livro edo1

livro edo1

(Parte 1 de 9)

c© por Artur Lopes Instituto de Matem atica - UFRGS

1. Introduc~ao7
2. Equac~oes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem15
3. Equac~oes diferenciais separaveis27
4. Equac~oes diferenciais exatas41
5. Soluc~oes em series de potencia64

I. Equa c~oes diferenciais de primeira ordem na reta

1. Introduc~ao67
2. Equac~oes diferenciais ordinarias lineares de segunda ordem homogeneas70
4. Metodo da variac~ao dos parametros96
5. Soluc~oes em series de potencia108
6. Transformada de Laplace110

I. Equa c~oes diferenciais de segunda ordem na reta 3. Equa c~oes diferenciais ordin arias lineares de segunda ordem n~ao-homogeneas 93 I. Sistemas Lineares de Equa c~oes Diferenciais

1. Introduc~ao - Sistemas Lineares de Equac~oes Diferenciais135
Bibliogra a152

. [theo]Proposition

O objetivo destas notas e apresentar alguns dos resultados b asicos da teoria das equa c~oes diferenciais ordin arias e tamb em alguns exemplos em que aparecem aplica c~oes desta teoria. O pre-requisito para ler estas notas e apenas um conhecimento b asico de C alculo Diferencial e Integral e algumas id eias gerais de Algebra Linear (e que s~ao tamb em apresentadas no texto).

Este texto possui um car ater elementar e se dedica a apresentar v arios m etodos de resolu c~ao de equa c~oes diferenciais ordin arias na reta real. Apresentamos tamb em a demonstra c~ao dos v arios resultados b asicos da teoria (menos o teorema de existencia e unicidade).

Enfatizamos no texto, atrav es de v arios exemplos, o entendimento conceitual do assunto, ao mesmo tempo em que descrevemos, em alguns casos simples, como modelar - atrav es de equa c~oes diferenciais - problemas concretos oriundos de v arias areas aplicadas.

Ao leitor interessado em textos mais avan cados sobre equa c~oes diferenciais ordin arias recomendamos [DL][FN][BF][HS][S].

tematica, fsica, economia, biologia, etcReferimos o leitor a [Ch],

Este livro e dirigido a estudantes dos cursos de engenharia, ma- [KG], [Ba] e [Bu] para algumas aplica c~oes nestas areas.

Gostar amos de agradecer a Eduardo Brietzke e Carlos Felipe Rodrigues por terem oferecido v arias sugest~oes e corre c~oes que serviram para aprimorar o presente texto.

Vamos inicialmente fazer algumas considera c~oes gerais e tentar descrever da maneira mais simples poss vel o que e uma equa c~ao diferencial. Nos pr oximos par agrafos vamos apresentar as de ni c~oes e resultados b asicos que analisaremos posteriormente - com mais detalhes- na teoria geral das equa c~oes diferenciais ordin arias.

Uma equa c~ao diferencial e um express~ao que envolve a derivada de uma fun c~ao e o nosso objetivo e tentar descobrir quem e tal fun c~ao, ou, que propriedades possui tal fun c~ao. Por exemplo, considere a express~ao

Perguntamos: quem e a fun c~ao x(t) (onde x : R → R) que satisfaz a equa c~ao acima? A resposta e bem simples: seja x(t) = e5t, ent~ao para "todo"valor real t,

Portanto, a resposta que busc avamos e x(t) = e5t.

Note que desejamos que a equa c~ao seja verdadeira para todos os valores de t e n~ao apenas para um valor particular de t.

