Baixe Séries de Fourier e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Séries de Fourier Notas de aulas compiladas no dia 6 de Maio de 2003 Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil Prof. Ulysses Sodré ii email: <ulysses@sercomtel.com.br> email: <ulysses@matematica.uel.br> Material compilado no dia 6 de Maio de 2003. Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas não pode ser vendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros. Para conhecer centenas de aplicações da Matemática, visite a Home Page: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ E apliquei o meu coração a esquadrinhar, e a informar-me com sabedo- ria de tudo quanto sucede debaixo do céu; esta enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens, para nela os exercitar. Atentei para todas as obras que se fazem debaixo do sol, e eis que tudo era vaidade e aflição de espírito. Aquilo que é torto não se pode endireitar; aquilo que falta não se pode calcular. Falei eu com o meu coração, dizendo: Eis que eu me en- grandeci, e sobrepujei em sabedoria a todos os que houve antes de mim em Jerusalém; e o meu coração contemplou abundantemente a sabedoria e o conhecimento. E apliquei o meu coração a conhecer a sabedoria e a conhecer os desvarios e as loucuras, e vim a saber que também isto era aflição de espírito. Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta em conhecimento, aumenta em dor. (ECLESIASTES 1:13-18, Bíblia Sagrada.) LISTA DE FIGURAS v 15.3 EDOL de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 15.4 EDOL de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Lista de Figuras 1 Uma função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Função sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Função sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5 Função sinal transladada para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6 Função sinal multiplicada por π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7 Média aritmética entre t e |t| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 8 Função parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 9 Funções com simetrias par e ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 10 Função com simetria de meia-onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 11 Função sinal em um intervalo não simétrico . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 Função hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 13 Função modular com a 1a. e 2a. aproximações . . . . . . . . . . . . . 22 14 Função modular com a 3a. e 4a. aproximações . . . . . . . . . . . . . 22 15 Fenômeno de Gibbs com a 1a. e 2a. aproximações . . . . . . . . . . . 24 16 Fenômeno de Gibbs com a 3a. e 4a. aproximações . . . . . . . . . . . 24 1 A importância das séries de Fourier Existe uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e séries de potências, pois uma série de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma série de potências é local. Apresentaremos alguns problemas mostrando que nem sempre é viável trabalhar com séries de potências, mas pelo contrário, temos a necessidade de traba- lhar com Séries de Fourier em sistema práticos. 1.1 Problema de aproximação Com a série de Taylor de uma função f , obtemos o polinômio de Taylor que dá uma boa aproximação para a função f nas vizinhan- ças de um ponto, mas uma há uma exigência: que esta função f seja suficientemente suave, ou seja, que f possua derivadas contínuas até uma certa ordem dada, tanto no ponto como nas vizinhanças deste ponto. Para obter um processo de aproximação global, este método falha pois a aproximação de Taylor é local e não global. 1.2 Problema do limite Para obter o limite de f num ponto x0, a aproximação polinomial de Taylor funciona bem mas em pontos distantes de x0, o processo é ruim. Isto acontece também para funções descontínuas e ocorrem falhas pois este processo de aproximação é local. 