Calculo Numérico

Calculo Numérico

(Parte 1 de 8)

Sumario

I Sistemas Lineares 7

1.1 Introducao9
1.2 Provetas9
1.3 Petroleo10
1.4 Cores12
1.5 Interpolacao polinomial13
1.6 Outros problemas de determinacao de polinomios15
1.7 Splines15
1.8 Problemas de contorno17

1 Exemplos de aplicacoes de sistemas lineares 9

2.1 Sistemas lineares e intersecoes de hiperplanos21
2.2 Transformacoes lineares23
2.3 Notacao e interpretacao24
2.4 Inversao de matrizes25
2.5 Explorando a linearidade25
2.6 Existencia e unicidade de solucoes28
2.7 Injetividade, sobrejetividadeglup! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 O determinante31
2.8.1 Dimensao 231
2.8.2 Dimensao 334
2.8.3 Dimensao n35
2.9 Quadro comparativo37

2 Entendendo os sistemas lineares 21

3.1 O metodo39
3.2 Algarismos significativos42
3.3 O determinante no Metodo de Escalonamento47
3.4 A desvantagem da Regra de Cramer48
3.5 Sistemas mal-condicionados e refinamento de solucao50
3.5.1 Sistemas mal-condicionados50
3.5.2 Matrizes de Hilbert51
3.5.3 Refinamento52

2 SUMARIO

4.1 O Metodo de Jacobi57
4.2 Criterio das Linhas58
4.3 Criterio de parada61
4.4 O Metodo de Gauss-Seidel61

4 Metodos iterativos 57

I Ajuste de Funcoes 67

5.1 O problema do ajuste69
5.2 Os mınimos quadrados70
5.3 Parametros71
5.3.1 Densidade71
5.3.2 Catenaria72
5.3.3 Naftalinas e funcoes afins73
5.3.4 Decaimento exponencial74
5.3.5 Leis de potencia e fractais75
5.3.6 Gaussiana75
6.1 Dependencia linear dos parametros81
6.2 Contınuo vs. discreto82
6.3 Um parametro83
6.4 Dois parametros85
6.5 Ajuste de qualquer funcao linear nos parametros87
6.6 O caso contınuo87
6.7 Exemplos8
6.7.1 Dinamometro8
6.7.2 Cosseno aproximado por um polinomio91

6 Funcoes lineares nos parametros 81

7.1 Produto escalar e distancia93
7.3 O caso contınuo97
7.4 Outros produtos escalares: pesos98

SUMARIO 3

8.1 Definicoes e exemplos101
8.2 Calculando polinomios ortogonais por recorrencia103
8.3 Um exemplo de aplicacao de polinomios ortogonais105
8.4 Exemplo de analise harmonica106
8.5 Uso de funcoes tabeladas por mudanca de variavel109

I Equacoes e Zeros de Funcoes 1

9.1 Introducao113
9.2 Raiz cubica de 10114
9.3 Para-quedista ou bolinha em queda dentro d’agua114
9.4 O cilindro deitado117
9.5 Catenaria120
9.6 Metodo da Dicotomia121

9 Zeros de funcoes e o Metodo da Dicotomia 113

10.1 Plano geral125
10.2 Pontos fixos126
10.3 Funcoes auxiliares candidatas127
10.4 Visualizando iteracoes128
10.5 Iterando perto de pontos fixos130
10.6 Teorema do Valor Medio e velocidade de convergencia135
10.6.1 O caso ϕ′(x∗) = 0: convergencia quadratica137
10.7 Calculando zeros de funcoes - a escolha de ϕ138
10.8 A escolha de x0141
10.9 Um criterio de parada142
1.1 Quando o Metodo de Newton funciona?147
1.1.1 Retirando a hipotese f′(x∗) 6= 0149
1.2 Metodo de Newton em dimensoes mais altas151

