Matemática Financeira

Matemática Financeira

(Parte 1 de 6)

FINANCEIRA Prof.Dr.Laércio Luis Vendite

Agosto 2005

1. INTRODUÇÃO

Nos dias atuais, o ensino de Matemática tem seguido, em várias situações, uma linha axiomática que sempre só apresenta aos alunos a etapa final de um longo desenvolvimento de idéias e criações, ou seja, aquela que todos os conceitos já estão prontos e integrados num toque de harmonia e perfeição. Dessa maneira, este tipo de apresentação faz com que a Matemática apareça completamente desvinculada da realidade e, portanto, torna-se abstrata, árida, àqueles que tem interesse de aprendê-la. Assim sendo um indivíduo que entra em uma loja para comprar um televisor enfrenta uma situação assaz complicada, ou seja, que tipo de matemática esse indivíduo terá que adotar para que tenha condição de optar pelo plano mais vantajoso para comprar esse televisor? Comprá-lo à vista com 10% de desconto ou financiá-lo a prazo em 3 parcelas iguais?

Isso sem levar em consideração que esse indivíduo teve o seu salário reajustado em 5 % quando a inflação era de 10 % no período. Para responder a todas esses situações-problema procuramos por intermédio desse pequeno espaço, abrir um grande caminho para que seja implantado no ensino básico e nas universidades, um tópico muito importante e colocado de lado em nosso cotidiano que é a Matemática Financeira. O nosso objetivo é, então de apresentar algumas atividades que introduzam os conceitos fundamentais utilizados na análise financeira convencional.

Inúmeras situações foram desenvolvidas, sendo que algumas não possuem uma solução em forma fechada, e portanto, os resultados ou aproximações somente poderão ser obtidos através de métodos numéricos aplicados aos valores em diversas tabelas financeiras.

A representação de todas as situações-problema pode ser elaborada através de esquemas denominados Fluxo de Caixa. O intuito principal é de trabalharmos com esses esquemas e de encontramos outras representações que sejam equivalentes e que nos permita fazer uma análise segura do problema inicial.

2. FLUXO DE CAIXA

Denominamos Fluxo de Caixa (de um individuo, de um investimento, de um negócio,..etc.) a representação de entradas e saídas de valores ao longo do tempo. Essa representação ao longo do tempo pose ser feita através do seguinte diagrama:

(-) (+)

Pagamento Recebimento Tempo

10,0 130,0

Tempo (meses) 0 321

A escala horizontal representa o tempo que pode ser expresso em dias, meses, anosOs

números 0,1,2...representam as datas necessárias para a resolução do problema. As entradas de valores terão o sinal (+) (seta apontada para cima), e as saídas o sinal (-) (seta apontada para baixo). Exemplo: Representar um investimento de R$ 10,0 a uma taxa de 10% ao mês, no regime de juros simples. Nesse caso o valor a ser retirado no final do 30 mês será de R$ 130,0. e o fluxo de caixa será o seguinte:

Capítulo I - Juros

Na experiência prática, o conceito de juros, se encontra associado a quantias monetárias, representando a remuneração ganha ao emprestar ou o custo pago ao tomar um emprestado, tendo transcorrido certo período que pode ser um dia, um mês, um ano etc.

12% ao ano = 12% a.a. 14% ao semestre = 14% a.m. 1% ao mês = a.m.

2.1. Exemplo: Um capital de R$ 1.0,0 aplicado a uma taxa de 8%a.a. proporcionará, no final do 1o ano, o juro de:

Notação: A taxa de juros pode ser expressa em porcentagem ( 8 %a.a.) ou fração

decimal (0,08 a.a.)

3.1 Juros Simples: Nessa hipótese os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial empregado.

Exemplo: Qual o montante acumulado em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de juros simples, a partir de um capital inicial de R$ 10.0,0?

