Cálculo Númerico

Cálculo Númerico

(Parte 1 de 8)

APOSTILA Cálculo Numérico

Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR

Lauro César Galvão, Dr. e Luiz Fernando Nunes, Dr.

1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS1-1
1.1 ERROS1-1
1.2 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS1-1
1.2.1 Erro Absoluto1-1
1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro1-2
1.3 ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO1-2
1.3.1 Erro de Arredondamento1-2
1.3.2 Erro de Truncamento1-2
1.4 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE1-3
1.5 CONVERSÃO DE BASES1-3
1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (bÞ10)1-3
1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b (10Þb)1-4
1.5.3 Exercícios: Conversão de Bases1-5
1.6 OPERAÇÕES DE PONTOS FLUTUANTES1-7
1.6.1 Representações1-7
1.6.2 Exercícios1-7
1.6.3 Exercícios complementares1-8
2 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS2-1
2.1 INTRODUÇÃO2-1
2.2 FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES2-1
2.3 FASE I: REFINAMENTO - CRITÉRIOS DE PARADA2-15
2.3.1 Método da Bissecção (ou Método da Dicotomia)2-15

Índices

sucessivas)2-19
2.3.3 Método de Newton, Newton-Raphson (ou Método das Tangentes)2-27
2.3.4 Comparação entre os métodos2-30
3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES3-32
3.1 INTRODUÇÃO3-32
3.1.1 Forma Algébrica de S n3-32
3.1.2 Forma Matricial de Sn3-32
3.1.3 Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema3-32
3.1.4 Solução do Sistema3-32
3.1.5 Classificação de um Sistema Linear3-3
3.1.6 Classificação quanto ao Determinante de A3-3
3.2 MÉTODOS DIRETOS3-3
3.2.1 Método de Eliminação de Gauss3-3
3.2.2 Estratégia de Pivoteamento Completo3-36
3.2.3 Refinamento de Soluções3-37
3.3 MÉTODOS ITERATIVOS3-39
3.3.1 Testes de parada3-39
3.3.2 Método de Gauss -Jacobi3-39
3.3.3 Método de Gauss -Seidel3-42
3.3.4 Comparação entre os métodos3-43
3.3.5 Critério de Sassenfeld3-4
4 INTERPOLAÇÃO4-47
4.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL4-47
4.1.1 Existência e Unicidade do Polinômio Interpolador Pn(x)4-47
4.1.2 Forma de Lagrange4-48
4.1.3 Forma de Newton4-50
4.2 ESTUDO DE ERRO NA INTERPOLAÇÃO4-52
4.2.1 Estimativa para o Erro4-52
4.3 INTERPOLAÇÃO INVERSA: CASOS EXISTENTES4-54
4.3.1 Encontrar x tal que nP )( x4-54
4.3.2 Interpolação inversa4-54
4.4.1 Função Spline4-56
4.4.2 Spline linear interpolante4-57
4.4.3 Spline cúbica interpolante4-58
5 AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS5-64
5.1 INTRODUÇÃO5-64
5.2 CASO DISCRETO5-65
5.3 CASO CONTÍNUO5-70
5.4 FAMÍLIA DE FUNÇÕES NÃO LINEARES NOS PARÂMETROS5-72
6 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA6-74
6.1 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES6-74
6.1.1 Regra dos Trapézios6-74
6.1.2 Regra dos Trapézios repetida6-76
6.1.3 Regra 1/3 de Simpson6-7
6.1.4 Regra 1/3 de Simpson repetida6-80
7 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS7-83
7.1 INTRODUÇÃO7-83
7.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)7-84
7.2.1 Solução numérica de um PVI de primeira ordem7-84
7.2.2 Método de Euler7-84
7.2.3 Métodos de Runge -Kutta7-87
7.2.4 Método de Euler Aprimorado (Método de Runge-Kutta de Segunda Ordem)7-8

