(Parte 1 de 2)

Jorge Orestes Cerdeira, Inst. Sup. Agronomia, 2005

Espacos vectoriais

Def. Um conj. V de vectores de Rm diz-se:

. fechado para a adicao se ∀x,y ∈ V,x + y ∈ V ; . fechado para o produto escalar se ∀x ∈ V e ∀λ ∈ R,λx ∈ V .

Ex. Quais dos seguintes conjuntos sao fechados para a adicao e produto escalar?

Def. V ⊆ Rm diz-se subespaco vectorial se V 6= ∅ e e fechado para a adicao e multiplicacao escalar.

Rm e subespaco vectorial maximal; Se V e subespaco entao:

a) ~0 ∈ V (todo o sub. vectorial inclui o vector nulo)

A ↪→ TA : Rn −→ Rm funcao ou transformacao

TA transforma somas (em Rn) em somas (em Rm);

TA transforma produtos (em Rn) em produtos (em Rm).

Diz-se que TA e uma transformacao linear de Rn em Rm. Seja N(A) = {x ∈ Rn : Ax = ~0}, i.e., o conj. das solucoes do sistema homogeneo.

ATn |Rm|R

Teor. N(A) e um subespaco vectorial de Rn e chama-se espaco nulo da matriz A.

N(A) 6= ∅
N(A) = {

i.e., a recta com a direccao do vector (1,−1,1) que passa na origem.

a b c d e f

Def. Um vector w ∈ Rm e combinacao linear dos vectores

v1 v2vn w ]

possıvel.

Obs. As combinacoes lineares do vector v sao os vectores λv, com λ ∈ R, i.e., os vectores multiplos de v (a recta com a direccao de v que passa na origem, se v 6= ~0).

De facto, −3

∀λ1,λ2 ∈ R, λ1u+λ2v 6= w′, i.e., w′ nao e combinacao linear

sistema impossıvel. de u e v.

Teor. Seja Am×n uma matriz. O conj. de todas as combinacoes lineares das colunas n de A e um subespaco vectorial de Rm, que se chama espaco das colunas de A e se representa por C(A).

. O sistema homogeneo Ax = ~0(∈ Rm) e possıvel,~0 ∈ C(A) ⇒
w + w′ ∈ C(A).
e possıvel (λu e uma solucao) eλw ∈ C(A).

O sistema e possıvel sse

, i.e.,

C(A) e a recta de R3 que passa na origem e tem a

Algoritmo para a determinacao do espaco das colunas input: Matriz Am×n

a matriz em escada resultante.

. Se A′ nao tem linhas nulas (O sistema Ax = w e possıvel, ∀w ∈ caso contrario (cada linha nula de A′ introduz uma restricao aos membros direitos para os quais o sistema Ax = w e possıvel.)

Se i e linha nula de A′, tem-se a restricao w′i = 0.

Obs. a) Quando A′ tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A) com espaco do nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas quantas as linhas nulas de A′.

Def. Chama-se espaco gerado por um conj. de vectores V =

matriz [v1 v2vn].
Restricao: −w1 − w2 + w3 = 0< V >= N([−1 − 1 1]) e o

De uma forma geral, tem-se

Obs. se A′ e uma matriz em escada resultante de aplicar o metodo de Gauss a matriz A, C(A) e o espaco gerado pelas colunas de A que correspondem as colunas pivot de A′.

resultante de aplicar o metodo de Gauss a matriz [v1 v2vn]

sao pivot. Se V nao e linearmente independente diz-se linearmente dependente.

b) Um conjunto que inclua o vector nulo e linearmente dependente.

c) Se o conj. de vectores V = {v1,v2,...,vn} de Rm e linearmente independente, entao n ≤ m, i.e., um conj. linearmente independente de vectores de Rm nao inclui mais do que m vectores.

Toda a coluna da matriz em escada e pivotV e linearmente

independente.

independente sse N[v1 v2vn] = {~0}, i.e., λ1v1 + λ2v2 + · +
linear nula dos vectores v1, v2,, vn anulando os coeficientes.)

e linearmente dependente.

{(−2a,a,a,0),∀a ∈ R} 6= {~0} eλ1v1 +λ2v2 +λ3v3 +λ4v4 = ~0 6⇒

De uma forma geral, se a coluna j da matriz em escada que re- sulta de aplicar o metodo de Gauss a matriz A nao e pivot, entao a coluna j de A e combinacao linear das restantes colunas de A.

Tem-se pois o seguinte resultado

Teor. Um conj. com dois ou mais vectores e linearmente de- pendente sse um dos vectores do conj. e combinacao linear dos 12 restantes.

1. V e linearmente independente, e

Obs. Todo o vector de um subespaco vectorial exprime-se de forma unica como combinacao linear dos vectores da base.

Ex.

. Uma base da recta de R3 que passa na origem e no ponto (1,1,1)

. Indique bases para:

Fazendo cada uma das variaveis livres igual a 1 e as restantes iguais a 0, obtem-se o seguinte conj. de 3 vectores de N(A):

V e uma base de N(A).

De uma forma geral tem-se o seguinte

Algoritmo para a determinacao de uma base do espaco nulo input: Matriz Am×n

. Aplicar o metodo de Gauss a A. Seja R a matriz reduzida resultante.

caso contrario o conj. das solucoes dos sistema Ax = ~0 ⇔ Rx =

~0 que se obtem fazendo cada uma das variaveis livres igual a 1 e as restantes iguais a 0 e uma base de N(A). (A cardinalidade da base e pois o numero de variaveis livres, i.e., o numero de colunas nao pivot de R.)

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