1.3 Problema da integral Para obter valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, a aproximação de Taylor não funciona. Este problema pode ser resol- vido com o uso de Séries de Fourier uma vez que trabalhamos com funções periódicas. 1.4 Jean B. Fourier 2 1.4 Jean B. Fourier Jean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigação destes proble- mas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em 1822, ele in- troduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas en- volvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondu- latória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc. 2 Funções Periódicas 2.1 Conceitos gerais sobre funções periódicas Uma função f : R → R é periódica, se existe um número p ∈ R tal que para todo x ∈ R: f(x + p) = f(x) O número p é um dos períodos de f . Às vezes existem vários números com esta propriedade, mas o menor número real positivo com esta característica é chamado período fundamental de f , que é simplesmente denominado período. Se uma função f tem período p, diz-se que f é p-periódica e denota- mos este fato por f(x) = f(x + p). Muitas vezes, é vantajoso tomar o período p = 2L e a função definida no intervalo real simétrico [−L, L], com o objetivo de simplificar as operações. Exemplos: As funções f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), h(x) = sin(nx), k(x) = cos(mx) e p(x) = A cos(mx) + B sin(nx) são periódicas. Exercício: Sejam f e g funções reais. 1. Obter o período (fundamental) de: f(x) = 3 sin(2x) + 4 cos(3x) 2.4 Série trigonométrica 5 2.4 Série trigonométrica Uma série trigonométrica é uma representação f = f(x) em série de funções trigonométricas da forma: f(x) = a0 2 + ∞∑ k=1 [ak cos(kx) + bk sin(kx)] 3 Fórmulas e integrais trigonométricas 3.1 Algumas fórmulas trigonométricas Se m, n ∈ N = {1, 2, 3, · · · }, então 1. cos(m + n)x = cos(mx) cos(nx)− sin(mx) sin(nx) 2. sin(m + n)x = sin(mx) cos(nx) + sin(nx) cos(mx) 3. 2 sin(mx) cos(nx) = sin[(m + n)x] + sin[(m− n)x] 4. 2 cos(mx) cos(nx) = cos[(m + n)x] + cos[(m− n)x] 5. 2 sin(mx) sin(nx) = cos[(m− n)x]− cos[(m + n)x] 3.2 Integrais trigonométricas Se m, n ∈ N = {1, 2, 3, · · · }, então 1. ∫ π −π cos(nx)dx = ∫ π −π sin(nx)dx = ∫ π −π sin(mx) cos(nx)dx = 0 2. ∫ π −π cos(mx) cos(nx)dx = ∫ π −π sin(mx) sin(nx)dx = { π se m = n 0 se m 6= n 4 Funções absolutamente integráveis 6 4 Funções absolutamente integráveis 4.1 Função integrável sobre um intervalo Uma função real f : R → R é integrável sobre um intervalo real [a, b] se ∫ b a f(u) du < ∞ Exemplo: As funções f(x) = cos(mx) e g(x) = sin(nx) são integráveis. 4.2 Função integrável sobre a reta real Uma função real f : R → R é integrável sobre a reta R se∫ ∞ −∞ f(u) du < ∞ Exemplo: A função (sinc) f : R → R definida por: f(x) =  sin(x)x se x 6= 01 se x = 0 Figura 2: Função sinc Esta função é integrável sobre a reta real, pois∫ ∞ −∞ sin(x) x dx = π 4.3 Função absolutamente integrável sobre um intervalo 7 4.3 Função absolutamente integrável sobre um intervalo Uma função real f : R → R é absolutamente integrável sobre um intervalo [a, b] se: ∫ b a |f(u)| du < ∞ Exemplo: As funções f(x) = cos(mx) e g(x) = sin(nx) são absoluta- mente integráveis sobre intervalos da forma [a, b]. 