A primeira pergunta que nos fazemos e: como foi que descobrimos que a resposta e x(t) = e5t. Ser a que existem outras fun c~oes (al em de e5t) que tamb em satisfazem tal equa c~ao? Na verdade, ke5t, onde k e uma constante, tamb em e solu c~ao, pois, tomando x(t) = ke5t, temos que

E possivel mostrar, como veremos em breve, que qualquer solu c~ao de

Outro exemplo: para a xo, x(t) = cet a, onde c denota uma constante, e a solu c~ao geral da equa c~ao x0(t) = x(t) + a. Isto porque para tal x(t)

Vamos fazer agora um paralelo com um outro problema que e muito bem conhecido pelo leitor: as equa c~oes alg ebricas. A express~ao x2 3x+2 = 0 e um polinomio alg ebrico, e a pergunta natural que nos fazemos e: quem s~ao os n umeros reais x que satisfazem tal equa c~ao.

e n~ao uma fun c~ao que depende de t), sendo assim n~ao e uma equa c~ao diferencial. Para se obter as solu c~oes (ou tamb em chamadas ra zes do polinomio) x1 e x2 de um polinomio do segundo grau ax2+bx+c = 0, temos a nossa disposi c~ao a bem conhecida f ormula de B ascara:

Para polinomios de grau maior que 4 n~ao existe uma f ormula geral para calcular as ra zes. O valor x e usualmente chamado de inc ognita da equa c~ao polinomial.

O problema que estamos interessados na teoria das equa c~oes diferenciais e mais complexo do que resolver equa c~oes alg ebricas, pois a inc ognita no nosso caso, ser a uma fun c~ao x(t) em vez de um n umero real x 2 R.

Note que na equa c~ao polinomial, para encontrar a solu c~ao x, teremos que calcular uma raiz quadrada (que e na verdade a opera c~ao inversa de tomar x2) na f ormula de B ascara, isto aparece quando

Na teoria das equa c~oes diferenciais teremos que fazer algo similar, mais precisamente teremos, em geral, que integrar alguma fun c~ao. Note que integrar e a opera c~ao inversa de derivar como se sabe do Teorema Fundamental do C alculo. Nem sempre ser a possivel exibir explicitamente a solu c~ao x(t), fato que n~ao e surpreendente, visto que no problema menos complexo (polinomios), nem sempre se consegue obter a express~ao expl cita da solu c~ao x 2 R.

Como e usual em equa c~oes diferenciais, usaremos a express~ao sim- e para se ter uma nota c~ao menos pesada.

Algumas vezes somos levados a considerar equa c~oes do tipo x′(t) = t2x(t), neste caso, a express~ao simpli cada ca x0 = t2x. Isto e, convencionamos suprimir apenas o t que aparece como o valor do qual x depende. Outro exemplo, x0(t) = x(t)(log t) cosx(t), na express~ao simpli cada ca x0 = x(log t) cosx.

Vamos mostrar agora como obtemos a solu c~ao de x0 = 5x, usando o teorema fundamental do C alculo.

Primeiro, vamos escrever x′ = 5x de uma maneira mais adequada

Lembrando que a derivada de logx(t) e ddt log x(t) = x0 pondo que x(t) e positivo (este fato ser a devidamente esclarecido na pr oxima se c~ao) obtemos de x 0 x = 5, e assim equivalentemente

Logo a fun c~ao a esquerda da ultima express~ao tem que ser igual a fun c~ao a direita da mesma express~ao (que neste caso e constante). Logo integrando dos dois lados da express~ao acima obteremos de cada lado a mesma fun c~ao a menos de uma constante b. Isto e, calculando a integral inde nida∫ dlog x(t)

Agora, do teorema fundamental do C alculo segue que:

Z dlog x(t)

Aplicando agora a fun c~ao exponencial dos dois lados da express~ao, e usando o fato que o exponencial e a fun c~ao inversa da fun c~ao logaritmo, obteremos

Finalmente note que podemos denominar k o valor eb, concluindo assim que a solu c~ao x(t) tem a forma x(t) = ke5t, onde k e constante. Note que o teorema fundamental do C alculo entrou de maneira fundamental nas considera c~oes que zemos acima para se conseguir encontrar a solu c~ao que busc avamos. O fato que integrar e a opera c~ao inversa de derivar ir a aparecer v arias vezes no texto, quando analisarmos outros tipos de equa c~oes diferenciais. Nem sempre conseguiremos obter solu c~oes expl citas como foi poss vel no caso que tratamos acima.

