livro de cálculo numérico

livro de cálculo numérico

(Parte 1 de 8)

Calculo Numerico — Fundamentos e Aplicacoes

Claudio Hirofume Asano

Eduardo Colli Departamento de Matematica Aplicada – IME-USP

Sumario

I Sistemas Lineares 9

1.1 Introducao1
1.2 Provetas1
1.3 Petroleo12
1.4 Cores13
1.5 Interpolacao polinomial15
1.6 Outros problemas de determinacao de polinomios16
1.7 Splines17
1.8 Problemas de contorno18

1 Exemplos de aplicacoes de sistemas lineares 1

2.1 O metodo21
2.2 Algarismos significativos24
2.3 O determinante no Metodo de Escalonamento28
2.4 A desvantagem da Regra de Cramer29
2.5 Sistemas mal-condicionados e refinamento de solucao31
2.5.1 Sistemas mal-condicionados31
2.5.2 Matrizes de Hilbert32
2.5.3 Refinamento3

2 O Metodo de Escalonamento 21

3.1 O Metodo de Jacobi37
3.2 Criterio das Linhas38
3.3 Criterio de parada40
3.4 O Metodo de Gauss-Seidel41

3 Metodos iterativos 37

I Ajuste de Funcoes 47

4.1 O problema do ajuste49
4.2 Os mınimos quadrados50
4.3 Parametros50

4 Ajuste de funcoes 49 3

4.3.1 Densidade51
4.3.2 Catenaria52
4.3.3 Naftalinas e funcoes afins52
4.3.4 Decaimento exponencial53
4.3.5 Leis de potencia e fractais54
4.3.6 Gaussiana5

4 SUMARIO

5.1 Dependencia linear dos parametros59
5.2 Contınuo vs. discreto60
5.3 Um parametro61
5.4 Dois parametros62
5.5 Ajuste de qualquer funcao linear nos parametros64
5.6 O caso contınuo65
5.7 Exemplos6
5.7.1 Dinamometro6
5.7.2 Cosseno aproximado por um polinomio68

5 Funcoes lineares nos parametros 59

6.1 Produto escalar e distancia71
6.2 Existencia e unicidade de solucoes no ajuste linear73
6.3 O caso contınuo74
6.4 Outros produtos escalares: pesos75

6 Levando a serio o produto escalar 71

7.1 Definicoes e exemplos7
7.2 Calculando polinomios ortogonais por recorrencia79
7.3 Um exemplo de aplicacao de polinomios ortogonais81
7.4 Exemplo de analise harmonica81
7.5 Uso de funcoes tabeladas por mudanca de variavel84

7 Famılias ortogonais 7

I Equacoes e Zeros de Funcoes 87

8.1 Introducao89
8.2 Raiz cubica de 1090
8.3 Para-quedista ou bolinha em queda dentro d’agua90
8.4 O cilindro deitado93
8.5 Catenaria95
8.6 Metodo da Dicotomia96

8 Zeros de funcoes e o Metodo da Dicotomia 89

9.1 Plano geral9
9.2 Pontos fixos100
9.4 Visualizando iteracoes102
9.5 Iterando perto de pontos fixos104
9.6 Teorema do Valor Medio e velocidade de convergencia109
9.6.1 O caso ϕ′(x∗) = 0: convergencia quadratica110
9.7 Calculando zeros de funcoes - a escolha de ϕ1
9.8 A escolha de x0113
9.9 Um criterio de parada115

SUMARIO 5

10.1 Quando o Metodo de Newton funciona?118
10.1.1 Retirando a hipotese f′(x∗) 6= 0121
10.2 Metodo de Newton em dimensoes mais altas123
10.2.1 Determinacao da forma de uma corda124