M = Montante ou Valor Final
J = Juros da aplicação obtidos durante a aplicação
n = número de períodos
i = Taxa de juros efetiva em cada período de capitalização

Simbologia: P = Principal ou Valor Inicial

niPJ..=e ).1.(niPM+=
ondeM = P + J

Assim temos:

P = 10.0,0 , i = 0,2 a.me n = 3 logo,

No caso anterior,

M = 10000. (1+0,2.3) M = 16.0,0

3.2 Juros Compostos: Nesse regime o valor dos juros de cada período é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o Saldo existente no início período correspondente: O Mercado Financeiro segue todo ele a lei de juros compostos. Assim todos os papéis de Renda Fixa, Sistema de Habitação, Crediário etc. segue o regime de juros compostos.

Exemplo: Qual o montante produzido em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um capital inicial de R$ 10.0,0?

Logo: 4

M = 10.0,0 , i = 0,2 a.me n = 3 logo,

Neste caso,

M = 10000. (1+0,2)3 M = 17.280,0

Observações:

(1) A unidade de medida de tempo n deve ser compatível com a unidade utilizada na taxa de juros ; (2) A taxa de juros deve ser expressa em fração decimal e não em porcentagem.

4.1 Taxa efetiva ou real : É aquela em que a unidade de referência do seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

Exemplo: 3% a.m. capitalizados mensalmente 4% a.d. capitalizados diariamente

4.2 Taxa Nominal: É aquela em que não há coincidência entre unidade de referência do seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal em geral é fornecida em termos anuais e os períodos são mensais.

Exemplo:

12% a.a. capitalizados mensalmente .Isso significa uma taxa efetiva de 1% a.m. 24% a.s capitalizados mensalmente correspondem a uma taxa efetiva de 4% a.m.

4.3 Taxas Proporcionais: Duas ou mais taxas são proporcionais quando ao serem aplicadas sobre um mesmo Principal durante um mesmo prazo produzirem um mesmo Montante M, no regime de Juros Simples.

Exemplo: 12% a.a. ∼ 6% a.s. ∼ 3% a.t. ∼ 1% a.m. pois

4.4 Taxas Equivalentes: Duas ou mais taxas são proporcionais quando ao serem aplicadas sobre um mesmo Principal durante um mesmo prazo produzirem um mesmo Montante M, no regime de Juros Compostos.

1 + ia = ( 1+ im)12 e se im = 0,01 então ia = (1,01)12 - 1 = 0,1268 Reciprocamente uma taxa efetiva de 20% é equivalente a 1,53% a.m., pois

5. Taxa de Desconto e Taxa de Rentabilidade

5.1 Taxa de Desconto : O conceito básico de taxa de desconto a juros simples é muito utilizado em determinadas operações bancárias, tais como desconto de notas promissórias e desconto de duplicatas. Suponhamos inicialmente as seguintes definições: Sejam d a taxa de desconto em cada período, P o principal e M o montante e n o prazo. Convém então lembrar que a taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o principal P, durante n períodos, para gerar o Montante. Por outro lado, a taxa de desconto é aplicada sobre o montante M, durante n períodos, para produzir o principal P. Assim teremos:

Para explicitarmos a taxa de rentabilidade i ou a taxa de desconto d, obteremos:

didn=−ou 1.

Como o valor principal P é menor que o montante M, dizemos que ele é obtido do desconto do montante M. O desconto utilizado com a taxa de desconto é conhecido como desconto comercial, ou por fora. O desconto realizado com o uso da taxa de rentabilidade i é conhecido como desconto racional, ou por dentro.

Capítulo I - Valor atual - Reajuste de Salários e Inflação

1. Cálculo do Valor Atual

1.1. Reajuste em um único período: SejamS o Salário ou o preço inicial, e r a taxa

Assim como os produtos, também os salários são reajustados utilizando a mesma Matemática de juros compostos. de reajuste no período então:

Onde Sr é o valor do salário ou preço reajustado. Para um único período o conceito é o de juros simples.

Exemplo: A partir de 01/05/1992 o s.m. teve um reajuste de 139,49%.

Assim, S = 96.037,3 ( O salário mínimo anterior) r = 1,3949 ( taxa de reajuste)

Então)3949,1(3,037.96+=rS

Sr = 230.0,0

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