4 SUMARIO

IV Interpolacao Polinomial 155 12 Estimativa do erro nas interpolacoes 157

13.1 Polinomios de Lagrange163
13.2 Forma de Newton164
13.2.1 Exemplo do uso da forma de Newton167

13 Tecnicas de interpolacao 163

V Integracao de Funcoes 171

14.1 Introducao173
14.2 Calculo de areas174
14.3 Comprimento de curvas e graficos176
14.4 Distancia percorrida e tempo decorrido179
14.5 Perıodo do pendulo e as integrais elıpticas180
14.6 Calculo de pi e de logaritmos185
14.7 A gaussiana186

14 Importancia da integracao numerica 173

15.1 Introducao187
15.2 O Metodo dos Trapezios187
15.3 O Metodo de Simpson190

15 Metodos de integracao numerica 187

16.1 Formulas de erro e comparacao dos metodos193
16.2 Aplicacao das formulas de erro195

16 Estimativa do erro nos metodos de integracao 193

17.1 Primeira Abordagem - Metodo dos Trapezios202
17.2 Primeira Abordagem - Metodo de Simpson203
17.3 Segunda Abordagem - Metodo dos Trapezios204
17.4 Segunda Abordagem - Metodo de Simpson205
17.5 Terceira Abordagem - Metodo dos Trapezios206

SUMARIO 5

VI Equacoes Diferenciais 209

18.1 Introducao211
18.2 Solucao de equacoes autonomas e separaveis213
18.3 Alguns exemplos214
18.3.1 Naftalinas214
18.3.2 Crescimento populacional a taxas constantes214
18.3.3 Para-quedista215
18.3.4 Crescimento populacional com restricoes de espaco216
18.3.5 Catenaria217
18.3.6 Escoamento de um copo furado218
18.3.7 Dada ϕ do Metodo de Newton, quem e f?220
18.3.8 Transferencia de calor220
18.4 Entendimento qualitativo de equacoes autonomas221
18.5 Equacoes diferenciais com mais variaveis223

18 Breve introducao as equacoes diferenciais 211

19.1 Equacoes separaveis227
19.2 Discretizacao228
19.3 O Metodo de Euler230
19.4 Indo para segunda ordem233
19.5 Runge-Kutta235
19.6 Runge-Kutta em sistemas de equacoes autonomas240

19 Solucao numerica de equacoes diferenciais 227

A.1 Derivadas243
A.2 Primitivas244
A.3 Integral246
A.4 A integral indefinida247
A.5 O Teorema Fundamental do Calculo249
A.6 A praticidade do Teorema Fundamental do Calculo250
A.7 O logaritmo252
A.8 O Teorema do Valor Medio257
A.9 A Regra da Cadeia258
A.10 Regras do produto e do quociente260
A.1 Truques de primitivizacao: integracao por partes261

6 SUMARIO

B.1 Introducao265
B.1.1 Polinomios de grau zero266
B.1.2 Aproximacao da funcao nula266
B.1.3 Aproximacao de grau 1267

Parte I Sistemas Lineares

Exemplos de aplicacoes de sistemas lineares

Um sistema linear e um conjunto de m equacoes, com n incognitas x1, x2,, xn, da

1.1 Introducao seguinte forma:

a11x1 + a12x2 ++ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 ++ a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 ++ amnxn = bm

Os numeros aij sao os coeficientes do sistema linear, e sao fornecidos no problema. Os bi’s sao chamados de termos independentes. Aqui estudaremos apenas os sistemas lineares que tenham tantas equacoes quanto incognitas, isto e, m = n. Trataremos neste Capıtulo de alguns exemplos onde se aplicam sistemas lineares, no Capıtulo 2 entenderemos um pouco da teoria envolvida (por exemplo, a relacao entre o determinante dos coeficientes do sistema e a existencia e unicidade de solucoes), no Capıtulo 3 falaremos de sua solucao pelo Metodo de Escalonamento e no Capıtulo 4, finalmente, exporemos dois metodos iterativos de resolucao dos sistemas lineares (que, infelizmente, so funcionam em certos casos).