10 O Metodo de Newton 117

IV Interpolacao Polinomial 127 1 Estimativa do erro nas interpolacoes 129

12.1 Polinomios de Lagrange133
12.2 Forma de Newton133
12.2.1 Exemplo do uso da forma de Newton137

12 Tecnicas de interpolacao 133

V Integracao de Funcoes 139

13.1 Introducao141
13.2 Calculo de areas142
13.3 Comprimento de curvas e graficos144
13.4 Distancia percorrida e tempo decorrido146
13.5 Perıodo do pendulo e as integrais elıpticas147
13.6 Calculo de pi e de logaritmos151
13.7 A gaussiana152

13 Importancia da integracao numerica 141

14.1 Introducao155
14.2 O Metodo dos Trapezios155
14.3 O Metodo de Simpson157

14 Metodos de integracao numerica 155

15.1 Formulas de erro e comparacao dos metodos161

6 SUMARIO

16.1 Primeira Abordagem - Metodo dos Trapezios168
16.2 Primeira Abordagem - Metodo de Simpson169
16.3 Segunda Abordagem - Metodo dos Trapezios169
16.4 Segunda Abordagem - Metodo de Simpson170
16.5 Terceira Abordagem - Metodo dos Trapezios171
16.6 Terceira Abordagem - Metodo de Simpson172

16 Obtencao das formulas de erro 167

VI Equacoes Diferenciais 175

17.1 Introducao177
17.2 Solucao de equacoes autonomas e separaveis179
17.3 Alguns exemplos180
17.3.1 Naftalinas180
17.3.2 Crescimento populacional a taxas constantes180
17.3.3 Para-quedista181
17.3.4 Crescimento populacional com restricoes de espaco181
17.3.5 Catenaria182
17.3.6 Escoamento de um copo furado183
17.3.7 Dada ϕ do Metodo de Newton, quem e f?185
17.3.8 Transferencia de calor185
17.4 Entendimento qualitativo de equacoes autonomas186
17.5 Equacoes diferenciais com mais variaveis187

17 Breve introducao as equacoes diferenciais 177

18.1 Equacoes separaveis191
18.2 Discretizacao192
18.3 O Metodo de Euler194
18.4 Indo para segunda ordem196
18.5 Runge-Kutta198
18.6 Runge-Kutta em sistemas de equacoes autonomas202

18 Solucao numerica de equacoes diferenciais 191

A.1 Sistemas lineares e intersecoes de hiperplanos205
A.2 Transformacoes lineares206
A.3 Notacao e interpretacao208
A.4 Inversao de matrizes208
A.5 Explorando a linearidade209
A.6 Existencia e unicidade de solucoes212
A.7 Injetividade, sobrejetividadeglup! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A.8 O determinante214
A.8.1 Dimensao 2214
A.8.2 Dimensao 3216
A.9 Quadro comparativo219

SUMARIO 7

B.1 Derivadas221
B.2 Primitivas2
B.3 Integral223
B.4 A integral indefinida224
B.5 O Teorema Fundamental do Calculo226
B.6 A praticidade do Teorema Fundamental do Calculo228
B.7 O logaritmo229
B.8 O Teorema do Valor Medio233
B.9 A Regra da Cadeia234
B.10 Regras do produto e do quociente236
B.1 Truques de primitivizacao: integracao por partes237
B.12 Truques de primitivizacao: substituicao237

B Revisao de Calculo 221

C.1 Introducao241
C.1.1 Polinomios de grau zero242
C.1.2 Aproximacao da funcao nula242
C.1.3 Aproximacao de grau 1242
C.2 Polinomio e Formula de Taylor243

C Formula de Taylor 241 D Respostas de exercıcios selecionados 247

8 SUMARIO 8 SUMARIO

Parte I Sistemas Lineares

Capıtulo 1

Exemplos de aplicacoes de sistemas lineares

Um sistema linear e um conjunto de m equacoes, com n incognitas x1, x2,, xn, da seguinte

1.1 Introducao forma:

a11x1 + a12x2 ++ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 ++ a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 ++ amnxn = bm

