Séries de Fourier

Séries de Fourier

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Séries de Fourier Notas de aulas compiladas no dia 6 de Maio de 2003

Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil

Prof. Ulysses Sodré email: <ulysses@sercomtel.com.br> email: <ulysses@matematica.uel.br> Material compilado no dia 6 de Maio de 2003.

Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas não pode ser vendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.

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E apliquei o meu coração a esquadrinhar, e a informar-me com sabedoria de tudo quanto sucede debaixo do céu; esta enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens, para nela os exercitar. Atentei para todas as obras que se fazem debaixo do sol, e eis que tudo era vaidade e aflição de espírito. Aquilo que é torto não se pode endireitar; aquilo que falta não se pode calcular. Falei eu com o meu coração, dizendo: Eis que eu me engrandeci, e sobrepujei em sabedoria a todos os que houve antes de mim em Jerusalém; e o meu coração contemplou abundantemente a sabedoria e o conhecimento. E apliquei o meu coração a conhecer a sabedoria e a conhecer os desvarios e as loucuras, e vim a saber que também isto era aflição de espírito. Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta em conhecimento, aumenta em dor. (ECLESIASTES 1:13-18, Bíblia Sagrada.)

CONTEÚDO i

Conteúdo

1.1 Problema de aproximação1
1.2 Problema do limite1
1.3 Problema da integral1
1.4 Jean B. Fourier2

1 A importância das séries de Fourier 1

2.1 Conceitos gerais sobre funções periódicas2
2.2 Núcleo de Dirichlet3
2.3 Polinômio trigonométrico4
2.4 Série trigonométrica5

2 Funções Periódicas 2

3.1 Algumas fórmulas trigonométricas5
3.2 Integrais trigonométricas5

3 Fórmulas e integrais trigonométricas 5

4.1 Função integrável sobre um intervalo6
4.2 Função integrável sobre a reta real6
4.3 Função absolutamente integrável sobre um intervalo7
4.4 Função absolutamente integrável sobre a reta real7

4 Funções absolutamente integráveis 6

5.1 Aplicação de série de Fourier à soma de uma série numérica12

5 Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier 7

6.1 Propriedades de funções com simetrias par e ímpar14

6 Tipos importantes de simetrias 13

7.2 Propriedades das simetrias para os coeficientes de Fourier16

CONTEÚDO iv

8.1 Salto de função descontínua17
8.2 Valor médio de uma função em um ponto17
8.3 Descontinuidade de primeira espécie17
8.4 Descontinuidade de segunda espécie18

8 Descontinuidade de funções reais 17

9.1 Função seccionalmente contínua19
9.2 Lema fundamental20
9.3 Função seccionalmente diferenciável20

9 Funções Seccionalmente diferenciáveis 19

10 Teorema de Fourier 21

1 Aproximação de função pela série de Fourier 21

12 O fenômeno de Gibbs e a série de Fourier 23

13.1 O papel das extensões de funções24
13.2 Extensões de funções 2pi-periódicas26
13.3 Extensões de funções 2L-periódicas28

13 Séries de Fourier de Senos e Cossenos (Extensões) 24

14.1 Forma simplificada da Série de Fourier29
14.2 Forma complexa da Série de Fourier29
14.3 Relação entre coeficientes reais e complexos31

14 Outras formas de apresentar uma Série de Fourier 29

15.1 A derivada da série de Fourier3
15.3 EDOL de primeira ordem34
15.4 EDOL de segunda ordem35

LISTADEFIGURAS v

1 Uma função periódica3
2 Função sinc6
3 Função sinal8
4 Função modular9
5 Função sinal transladada para cima9
6 Função sinal multiplicada por pi/21
7 Média aritmética entre t e |t|12
8 Função parabólica13
9 Funções com simetrias par e ímpar14
10 Função com simetria de meia-onda14
1 Função sinal em um intervalo não simétrico18
12 Função hiperbólica19
13 Função modular com a 1a. e 2a. aproximações2
14 Função modular com a 3a. e 4a. aproximações2
15 Fenômeno de Gibbs com a 1a. e 2a. aproximações24

1 A importância das séries de Fourier

Existe uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e séries de potências, pois uma série de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma série de potências é local. Apresentaremos alguns problemas mostrando que nem sempre é viável trabalhar com séries de potências, mas pelo contrário, temos a necessidade de trabalhar com Séries de Fourier em sistema práticos.

1.1 Problema de aproximação

Com a série de Taylor de uma função f, obtemos o polinômio de Taylor que dá uma boa aproximação para a função f nas vizinhanças de um ponto, mas uma há uma exigência: que esta função f seja suficientemente suave, ou seja, que f possua derivadas contínuas até uma certa ordem dada, tanto no ponto como nas vizinhanças deste ponto. Para obter um processo de aproximação global, este método falha pois a aproximação de Taylor é local e não global.

1.2 Problema do limite

Para obter o limite de f num ponto x0, a aproximação polinomial de

Taylorfuncionabemmasempontosdistantesdex0, oprocessoéruim. Istoacontecetambémparafunçõesdescontínuaseocorremfalhaspois este processo de aproximação é local.

1.3 Problema da integral

Para obter valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, a aproximação de Taylor não funciona. Este problema pode ser resolvido com o uso de Séries de Fourier uma vez que trabalhamos com funções periódicas.

1.4 Jean B. Fourier 2

1.4 Jean B. Fourier

Jean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigação destes problemas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em 1822, ele introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc.

2 Funções Periódicas

2.1 Conceitos gerais sobre funções periódicas

O número p é um dos períodos de f. Às vezes existem vários números com esta propriedade, mas o menor número real positivo com esta característica é chamado período fundamental de f, que é simplesmente denominado período.

Se uma função f tem período p, diz-se que f é p-periódica e denotamos este fato por f(x) = f(x + p).

Muitas vezes, é vantajoso tomar o período p = 2L e a função definida no intervalo real simétrico [−L,L], com o objetivo de simplificar as operações.

Exercício: Sejam f e g funções reais.

2.2 Núcleo de Dirichlet 3

Figura 1: Uma função periódica

demonstrar que g é 2L-periódica.

2.2 Núcleo de Dirichlet

O Núcleo de Dirichlet é definido para todo x ∈ R, por:

2.3 Polinômio trigonométrico 4

2cos(kx)sin( x

Assim:

2cos(1x)sin( x

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