4.4 Função absolutamente integrável sobre a reta real Uma função real f : R → R é absolutamente integrável a reta R se∫ ∞ −∞ |f(u)| du < ∞ Exemplo: A função (sinc) f : R → R definida por: f(x) =  sin(x)x se x 6= 01 se x = 0 não é absolutamente integrável, pois∫ ∞ −∞ |sin(x) x |dx = +∞ 5 Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier Seja f(x) = f(x + 2π) uma função integrável sobre sobre o intervalo [−π, π] e n ∈ N. A série de Fourier de f é a série trigonométrica: f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] 5 Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier 10 a0 = 1 π { ∫ 0 −π 0 dx + ∫ π 0 π dx} = π e para n ∈ N, temos an = 1 π ∫ π 0 π cos(nx)dx = 0 Como bn = 1 π ∫ π 0 π sin(nx)dx = 1− cos(nπ) nπ Para n par, obtemos bn = 0 e para n ímpar: b2k−1 = 2 2k − 1 (k ∈ N) assim a série de Fourier será dada por f(x) ∼ π 2 + 2 ∞∑ k=1 sin[(2k − 1)x] 2k − 1 ou seja f(x) ∼ π 2 + 2 ( sin(x) + sin(3x) 3 + sin(5x) 5 + . . . ) 2. Para obter a série de Fourier da função g(x) = { −π/2 se −π ≤ x < 0 π/2 se 0 ≤ x < π basta usar o fato que g(x) = π 2 sinal(x) = { −1 se −π ≤ x < 0 1 se 0 ≤ x < π e utilizar a série de Fourier da função sinal, para obter: 5 Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier 11 Figura 6: Função sinal multiplicada por π/2 g(x) ∼ 2 ( sin(x) + sin(3x) 3 + sin(5x) 5 + . . . ) Observação: A partir da série de Fourier para funções 2π-periódicas podemos obter a série de Fourier para funções periódicas com período 2L. Basta tomar a mudança de variável x = πt/L para obter a nova função, agora dependente da variável t, que será 2L-periódica e inte- grável no intervalo simétrico [−L, L]. Definição: Se f = f(t) é uma função 2L-periódica e integrável no intervalo [−L, L], a sua série de Fourier é dada por: f(t) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 [an cos( nπt L ) + bn sin( nπt L )] onde os coeficientes podem ser dados pelas expressões: an = 1 L ∫ L −L f(t) cos( nπt L )dt bn = 1 L ∫ L −L f(t) sin( nπt L )dt para n ≥ 1. a0 pode ser obtido se tomarmos n = 0 no coeficiente an. Exemplo: A série de Fourier da função 4-periódica 5.1 Aplicação de série de Fourier à soma de uma série numérica 12 f(t) = t + |t| 2 = { 0 se −2 ≤ t < 0 t se 0 ≤ t ≤ 2 Figura 7: Média aritmética entre t e |t| pode ser obtida com L = 2 (metade do período=4). Assim: a0 = 1 2 ∫ 2 0 t dt = 1 an = 1 2 ∫ 2 0 t cos( nπt 2 )dt = 2 n2π2 ((−1)n − 1) bn = 1 2 ∫ 2 0 t sin(n πt 2 )dt = −2(−1) n nπ Logo f(t) ∼ 1 2 + ∞∑ n=1 [ (−1)n − 1 n2π2 cos( nπt 2 )− 2(−1) n nπ sin( nπt 2 )] 5.1 Aplicação de série de Fourier à soma de uma série numérica Através da séries de Fourier podemos obter somas de séries numé- ricas reais onde é difícil (ou até impossível) estabelecer a regra para definir a n-ésima soma parcial. Exercício: 1. Obter a série de Fourier da função 2π-periódica f(x) = x2 defi- nida sobre [−π, π]. 7 Integrais de funções com simetrias 15 3. O produto de duas funções pares é uma função par. 4. O produto de duas funções ímpares é uma função par. 5. O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar. 6. Toda função real f = f(t) pode ser decomposta na soma f(t) = fp(t) + fi(t) onde fp = fp(t) é uma função par e fi = fi(t) é uma função ímpar, definidas respectivamente por fp(t) = f(t) + f(−t) 2 fi(t) = f(t)− f(−t) 2 Exemplo: São pares as funções reais: f(x) = cos(nx), f(x) = x2, f(x) = x76 São ímpares as funções reais: f(x) = sin(nx), f(x) = x, f(x) = x77 A função real identicamente nula é, ao mesmo tempo, par e ímpar. 7 Integrais de funções com simetrias 7.1 Propriedades das integrais com simetrias Seja f : R → R uma função integrável no intervalo simétrico [−L, L]. 1. Se f = f(t) é uma função par, então:∫ L −L f(t) dt = 2 ∫ L 0 f(t) dt 7.2 Propriedades das simetrias para os coeficientes de Fourier 16 2. Se f = f(t) é uma função ímpar, então:∫ L −L f(t) dt = 0 7.2 Propriedades das simetrias para os coeficientes de Fourier Seja f : R → R uma função 2π-periódica, integrável e absolutamente integrável no intervalo simétrico [−π, π]. 