1.2 Provetas

Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados estao distribuıdos por quatro provetas, e em cada proveta os materiais sao dispostos em camadas, nao misturadas, de modo que seja possıvel medir facilmente o volume de cada material em

10 CAPITULO 1. EXEMPLOS DE APLICAC OES DE SISTEMAS LINEARES cada uma delas. Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais.

Para colocar o problema em termos matematicos, chamemos os materiais de A, B, C e D, e suas densidades respectivas de ρA, ρB, ρC e ρD. Essas sao as incognitas do problema, numeros que queremos des- cobrir. Entre os dados disponıveis para resolve-lo estao a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas

de 1 a 4), que chamaremos de m1, m2, m3 e m4, ja descontada a tara das provetas.

Alem disso, temos o volume de cada um dos materiais em cada uma das provetas.

Chamaremos de v1A, v1B, v1C e v1D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta

1, v2A, v2B, v2C e v2D o volume dos materiais A, B, C e D na Proveta 2, e assim por diante.

Como a densidade e a razao entre massa e volume, a massa do material A na Proveta

1 e v1A ·ρA. Estendendo esse raciocınio para os demais materiais, obtemos que a massa total m1 contida na Proveta 1 e v1A · ρA + v1B · ρB + v1C · ρC + v1D · ρD . Considerando as quatro provetas, obteremos quatro equacoes:

Trata-se de um sistema linear de quatro equacoes e quatro incognitas.

Uma possıvel aplicacao em Geologia seria a seguinte. Uma sonda faz o papel das provetas, e uma coluna de material e retirada, contendo materiais diferentes dispostos em camadas (pode ser ate uma sonda coletando material gelado). A sonda permitiria medir a dimensao de cada camada, mas nao poderıamos desmanchar a coluna para medir a densidade de cada material isoladamente, sob o risco de alterar a compactacao.

1.3 Petroleo

Outro problema para Geologos e afins. Em tres pocos de petroleo, situados em regioes distintas, o material coletado tem diferentes concentracoes de duas substancias A e B.

Uma central recebe o petroleo dos tres pocos, mas antes do refino precisa obter uma mistura com uma concentracao escolhida das substancias A e B. A pergunta e: em cada litro de petroleo que sera gerado para o refino, quanto petroleo de cada poco se deve colocar?

Mais uma vez equacionemos o problema: chamaremos de c1A a concentracao de A no petroleo do Poco 1, c1B a concentracao de B no petroleo do Poco 1, e assim por diante. Essa informacao e conhecida previamente. As concentracoes que queremos obter sao chamadas de cA e cB. As incognitas sao as quantidades relativas de petroleo de cada poco que colocaremos na mistura final, que chamaremos de q1, q2 e q3. Elas sao medidas em litros, e devem ser tais que q1 + q2 + q3 = 1 . Alem disso, a concentracao do material A apos a mistura dos tres sera dada por c1A · q1 + c2A · q2 + c3A · q3 . Pensando o mesmo sobre o material B, ficamos com tres equacoes lineares e tres incognitas:

Aqui e importante salientar que o problema nao teria uma solucao satisfatoria para qualquer escolha de cA e cB. Por exemplo, se a concentracao cA desejada na mistura for superior as concentracoes de A em cada um dos pocos, nao ha como obter a mistura satisfatoriamente. Mesmo assim poderia haver uma solucao matematica para a equacao, na qual provavelmente uma das incognitas q1, q2 ou q3 teria que ser negativa!

Portanto no problema real devemos adicionar a exigencia de que os valores q1, q2 e q3 encontrados nao sejam negativos.

O conjunto de valores de cA e cB para os quais haveria uma solucao para esse problema pode

ser representado da seguinte forma. Quere- mos um par de concentracoes (cA,cB) tal que existam q1, q2 e q3 satisfazendo as equacoes acima. Esse conjunto de possibilidades esta representado no plano cartesiano na figura ao lado, e e denominado envoltoria convexa dos

pontos citados.

possiveis c A

12 CAPITULO 1. EXEMPLOS DE APLICAC OES DE SISTEMAS LINEARES

(Parte 1 de 8)

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