Observa c~ao 1: Observe que no desenvolvimento que zemos acima consideramos logx(t), antes mesmo de saber se x(t) era positivo. No nal obtivemos que x(t) era da forma ke5t com k positivo, o que permite considerar de fato log x(t) (lembre que log s o est a de- nido para n umeros positivos). Se considerarmos k negativo, ser a em breve.

Na verdade muitas vezes vamos fazer algumas hip oteses "otimistas" a respeito da solu c~ao, e tentar descobrir quem ela e. Ap os descobrir quem deveria ser a solu c~ao, devemos testar se a fun c~ao x(t) que descobrimos e de fato solu c~ao da equa c~ao diferencial. Este e o teste de nitivo para saber se a x(t) encontrada e realmente a solu c~ao procurada.

Posteriormente vamos analisar com todo cuidado as quest~oes acima descritas e explicar com todos os detalhes porque ke5t;k ∈ R e a solu c~ao geral de x′ = 5x. Nesta introdu c~ao estamos apenas dando uma id eia geral sobre o procedimento a ser utilizado para encontrar a solu c~ao de uma equa c~ao diferencial. Outras express~oes envolvendo uma fun c~ao e suas derivadas como

tamb em s~ao equa c~oes diferenciais. Neste caso uma solu c~ao e x(t) = cos(t), pois

Neste caso, diferentemente do caso anterior, aparece a derivada segunda. Chamaremos este ultimo caso de equa c~ao diferencial de segunda ordem para distinguir do primeiro caso (envolvendo apenas primeira derivada) que chamaremos de equa c~ao diferencial de primeira ordem. Equa c~oes envolvendo derivadas de terceira ou de ordem maior s~ao tamb em importantes e devem ser analisadas, mas estaremos neste texto, basicamente, considerando apenas equa c~oes diferenciais de primeira e segunda ordem. Express~oes do tipo

ou mais geralmente espress~oes envolvendo as derivadas parciais

@t ; @u @x onde u(t;x);t;x 2 R e tal que u toma valores reais, s~ao de- nominadas de equa c~oes diferenciais parciais. Neste texto n~ao vamos considerar tais tipos de equa c~oes. Sobre o assunto equa c~oes diferenciais parciais, referimos o leitor a [I] para um texto de n vel de gradua c~ao e a [I] para um texto de n vel mais avan cado.

As equa c~oes diferenciais denominadas de ordin arias, s~ao aquelas em que s o aparece a derivada em rela c~ao a uma vari avel. Exemplo 1: Considere a equa c~ao diferencial

Neste caso, para encontrar a solu c~ao x(t) basta integrar dos dois lados da igualdade acima e usar o Teorema Fundamental do C alculo, obtendo assim∫ dx

O tipo de equa c~ao diferencial do exemplo 1, no qual x′ e igual a uma fun c~ao que s o depende de t, e o exemplo mais simples de equa c~ao diferencial entre todos os poss veis. Muitas vezes iremos tentar reduzir equa c~oes diferencias mais complexas a equa c~oes deste tipo.

Como dissemos antes, e mais uma vez con rmamos acima, o m etodo utilizado para encontrar a solu c~ao de uma equa c~ao diferencial em geral envolve integra c~ao e o Teorema Fundamental do C alculo.

Exemplo 2: dxdt = sen t, neste caso a solu c~ao e obtida conforme exemplo 1 integrando de cada lado da equa c~ao e usando o teorema fundamental do c alculo, obtemos assim x(t) = cost + c.

unica a solu c~ao da equa c~ao diferencial ordin aria de primeira ordem

sen t basta derivar.

A nota c~ao x0 = sen t utilizada acima ser a usada muitas vezes no nosso texto: como dissemos antes suprimimos na equa c~ao diferencial o t da inc ognita x(t) mas n~ao suprimimos o t das outras fun c~oes que participam da equa c~ao mas n~ao envolvem a fun c~ao x.

Agora que j a demos ao leitor uma breve id eia do que e uma equa c~ao diferencial, vamos analisar de maneira sistem atica a teoria geral das equa c~oes diferenciais ordin arias considerando primeiro os casos mais f aceis e simples. Os casos mais complexos ser~ao analisados ao nal do texto.

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