iv

[FIG. 1]: MODELAGEM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS1-1
[FIG. 2]: O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO y=f(x) E SEUS ZEROS2-1
[FIG. 4]: O GRÁFICO DE 393 +-= xxxf )(2-12
[FIG. 5]: OS GRÁFICOS DE 3xxg=)( E 39-=xxh)(2-13
[FIG. 6]: O GRÁFICO DE 93 2 -= xxf )('2-13
[FIG. 7]: GRÁFICO DA FUNÇÃO 23,ln)(-=xxxf2-14
[FIG. 8]: GRÁFICO DA FUNÇÃO xxf ln)(' += 12-14
[FIG. 9]: OS GRÁFICOS DE xxglog)(5= E xxh402,)(-=2-15
[FIG. 10]: OS GRÁFICOS DE xxg=)( E xexh-=5)(2-15
[FIG. 1]: O MÉTODO DA BISSECÇÃO OU DICOTOMIA2-16
[FIG. 12]: O TANQUE DE COMPRIMENTO L2-17
[FIG. 13]: UM EXEMPLO DE UMA FUNÇÃO DE PONTO FIXO2-19
[FIG. 14]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES y=x E x-=f62)(2-20
[FIG. 15]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES y=x E 216xx-=f)(2-21
[FIG. 16]: A SEQÜÊNCIA {}kx CONVERGE PARA O ZERO a (CONVERGÊNCIA DO TIPO ESCADA)2-2
[FIG. 17]: A SEQÜÊNCIA {}kx CONVERGE PARA O ZERO a (CONVERGÊNCIA DO TIPO CARACOL)2-2
[FIG. 18]: A SEQÜÊNCIA {}kx NÃO CONVERGE PARA O ZERO a2-2
[FIG. 19]: A SEQÜÊNCIA {}kx NÃO CONVERGE PARA O ZERO a2-23
[FIG. 20]: CASOS EM QUE B É O EXTREMO MAIS PRÓXIMO DE a2-24
[FIG. 21]: OS GRÁFICOS DE xexh=)( E 42-=xxg)(2-26
[FIG. 2]: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO DE NEWTON2-28
[FIG. 23]: OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES )(xg= X E )(xh=xcos2-30
[FIG. 24]: INTERPOLAÇÃO DE f(x) PELO POLINÔMIO P(x)4-47
[FIG. 25]: INTERPOLAÇÃO POR LAGRANGE4-50
[FIG. 26]: GRÁFICO DO POLINÔMIO )(xP10 INTERPOLANDO )(xf4-56
[FIG. 27]: SPLINE LINEAR INTERPOLANDO 4 PONTOS4-57
[FIG. 28]: DOMÍNIO DISCRETO5-64
[FIG. 29]: DOMÍNIO CONTÍNUO5-64
[FIG. 30]: O MÉTODO DO MÍNIMOS QUADRADOS5-65
[FIG. 31]: DIAGRAMA DE DISPERSÃO5-68
[FIG. 32]: REGRA DOS TRAPÉZIO6-74
[FIG. 3]: REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA6-76
[FIG. 34]: REGRA 1/3 DE SIMPSON6-78
[FIG. 35]: REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA6-80
[FIG. 36]: GRÁFICO DA SOLUÇÃO NUMÉRICA DE UM PVI7-84

Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES

1 Noções básicas sobre Erros Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos.

[Fig. 1]: Modelagem e resolução de problemas.

· MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do problema que se quer estudar.

• RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos.

1.1 Erros

Para se obter a solução do problema através do modelo matemático, erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.

Resolução: Aproximações (ERROS): MODELAGEM:

OBS. 1: Características do planeta Terra.

• Características Físicas:

Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km;

Massa: 5,98·2410Kg; Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27’.

• Características Orbitais:

Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km; Distância Máxima do Sol: 152100000Km;

Distância Mínima do Sol: 147100000Km; Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.

1.2 Erros Absolutos e Relativos

1.2.1 Erro Absoluto

É o módulo da diferença entre um valor exato x de um número e seu valor aproximado x.

(Eq.1) xEA=x-x, onde x é o valor exato e x é o valor aproximado.

Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES superior (1k majorante) ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.

1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro

Erro relativo de x é o módulo do quociente entre o erro absoluto xEA e o valor exato x ou o valor aproximado x, se x ou x „ 0.

(Eq.3) xER=

EAx = x x- ou xER=x EAx = x

Exercício 2 Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b). a) x=1,5 e x=1,49; b) y=5,4 e y=5,39.

Resolução:

1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento

1.3.1 Erro de Arredondamento

Exercício 3 Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que p=3,1415926535… Resolução:

1.3.2 Erro de Truncamento

Exercício 4 Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo que p=3,1415926535… Resolução:

Exercício 5 Sabendo-se que xe pode ser escrito como xe=å ¥

, faça a aproximação de

2e através de um truncamento após quatro termos da somatória. Resolução:

Cálculo Numérico Noções básicas sobre erros Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES

1.4 Aritmética de Ponto Flutuante

Um número é representado, internamente, na máquina de calcular ou no computador através de uma seqüência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou seja, os números são representados na base 2 ou binária.

De maneira geral, um número x é representado na base b por:

(Eq.4) x=–Œ ºØ b ßø bt td*expb.

Onde:

• idÞ são números inteiros contidos no intervalo 0£id<b; i=1, 2, …, t; • expÞ representa o expoente de b e assume valores entre I£exp£S;

• I, SÞ limite inferior e limite superior, respectivamente, para a variação do expoente;

• Œ ºØ b ßø bt td Þ é chamada de mantissa e é a parte do número que representa seus dígitos significativos;

• tÞ número de dígitos do sistema de representação.

Exercício 6 Considerando no sistema de base 10, b=10, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante:

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