(Parte 1 de 4)

Cálculo I

Arnaldo Barbosa Lourenço

Clício Freire da Silva Genilce Ferreira Oliveira

Manaus 2007

Governador Eduardo Braga

Vice–Governador Omar Aziz

Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos

NUPROM Núcleo de Produção de Material

Coordenador Geral João Batista Gomes

Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes

Lourenço, Arnaldo Barbosa.

L892cCálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva,

Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia.

1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. I. Oliveira, Genilce Ferreira. I. Série. IV. Título.

CDU (1997): 517.2/.3

Palavra do Reitor07
UNIDADE I– Função09
TEMA 01 –Função ou Aplicação1
UNIDADE I– Limites23
TEMA 02 –Limites – Definição e Limites Laterais25
TEMA 03 –Continuidade de uma Função28
TEMA 04 –Propriedades dos Limites30
TEMA 05 –Limites Infinitesimais3
TEMA 06 –Limites Trigonométricos36
TEMA 07 –Limites Exponenciais37
UNIDADE I– Derivada41
TEMA 08 –Derivada de uma Função, definição43
TEMA 09 –A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função46
TEMA 10 –Regras de Derivação51
TEMA 1 –A Regra da Cadeia56
TEMA 12 –Estudo do Sinal de uma Função60
TEMA 13 –Taxa de Variação e regra de L’Hospital67
UNIDADE IV– Integrais71
TEMA 14 –Integrais Primitivas e Indefinidas73
TEMA 15 –Cálculo de Área79
TEMA 16 –Área entre Curva86
TEMA 17 –Mudança de Variável na Integral8
TEMA 18 –Integração por partes94
TEMA 19 –Integrais Trigonométricas98
TEMA 20 –Integrais de Funções Racionais102
Respostas de Exercícios1

SUMÁRIO Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

Arnaldo Barbosa Lourenço

Licenciado em Matemática - UFPA

Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM

Clício Freire da Silva

Licenciado em Matemática – UFAM

Bacharel em Matemática – UFAM Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Genilce Ferreira Oliveira

Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM

UNIDADE I Função

TEMA 01

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1.1. Definição, elementos

Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a → b) onde A e b são dois conjuntos e a →b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por Imf:

Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A B uma função. O conjunto

Gf= {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode,então,ser pensadocomo o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Observação– Por simplificação, deixaremos, muitas vezes,de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão.

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e

Exemplo:

B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função.

M = {0, 1 ,2}

Solução: N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02= 0 x = 1 y = 12= 1 x =2 y = 2= 4 No diagrama de flechas, temos que:

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplicação, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N.

Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}.

Gráficos de funções

Dizemos que uma relação binária R: A B é função ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A.

Exemplos:

1.Verificar se o gráfico abaixo representa uma função.

Cálculo I– Função

Solução: Dado o gráfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação.

2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou aplicação.

Solução: Dado o gráfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais que traçarmos, tocarão em um e único ponto no gráfico. Logo g é uma função ou aplicação.

3.Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que:

•O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real

•f(–1) = (–1)3= –1, f(0) = 03= 0, f(1) = 13= 1

Domínio de funções

O domínio de uma função representa o conjunto de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos:

a)O domínio de uma função polinomial é sempre real.

b)Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este diferentede zero.

c)Radical com índice par no numerador possui radicando maior ou igual a zero.

d)Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero.

Exemplos: 1.Qual é o domínio mais amplo para a função

Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio

Solução:

→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}.

3.Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se:

a)Df= IR b)Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3= y.

UEA– Licenciatura em Matemática c)O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3.

d)f(–1)=(–1)3= –1; f(0) = 03= 0; f(1) = 13= 1. e)Gráfico de f:

Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR}

Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3, sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x (veja: 23= 8; 3= 27, etc.); quando x se aproxima de zero, y aproximase de zero mais rapidamente que x((1/2)3 = 1/8; (1/3= 1/27 etc.). esta análise dá-nos uma idéia da parte do gráfico correspondente a x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x).

4.Seja f a função dada por . Tem–se:

a)Df= {x∈IR| x ≥ 0} b)Im f = {x∈IR/ y ≥ 0} c)f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2).

d) e) f)Gráfico de f:

A função f é dada pela regra . Quando x cresce, y também cresce sendo o crescimento de Y mais lento que o de x

; quando x se aproxima de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente que .

5.Considere a função g dada por. Tem–se:

a)Dg = {x∈IR| x ≠ 0} b)Esta função associa a cada x ≠ 0 o real g(x) = 1/x d)Gráfico de g:

Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproximando-se de Zero à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0.

Observação – Quando uma função vem dada por uma regra do tipo x |→y, y = f(x), é comum referir-se à variável y como variável dependente, e à variável x como variável independente.

6.Dada a função f(x) = – x2+ 2x, simplifique:

a)b) 13

Cálculo I– Função

Solução:

a) assim

Observe: f(1) = –12+2 = 1.

b)primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2+ 2(x + h) = –x2– 2xh – h2+ + 2x + 2h.

Então,

ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0.

7.Função constante– Uma função f: A → IR dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante.

a)f(x) = 2 é uma função constante; tem-se:

(i)Df = IR; Im f = {2} (i)Gráfico de f

Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}.

O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).

8.g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é

9. Seja

Tem–se: a)Df = IR; Im f = {–1,1} b)Gráfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não.

Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Representando essa situação por diagrama de flechas, temos:

Exemplos a)Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1

UEA– Licenciatura em Matemática g(x) = 3 – 4x (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 = 6 – 8x – 1

= 5 – 8x (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) = 3 – 8x + 4

= 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) = 5 – 8x – 7 + 8x

= –2 a)Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0).

Solução: (fog)(x) = 2x + 1 f(x) = –2x + 3 g(0) = ? (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1

Solução: (1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 (2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2 Fazendo-se (1) (2), temos que:

– D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2}

2.Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e g(x) = 2– 3x. Solução:

f(x) = 2kx +1 g(x) = 2– 3x fog(x) = gof(x)

2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 4k = –1 k = –1/4

3.Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x.

Solução f(2x –1) = 3 – x 2x – 1 = –1 x = 0 f(–1) = 3 – 0 f(–1) = 3 x + 1 = t x = t – 1

3 – x > 0 x < 3 D(f) = ]–;3[

1.4Função polinomial do 1.grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1.grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax+ b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax+ b, o número aé chamado de coeficiente de x, e o número bé chamado termo constante.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1. grau, y= ax+ b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe Oy.

•Se a > 0, então f será crescente.

Cálculo I– Função

UEA– Licenciatura em Matemática

Para a > 0: se x1< x2, então ax1< ax2. Daí, ax1+ b < ax2+ b, de onde vem f(x1) < f(x2).

•Se a < 0, então f será decrescente;

Para a < 0: se x1< x2, então ax1> ax2. Daí, ax1+ b > ax2+ b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Observação –Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a):

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos:

a) f(x) = 2x
b) g(x) = –2x

1.Esboce os gráficos. c) h(x) = 2 I x I

Solução:

a)O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2).

b)O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2).

c)Primeiro, eliminemos o módulo y = –2x

2.Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.

Solução: Primeiro, eliminemos o módulo

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma:

para x ≥ 1, f(x) = x + 1 para x < 1, f(x) = –x + 3

Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma.

Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfico de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtémse do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas unidades.

1.5Função quadrática (função polinomial do 2. grau)

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.grau, qualquer função fde IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2+ bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2. grau, y = ax2+ bx + c, com a ≠0, é uma curva chamada parábola.

•a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; •a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo.

Observação –A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ, chamado discriminante, a saber:

•quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; •quando Δé zero, há só uma raiz real;

•quando Δ é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Exemplo: (PUC) Determine as coordenadas do vértice da

Cálculo I– Função parábola y = –x2+ 2x – 5. a) (1,–4) b) (0,–4) c) (–1,–4) d) (2,–2) e) (1,–3) Solução:

1.y = –x2+ 2x – 5, então a = –1, b = 2 e c = –5

2.= b2– 4ac = 2– 4.(–1).(–5) = –16

5.Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2+ bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

a < 0

Exemplo:

(USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2+ 2x –1, no plano cartesiano.

Solução:

(1)f(x) = –x2+ 2x –1, então a = –1, b = 2 e c = –1

(2)= b2– 4ac, então = 2– 4.(–1).(–1) = 0, logo as raízes de f são

(6)f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7)Então o gráfico pode ser dado por:

Observação:

1. Função polinomial– Uma função f: IR → IR dada por

f(x) = a0xn+ a1xn–1++ an – 1x + an
em que a0, a1, a2,, ansão números fixos,

denomina-se função polinomial de grau n (n a)f(x) = x2– 4 é uma função polinomial de grau 2, e seu gráfico é a parábola

UEA– Licenciatura em Matemática

O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria paralela ao eixo Oy.

b)g(x) = (x – 1)3é uma função polinomial de grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = x3, transladando-o uma unidade para a direita.

2.Função racional –Uma função f é uma função dada por onde p e q são duas funções polinomiais; o domínio de f é o conjunto {x∈IR|q(x) ≠ 0}.

a)é uma função racional definida para todo x 0. Como , segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3).

b)é uma função racional com domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que . À medida que I x I vai crescen- do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o gráfico de g vai, então “encostando” na reta y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). À medida que x aproxima-se de zero, o grá- fico de g vai encostando na curva.

c)é uma função racional com

Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é obtido do gráfico de y = , transladando-o duas unidades para a esquerda.

Cálculo I– Função

1. Calcule: a)f(–1) esendo f(x) = –x2+ 2x b)g (0), g (2) e g() sendo c)sendo f(x) = x2e ab ≠ 0

2. Simplifiquesendo dados:

a)f(x) = x2e p = 1 b)f(x) = 2x + 1 e p = 2 c)f(x) = 1/x e p = 2 d)f(x) = e p = –3 e)f(x) = 5 e p = 2

3.Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x) igual a:

a)2x + 1 b) x2 c)–2x2+ 3 d) 5

4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a)f(x) = 3x c)h(x) = d)g(x) = e)f(x) =

5. Determine o domínio das funções: a)b) c) d) e)

1.6 Função exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR IR+definida por f(x) = ax, com a IR+e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+(reais positivos, maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1.y = 2x(nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

2.y = (1/2)x(nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

UEA– Licenciatura em Matemática

Nos dois exemplos, podemos observar que:

a)O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes.

c)Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente.

Se a > 1, então f será decrescente.

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