1. Se f é uma função par, então bn = 0 e n = 0, 1, 2, 3, · · · : an = 2 π ∫ π 0 f(x) cos(nx)dx 2. Se f é uma função ímpar, então an = 0 e n = 1, 2, 3, · · · : bn = 2 π ∫ π 0 f(x) sin(nx)dx Exemplo: Usando o benefício da paridade, obteremos a série de Fourier da função 2π-periódica, definida sobre [−π, π] por: f(x) = x, (−π ≤ x ≤ π) Como f é ímpar, então an = 0 e para n ≥ 0, basta obter os coeficientes bn. Para qualquer n ≥ 1, temos: bn = 2 π ∫ π 0 x sin(nx)dx = 2 (−1)n+1 n logo f(x) ∼ 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 n sin(nx) = 2 ( sin(x)− sin(2x) 2 + sin(3x) 3 + · · · ) 8 Descontinuidade de funções reais 17 8 Descontinuidade de funções reais 8.1 Salto de função descontínua Se uma função real f = f(x) possui uma descontinuidade em um ponto p, definimos o salto de f em p como salto(f)(p) = f(p+)− f(p−) onde f(p−) e f(p+) são, respectivamente, os limites laterais de f à es- querda e à direita em x = p, isto é: f(p−) = lim x→p, x<p f(x) e f(p+) = lim x→p, x>p f(x) 8.2 Valor médio de uma função em um ponto Quando a função não está definida no ponto x = p mas existem os limites laterais à esquerda e à direita em x = p, podemos definir a função neste ponto como sendo o valor médio (média aritmética) dos limites laterais à esquerda e à direita em x = p, isto é: f(p) = f(p+) + f(p−) 2 Se f = f(x) é uma função contínua no ponto x, então f(x+) = f(x−) = f(x) = f(x) 8.3 Descontinuidade de primeira espécie Uma função real f = f(x) tem descontinuidade de primeira espécie (ou de salto finito) em x = p, se satisfaz às três condições: 1. Sobre cada intervalo limitado I da reta real, f é contínua, exceto no ponto p ∈ I ; 9.2 Lema fundamental 20 Exercício: Construir os gráficos de todas as funções dos exemplos acima, observando que tais funções são contínuas sobre cada inter- valo de medida finita. 9.2 Lema fundamental Se f : [a, b] → R é uma função seccionalmente contínua, então f é limitada e integrável sobre [a, b]. O resultado deste Lema é muito importante do ponto de vista das aplicações, pois muitas funções reais utilizadas na prática são seccio- nalmente contínuas. 9.3 Função seccionalmente diferenciável Uma função real f = f(x) é seccionalmente diferenciável se satisfaz às duas propriedades 1. f = f(x) é seccionalmente contínua; 2. A derivada de f = f(x) é seccionalmente contínua. Exemplos: São seccionalmente diferenciáveis as funções 1. f(x) = [x] = max{z ∈ Z : z ≤ x} (função máximo inteiro) 2. g(x) = x− [x], g(x) = g(x + 2π) (função dente de serra) 3. h(x) = |x|, h(x) = h(x + 2π) (função modular) mas a função m(x) = m(x + 2π) definida por m(x) = √ π2 − x2 não é seccionalmente diferenciável mas somente seccionalmente contínua. 10 Teorema de Fourier 21 10 Teorema de Fourier Se f é uma função seccionalmente diferenciável e 2π-periódica, a série de Fourier de f converge uniformemente para o valor médio de f em cada ponto, isto é: f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] Quando f é contínua em x, escreveremos simplesmente f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] 11 Aproximação de função pela série de Fourier Teorema de Weierstrass: Se f é uma função contínua real periódica de período 2π, então f pode ser aproximada uniformemente por uma sequência de polinômios trigonométricos da forma Sn(f)(x) = a0 2 + n∑ k=1 [ak cos(kx) + bk sin(kx)] Este teorema é fundamental na Teoria de Aproximação de funções, sendo muito usado em Análise Numérica e com ele, podemos mostrar a relação gráfica existente entre uma função f e as n-ésimas somas parciais (n-ésimas reduzidas) da série de Fourier de f . Este estudo pode ser estendido a funções 2π-periódicas seccionalmente diferenciáveis. Exemplo: A função f(x) = |x|, 2π-periódica, definida sobre [−π, π], possui desenvolvimento de Fourier dado por: f(x) = π 2 − 4 π ( cos(x) + 1 9 cos(3x) + 1 25 cos(5x) + . . . ) 11 Aproximação de função pela série de Fourier 22 Esta função satisfaz às hipóteses dos Teoremas de Weierstrass e de Fourier, assim podemos garantir a igualdade de f com a sua série e garantir a convergência uniforme da série. Temos então que: lim n→∞ Sn(f)(x) = f(x) Utilizando gráficos, mostraremos o processo de aproximação de f com estas primeiras somas