Determine os pontos crıticos de C∣∣ N0 .

c) Justifique a afirmacao de que C∣ ∣

N0 nao possui ponto de maximo absoluto.

Resposta: pode-se escolher x → 0 e y → ∞ em N0, logo C∣ ∣ d) Use agora os itens anteriores e a informacao de que existe um ponto de mınimo de C∣ ∣

N0 para determinar qual e esse ponto e qual e o valor mınimo correspondente.

Calculo I Lista de Exercıcios – Gabaritos – Semana 05 2.o/2007 – 2/2

Comentários