Os numeros aij sao os coeficientes do sistema linear, e sao fornecidos no problema. Os bi’s sao chamados de termos independentes. Aqui estudaremos apenas os sistemas lineares que tenham tantas equacoes quanto incognitas, isto e, m = n. Trataremos neste Capıtulo de alguns exemplos onde se aplicam sistemas lineares, no Apendice A discutimos um pouco da teoria envolvida (por exemplo, a relacao entre o determinante dos coeficientes do sistema e a existencia e unicidade de solucoes), no Capıtulo 2 falaremos de sua solucao pelo Metodo de Escalonamento e no Capıtulo 3, finalmente, exporemos dois metodos iterativos de resolucao dos sistemas lineares (que, infelizmente, so funcionam em certos casos).

1.2 Provetas

Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados estao distribuıdos por quatro provetas, e em cada proveta os materiais sao dispostos em camadas, nao misturadas, de modo que seja possıvel medir facilmente o volume de cada material em cada uma delas. Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais.

12 CAPITULO 1. EXEMPLOS DE APLICAC OES DE SISTEMAS LINEARES

Para colocar o problema em termos matematicos, chamemos os materiais de A, B, C e D, e suas densidades respectivas de ρA, ρB, ρC e ρD. Essas sao as incognitas do problema, numeros que queremos descobrir.

Entre os dados disponıveis para resolve-lo estao a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas de 1 a

Alem disso, temos o volume de cada um dos materiais em cada uma das provetas. Cha- maremos de v1A, v1B, v1C e v1D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 1, v2A, v2B, v2C e v2D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 2, e assim por diante. Como a densidade e a razao entre massa e volume, a massa do material A na Proveta 1 e v1A · ρA. Estendendo esse raciocınio para os demais materiais, obtemos que a massa total m1 contida na Proveta 1 e v1A · ρA + v1B · ρB + v1C · ρC + v1D · ρD . Considerando as quatro provetas, obteremos quatro equacoes:

Trata-se de um sistema linear de quatro equacoes e quatro incognitas.

Uma possıvel aplicacao em Geologia seria a seguinte. Uma sonda faz o papel das provetas, e uma coluna de material e retirada, contendo materiais diferentes dispostos em camadas (pode ser ate uma sonda coletando material gelado). A sonda permitiria medir a dimensao de cada camada, mas nao poderıamos desmanchar a coluna para medir a densidade de cada material isoladamente, sob o risco de alterar a compactacao.

Outro problema para Geologos e afins. Em tres pocos de petroleo, situados em regioes distintas, o material coletado tem diferentes concentracoes de duas substancias A e B. Uma central recebe o petroleo dos tres pocos, mas antes do refino precisa obter uma mistura com uma concentracao escolhida das substancias A e B. A pergunta e: em cada litro de petroleo que sera gerado para o refino, quanto petroleo de cada poco se deve colocar?

Mais uma vez equacionemos o problema: chamaremos de c1A a concentracao de A no petroleo do Poco 1, c1B a concentracao de B no petroleo do Poco 1, e assim por diante. Essa informacao e conhecida previamente. As concentracoes que queremos obter sao chamadas de cA e cB. As incognitas sao as quantidades relativas de petroleo de cada poco que colocaremos na mistura final, que chamaremos de q1, q2 e q3. Elas sao medidas em litros, e devem ser tais que

Alem disso, a concentracao do material A apos a mistura dos tres sera dada por c1A · q1 + c2A · q2 + c3A · q3 . Pensando o mesmo sobre o material B, ficamos com tres equacoes lineares e tres incognitas:

Aqui e importante salientar que o problema nao teria uma solucao satisfatoria para qualquer escolha de cA e cB. Por exemplo, se a concentracao cA desejada na mistura for superior as concentracoes de A em cada um dos pocos, nao ha como obter a mistura satisfatoriamente.

Mesmo assim poderia haver uma solucao matematica para a equacao, na qual provavelmente uma das incognitas q1, q2 ou q3 teria que ser negativa!

(Parte 1 de 8)

Comentários