parciais. Figura 13: Função modular com a 1a. e 2a. aproximações Figura 14: Função modular com a 3a. e 4a. aproximações As somas parciais (reduzidas) desta série de Fourier, serão denotadas por S1(f), S2(f), S3(f), S4(f), · · · e neste caso: 13.1 O papel das extensões de funções 25 f(x) = ∞∑ n=0 An cos(nx) Devemos estender esta função f = f(x) a todo o intervalo simétrico [−π, π] de modo que a extensão seja uma função par, pois a função dada está desenvolvida em série de cossenos. A extensão par pode ser definida por f2(x) = { f(−x) se −π ≤ x < 0 f(x) se 0 ≤ x ≤ π Observamos que a extensão f2 coincide com a função f sobre o inter- valo [0, π]. Suponhamos agora que o domínio de f = f(x) seja [0, π] e além disso f(x) = ∞∑ n=1 Bn sin(nx) Devemos estender esta função f = f(x) a todo o intervalo simétrico [−π, π] de modo que a extensão seja uma função ímpar, pois a função dada está desenvolvida em série de senos. A extensão ímpar pode ser definida por f1(x) = { −f(−x) se −π ≤ x < 0 f(x) se 0 ≤ x ≤ π A extensão f1 coincide com a função f sobre o intervalo [0, π]. Pelas definições acima, f1 = f1(x) é uma extensão ímpar e f2 = f2(x) é uma extensão par. Estas extensões são definidas e integráveis sobre o intervalo [−π, π], coincidindo com f = f(x) sobre a “metade do intervalo” [0, π]. A partir do exposto acima, a função f1 é a extensão ímpar de f e f2 é chamada a extensão par de f . 13.2 Extensões de funções 2π-periódicas 26 13.2 Extensões de funções 2π-periódicas 1. A série de Fourier da extensão ímpar f1, denominada a série de Fourier de senos da função f , é dada por: f(x) ∼ ∞∑ n=1 bn sin(nx) sendo que para cada n ∈ N, os coeficientes ímpares de Fourier são: bn = 2 π ∫ π 0 f(x) sin(nx) dx 2. A série de Fourier da extensão par f2, chamada a série de Fourier de cossenos da função f , é dada por: f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 an cos(nx) sendo que para cada n ∈ N, os coeficientes pares de Fourier são dados por: an = 2 π ∫ π 0 f(x) cos(nx) dx Exemplo: Para obter a extensão par da função f(x) = x definida sobre o meio-intervalo [0, π], construiremos a extensão f2, que no intervalo [−π, π] é dada por: f2(x) = |x| Como f2 é par, os coeficientes ímpares são nulos, isto é, bn = 0 para todo n ∈ N e os coeficientes pares an são dados por: a0 = 2 π ∫ π 0 x dx = π e an = 2 π ∫ π 0 x cos(nx) dx = 2 n2π (cos(nπ)− 1) logo f(x) ∼ π 2 − 4 π ( cos(x) + 1 9 cos(3x) + 1 25 cos(5x) + . . . ) 13.2 Extensões de funções 2π-periódicas 27 Exemplo: Para a série de Fourier de senos da função f(x) = 1 sobre x ∈ [0, π], devemos tomar a extensão ímpar f1 de f que no intervalo [−π, π] será dada por: f1(x) = sinal(x) = { −1, −π < x ≤ 0 +1, 0 < x ≤ π Como f1 é ímpar, os coeficientes pares são nulos, isto é, an = 0 e os coeficientes ímpares bn são dados por: bn = 2 π ∫ π 0 sin(nx)dx = 2 nπ (1− cos(nπ)) = 2(1− (−1) n) nπ Assim, bn = 0 se n é par, mas se n é ímpar da forma n = 2k − 1 onde k ∈ N , temos que: b2k−1 = 4 π(2k − 1) logo f(x) ∼ 4 π ( sin(x) + 1 3 sin(3x) + 1 5 sin(5x) + · · · ) Exemplo: Seja a função de f(x) = cos(x) sobre x ∈ [0, π]. Para obter a série de Fourier de Senos, devemos estender esta função f à função ímpar f1 definida por: f1(x) = { cos(x) −π < x ≤ 0 − cos(x) 0 < x ≤ π Como f1 é ímpar, temos que an = 0 e os bn são dados por: bn = 2 π ∫ π 0 cos(x) sin(nx)dx que fornece b1 = 0 e para n > 1, obtemos: bn = 2n π ( 1 + (−1)n n2 − 1 ) 14.2 Forma complexa da Série de Fourier 30 f(x) ∼ ∞∑ n=−∞ cne inx onde o coeficiente de Fourier complexo é dado por: cn = 1 2π ∫ π −π f(x)e−inxdx para cada número n ∈ Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, · · · }. Observação: Se a função f = f(t) é 2L-periódica, o coeficiente com- plexo de Fourier para f = f(t) é definido para cada n ∈ Z, como cn = 1 2L ∫ L −L f(t) e−inπt/Ldt sendo a série de Fourier representada por f(t) ∼ ∞∑ n=−∞ cne inπt/L