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Lenimar Nunes de Andrade versao 0.0 – 27/outubro/2000

Sumario

1.1 Introducao1
1.2 Segmentos orientados e vetores1
1.2.1 Definicao de segmento orientado1
1.2.2 Modulo, direcao e sentido2
1.2.3 Equivalencia de segmentos orientados3
1.2.4 Vetores4
1.3 Operac oes com vetores5
1.3.1 Produto de um escalar por um vetor5
1.3.2 Adicao e subtracao de vetores5
1.4 Sistema de coordenadas7
1.4.1 Coordenadas no plano7
1.4.2 Coordenadas no espaco8
1.4.3 Vetores unitarios8
1.4.4 Definicao analıtica das operacoes com vetores9
1.5 Comprimento de um vetor10
1.6 Ponto medio de um segmento de reta10
1.7 Dependencia e independencia linear1
1.8 Exercıcios resolvidos12
1.9 Exercıcios propostos15
2.1 Introducao19
2.2 Produto interno19
2.2.1 Projec oes ortogonais20
2.2.2 Propriedades do produto interno21
2.2.3 Produto interno em coordenadas2
2.2.4 Bases ortogonais e ortonormais23
2.3 Produto vetorial24
2.3.1 Propriedades do produto vetorial25
2.3.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto vetorial26
2.4 Produto misto27
2.4.1 Interpretacao geometrica27
2.4.2 Propriedades do produto misto28
2.5 Exercıcios resolvidos29
2.6 Exercıcios propostos3

2 Produtos de vetores 19 Referencias Bibliograficas 39

Capıtulo 1 Vetores

1.1 Introducao

O estudo de vetores iniciou-se no final do seculo XIX. Eles constituem os instrumentos ideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes da Fısica e da Matematica.

Existem basicamente tres maneiras de se introduzir o estudo de vetores: geometricamente, analiticamente e axiomaticamente.

No metodo geometrico, os vetores sao representados por segmentos de reta orientados (setas) e as operacoes com eles sao definidas geometricamente.

No metodo analıtico, os vetores e correspondentes operacoes sao descritos em termos de numeros, chamados componentes dos vetores. A descricao analıtica resulta naturalmente da descricao geometrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas.

No metodo axiomatico nao se faz qualquer tentativa para se descrever um vetor ou as operacoes algebricas com vetores. Neste caso, vetores e operacoes vetoriais sao considerados conceitos nao definidos, relativamente aos quais sabe-se apenas que eles satisfazem um certo conjunto de axiomas. Um tal sistema algebrico, com axiomas apropriados, chama-se espaco vetorial. Em todos os ramos da Matematica se encontram espacos vetoriais e eles sao apresentados em cursos de Algebra Linear.

Neste texto, inicialmente introduzimos vetores geometricamente. Depois, utilizamos o metodo analıtico para introduzir outros conceitos.

1.2 Segmentos orientados e vetores

Nesta secao sao definidos geometricamente segmentos orientados e vetores. Tentamos definir formalmente todos os conceitos envolvidos, algo que nem sempre e facil de ser colocado em pratica mantendo-se a simplicidade do texto.

1.2.1 Definicao de segmento orientado

A reta suporte de dois pontos dados A e B, e a unica reta que passa por eles. O conjunto de pontos formado por A, B e os pontos da reta suporte que estejam entre eles chama-se segmento AB, denotado por AB. Neste caso, A e B chamam-se os extremos do segmento. A figura 1.1 mostra um segmento de extremos A e B, com reta suporte r.

Um segmento orientado −→ AB e definido por um segmento AB mais a escolha de um dos seus extremos. O extremo escolhido chama-se ponto inicial (ou origem) do segmento orientado e o outro extremo chama-se ponto final.

2 CAPITULO 1. VETORES

Figura 1.1: Segmento AB Figura 1.2: Segmento orientado Figura 1.3: Segmentos colineares

Graficamente, um segmento orientado −→ AB costuma ser representado como sendo uma seta de A para B (figura 1.2). Formalmente, um segmento orientado −→AB pode ser definido como um par (AB,A) formado pelo segmento AB e um ponto inicial A.

A reta suporte de um segmento orientado −→ AB e a mesma reta suporte do segmento AB.

Dizemos que dois segmentos orientados sao colineares quando eles tem a mesma reta suporte (figura 1.3).

mento do segmento AB, ou seja, e a distancia entre os pontos A e B.

Dizemos que dois segmentos orientados tem a mesma direcao quando eles tem retas suportes coincidentes ou paralelas.

Figura 1.5: Mesmos sentidos Figura 1.6: Sentidos contrarios

1.2. SEGMENTOS ORIENTADOS E VETORES 3

AB e

AB e −→CD tem o

AB e

−→CD forem colineares, entao comparamos os sentidos de −→ e equivalente a

−→CD situado em outra reta suporte e, neste caso, dizemos que −→

AB e −→CD tem os

mesmos sentidos se e somente se −→

Observacoes:

• Sob um ponto de vista formal, a direcao do segmento orientado e o conjunto de retas formado pela reta suporte e todas as suas paralelas.

• Dados dois pontos A e B, podemos definir a partir deles dois segmentos orientados −→

AB e−→ BA. Neste caso dizemos que eles um deles e o oposto do outro e que eles tem sentidos contrarios.

• Nao faz sentido comparar sentidos de segmentos orientados de direcoes diferentes. Por exemplo, na figura 1.4 nada podemos afirmar se −→

AB e −→EF tem o mesmo sentido ou nao – simplesmente seus sentidos nao se comparam.

Quando A = B o segmento AB reduz-se ao ponto A e, neste caso, o segmento orientado −→ A e chamado segmento orientado nulo. Neste caso, o sentido e a direcao sao indefinidos.

1.2.3 Equivalencia de segmentos orientados

Dizemosquedoissegmentosorientados −→

eles tem o mesmo modulo, mesma direcao e o mesmo sentido.

Outra maneira de definir segmentos equivalentes: os segmentos −→

AB e −→CD sao equivalentes quando o ponto medio do segmento AD coincidir com o ponto medio do segmento BC.

Segue da definicao de equivalencia que o segmento −→

AB e equivalente a si proprio e que−→AB equivalente a −→CD implica −→CD equivalente a

equivalente a −→EF implica −→AB equivalente a

Figura 1.7: Segmentos orientados equivalentes

Exemplo 1.2 Todos os segmentos orientados da figura 1.7 tem o mesmo modulo, a mesma direcao e o mesmo sentido; logo, sao equivalentes.

4 CAPITULO 1. VETORES

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