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CálculoII

Agnaldo Souza Pereira

Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de Oliveira

Manaus 2007 º4. Período

Governador Eduardo Braga

Vice–Governador Omar Aziz

Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM Núcleo de Produção de Material

Coordenador Geral João Batista Gomes

Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes

Pereira, Agnaldo Souza.

P436cCálculo I / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,

Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 4. Período)

92 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. I. Oliveira, Jefferson Pereira de. I. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

UNIDADE I– Funções de várias variáveis07
TEMA 01 –Introdução10
TEMA 02 –Domínio e Imagem13
TEMA 03 –Gráficos de funções de duas variáveis15
TEMA 04 –Limites e continuidade para funções de várias variáveis19
TEMA 05 –Derivadas parciais21
TEMA 06 –Derivadas de ordem superior25
UNIDADE I– Derivada direcional27
TEMA 01 –Vetor gradiente e derivadas direcionais29
TEMA 02 –Multiplicadores de Lagrange31
UNIDADE I– Integrais de linha35
TEMA 01 –Caminhos e curvas37
TEMA 02 –Comprimento de curvas e caminhos41
TEMA 03 –Definição de integrais de linha45
UNIDADE IV– Integrais múltiplas51
TEMA 01 –Integrais duplas54
TEMA 02 –Integrais repetidas56
TEMA 03 –Integrais triplas59
TEMA 04 –Mudança de variáveis nas integrais duplas62
TEMA 05 –Aplicações da integral dupla e tripla64
UNIDADE V– Teorema de Green73
Respostas de Exercícios85

SUMÁRIO Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Agnaldo Souza Pereira

Bacharel em Física - UFRJ Mestre em Física - UFRJ

Licenciado em Física - FTESM Doutor em Física - UFRJ

Cláudio Barros Vitor

Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Jefferson Pereira de Oliveira

Licenciado em Matemática – UCSal Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF

UNIDADE I Funções de várias variáveis

Jean Le Rond D’Alembertnasceu em 16 de novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo da marquesa Claudine Guerin de Tencin, escritora, e do cavaleiro Louis-Camus Destouches, oficial do exército francês.

Logo após o nascimento, foi abandonado por sua mãe nas escadarias da Capela de Saint Jean Le Rond, de onde foi levado para um orfanato, à espera de adoção.

O bebê recebeu o nome do santo protetor da capela, e foi adotado por um humilde artesão e sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a educação por meio de uma pensão.

Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos 21 anos de idade. Mais tarde, passa a interessar-se por Medicina e Matemática, sendo que seu primeiro trabalho matemático é publicado em 1739, no qual ele apresenta correções de erros que encontrou em um dos livros usado em sua formação. Aos 24 anos de idade, D’Alembert já era célebre por seu trabalho em Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu Tratado de Dinâmica, com importantes contribuições à ciência da mecânica.

Deixou também contribuições para a teoria das equações diferenciais, em que se destaca o método de solução de D’Alembert para resolver equações diferenciais não-homogêneas por meio de uma equação auxiliar.

Além das contribuições em ciências exatas, D’Alembert também participou, com Denis Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma das maiores obras do Iluminismo.

Ao contrário do que faria supor sua infância humilde, D’Alembert freqüentava lugares e festas elegantes, onde conheceu a escritora Julie de Lespinasse, por quem se apaixonou.

Quando D’Alembert se tornou famoso por suas realizações intelectuais, sua mãe biológica apresentou-se, mas ele, que viveu na casa paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do artesão e de sua mulher. Você é, no máximo, minha madrasta.”

Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos de idade, em 1783, como um célebre cientista e renomado homem de cultura.

William Rowan Hamiltonnasceu em Dublin, em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram deixando o pequeno órfão aos cuidados de um tio, que o educou dentro de uma severa linha de comportamento, dando-lhe uma educação abrangente, com forte ênfase em línguas estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos de idade, lia e recitava Homero em grego; aos 8 anos, já falava fluentemente o italiano e o francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a língua árabe. Seu interesse pela matemática surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer um jovem norte-americano chamado Zertah Colburn, que possuía fantástica habilidade para realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity College, em 1824, tendo sido o primeiro colocado entre 100 candidatos no concurso de admissão. Aos 2 anos, ainda estudante, já era dire-

Cálculo I– Funções de várias variáveis

UEA– Licenciatura em Matemática

tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à leitura das obras de Newton e de Laplace, e criou sua própria formulação da mecânica, conhecida hoje como mecânica hamiltoniana, que é tremendamente importante em todos os campos da física moderna, notadamente na física quântica. Sua vida particular não foi das mais tranqüilas; ele teve sérios problemas com o alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, convence-se de que a única solução seria nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida alcoólica.

Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio, mas durante uma discussão com o astrônomo George Airy, que debochou de seu hábito de beber apenas água durante festas e solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu, afundando-se ainda mais no vício. Apesar da desordem em que estava mergulhada sua vida privada, Hamilton ainda se mantinha firme na competição matemática. Contribuiu para o desenvolvimento do cálculo, sendo de sua autoria o termo gradiente para designar o vetor que aponta na direção de maior variação de uma função escalar. Hamilton também realizou pesquisas em ótica e soluções numéricas de equações diferenciais. O homem que amava os animais e que foi chamado “o novo Newton” morreu em 1865, deixando uma obra inacabada, que foi publicada por seu filho no ano seguinte.

TEMA 01

O conceito de função de várias variáveis está intimamente ligado aos fenômenos mais complexos no campo da matemática aplicada à física e à engenharia. Se um meteorologista, por exemplo, tiver de determinar o comportamento futuro da temperatura de uma região, ele precisará de um conjunto de dados atmosféricos, como pressão do ar, velocidade dos ventos e umidade do ar.

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