Exemplo: Seja f(t) = t, for t ∈ (−1, 1) e f(t+2) = f(t). Os coeficientes complexos {cn} da série de Fourier de f = f(t) são dados por c0 = 0 e cn = 1 2 ∫ 1 −1 t e−inπtdt Com alguns cálculos obtemos: cn = −1 2 [ einπ inπ + e−inπ inπ − e inπ (inπ)2 + e−inπ (inπ)2 ] Como eiπ = e−iπ = −1, simplificamos cn para: cn = (−1)n (inπ) 14.3 Relação entre coeficientes reais e complexos 31 logo, a forma complexa da série de Fourier de f = f(t) será: f(t) ∼ ∞∑ n=1 (−1)n+1 inπ [einπt − e−inπt] que pode ser escrita na forma f(t) ∼ 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 nπ sin(nπt) 14.3 Relação entre coeficientes reais e complexos Existe uma íntima relação entre os coeficientes de Fourier reais e com- plexos para uma função periódica f . Teorema: Se f é uma função 2π-periódica, {an} e {bn} os coeficientes de Fourier reais, {cn} os coeficientes complexos de Fourier de f , então existem três relações que fazem a conexão entre estes coeficientes da série de Fourier: (1) c0 = 12a0 (2) cn = 12(an − ibn) (n ≥ 1) (3) c−n = 12(an + ibn) (n ≥ 1) Demonstração: Seja a forma real da série de Fourier para f dada por: f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 (an cos(nx) + bn sin(nx)) onde a0, an e bn são números reais. Como para todo número complexo z ∈ C vale a relação de Euler: ez = cos(z) + i sin(z) 14.3 Relação entre coeficientes reais e complexos 32 e em particular, obtemos einx = cos(nx) + i sin(nx) e e−inx = cos(nx)− i sin(nx) A partir daí, podemos escrever que: cos(nx) = 1 2 (einx + e−inx) e sin(nx) = 1 2 (einx − e−inx) Substituindo estas duas últimas expressões na série de Fourier com coeficientes reais, teremos: f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 [ an 2 (einx + e−inx) + bn 2i (einx − e−inx)] que pode ser escrita na forma: f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ( an − ibn 2 ) einx + ∞∑ n=1 ( an + ibn 2 ) e−inx Tomando n ≥ 1 e c0 = 1 2 a0, cn = 1 2 (an − ibn), c−n = 1 2 (an + ibn) teremos a série: f(x) ∼ c0 + ∞∑ n=1 cn e inx + ∞∑ n=1 c−n e −inx isto é f(x) ∼ −1∑ n=−∞ cn e inx + c0 e i0x + ∞∑ n=1 cn e inx 15.4 Solução de uma EDOL de segunda ordem por Série de Fourier 35 Assim, se conhecermos os coeficientes fn, nós teremos a solução da equação diferencial dada por: y(x) = ∞∑ n=−∞ ( fn a + in ) einx 15.4 Solução de uma EDOL de segunda ordem por Série de Fourier Seja f uma função 2π-periódica. Estudaremos agora as soluções pe- riódicas da EDOL de segunda ordem: y′′ + ay′ + by = f(x) Consideraremos a série de Fourier de f , dada por f(x) ∼ ∞∑ n=−∞ fn e inx e a série de Fourier da função incógnita y = y(x), dada por y(x) ∼ ∞∑ n=−∞ yn e inx onde yn são os coeficientes complexos de Fourier de y = y(x). Ao substituir estas representações na EDOL dada, obteremos dois so- matórios cujos coeficientes de Fourier coincidem para todo n ∈ Z:[ ( inπ L )2 + a inπ L + b ] yn = fn donde segue que para todo n ∈ Z yn = fn ( inπL ) 2 + a inπL + b Assim, se conhecermos os coeficientes fn, nós teremos a solução da equação diferencial dada por: y(x) = ∞∑ n=−∞ [ fn ( inπL ) 2 + a inπL + b ] einx REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS 36 O que fizemos pode ser estendido a EDOL com coeficientes constan- tes de ordem n maior do que 2. Referências bibliográficas utilizadas [1] Figueiredo, Djairo Guedes Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Coleção Euclides, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, 1986. [2] Kaplan, Wilfred, Cálculo Avançado, Edgard Blücher Editora e EDUSP, (1972), São Paulo, Brasil. [3] Kolmogorov, A.N. e Fomin, S.V., Elementos de la Teoria de Funciones y del Ana- lisis Funcional, Editorial MIR, (1972), Moscou. [4] Quevedo, Carlos P., Circuitos Elétricos, LTC Editora, (1988), Rio de Janeiro, Bra- sil. [5] Spiegel, Murray, Análise de Fourier, Coleção Schaum, McGraw-Hill do Brasil, (1976), São Paulo, Brasil.