(Parte 1 de 3)

(Algebra Abstrata)

Texto de aula

Professor Rudolf R. Maier

Indice

Teoria Elementar dos Conjuntos pg.

§ I.0 Fundamentos1

Algumas observacoes sobre logica elementar Conceitos primitivos e conjuntos Igualdade entre conjuntos Subconjuntos Diferenca e complementar Reuniao e intersecao Uma propriedade fundamental do conjunto IN O conjunto das partes O teorema binomial O triangulo de Pascal

§ I.1 Produtos Cartesianos e Relacoes23

Produtos Cartesianos Relacoes Relacao inversa Composicao de relacoes Relacoes de equivalencia

§ I.2 Aplicacoes (funcoes)37

Definicao e exemplos Composicao de aplicacoes A caracterizacao das aplicacoes entre as relacoes Aplicacoes injetoras, sobrejetoras e bijetoras Conjuntos equipotentes A decomposicao canonica de uma aplicacao O axioma da escolha As ordens |Inj(m,n)| e |Sob(m,n)|

CAPITULO I Estruturas Algebricas

estruturas algebricas65

§ I.1 Definicoes das mais importantes

Composicoes internas Estruturas algebricas Propriedades especiais de estruturas Centralizador e centro Semigrupos e monoides Elementos regulares, inversıveis e grupos

e homomorfismos89

§ I.2 Subestruturas, estruturas quocientes

Subestruturas Subestrutura gerada por um subconjunto Relacoes de congruencia e estruturas quocientes Estruturas quocientes Homomorfismos e Isomorfismos O teorema geral do homomorfismo e estruturas simples Associatividade, comutatividade, identidades e inversos sob homomorfismos

§ I.3 Grupos110

Grupos Os grupos simetricos Subgrupos O grupo dos automorfismos de uma estrutura algebrica As relacoes de equivalencia modulo um subgrupo As relacoes de congruencia de um grupo e subgrupos normais Grupos quocientes e homomorfismos de grupos Imagens homomorficas abelianas de grupos Os grupos cıclicos

§ I.4 Aneis e Corpos130

Aneis e subaneis Homomorfismos e relacoes de congruencia num anel - ideais Aneis quocientes e ideais Propriedades especiais de aneis Ideais principais em aneis comutativos com identidade Aneis simples e Corpos Ideais primos e ideais maximais Elementos idempotentes

ALGEBRA I (Algebra Abstrata) Notas de aula

Prof. Rudolf R. Maier Versao atualizada 2005

CAPITULO I Teoria Elementar dos Conjuntos

§ I.0 Fundamentos

Algumas observacoes sobre logica elementar

I.0.2 Implicacao - condicao necessaria - condicao suficiente

Suponhamos, A e B sao ”assercoes” (ou ”propriedades”) - as quais podem ser verdadeiras ou falsas e cuja veracidade ou falsidade pode ser constatada de forma unica. Quando escrevemos queremos dizer que A implica em B , ou seja, sempre quando A for verdadeira, tambem B sera verdadeira. Outra maneira de dizer isto e:

(A validade de) A e condicao suficiente para (a validade de) B , ou B e condicao necessaria para A , ou A vale somente se B vale, ou B vale se A vale, ou ainda Se A , entao B .

E claro que A B

significam o mesmo quanto A =⇒ B . Vejamos exemplos:

Seja A a assercao: ”um certo numero natural n e multiplo de 4 ” (dependendo do n, isto pode ser verdadeiro ou falso), B a assercao: ”n e par ” .

Claramente temos neste caso A =⇒ B, pois sempre se n e multiplo de 4, concluimos que n e par. Assim, podemos dizer:

”n ser multiplo de 4” e condicao suficiente para ”n ser par ”.

”n ser par ” e condicao necessaria para ”n ser multiplo de 4 ”.

Um outro exemplo:

Seja A a assercao: ”esta chovendo ” (tambem isto pode ser verdadeiro ou falso aqui e agora), B a assercao: ”a praca esta molhada ”.

Tambem neste caso temos A =⇒ B, pois, se realmente esta chovendo, temos certeza que a praca esta molhada. Assim, podemos dizer: ”estar chovendo ” implica que ” a praca esta molhada ”

”estar chovendo ” e condicao suficiente para termos ”uma praca molhada ” ”uma praca molhada ” e condicao necessaria para ”estar chovendo ”

”esta chovendo ” somente se ” a praca esta molhada ”

”a praca esta molhada se esta chovendo ” se ”esta chovendo ”, entao ”a praca esta molhada ”

Exercıcio. Pensando-se num certo quadrangulo Q, facam o mesmo com as assercoes

E claro que a seta numa implicacao A =⇒ B nao pode ser simplesmente invertida: A e condicao suficiente para B significa que B e condicao necessaria para A , mas nao que B e condicao suficiente para A:

O fato de ”n ser par ” e condicao necessaria mas nao suficiente para ”n ser multiplo de 4 ”. O fato de ”n ser multiplo de 4 ” e condicao suficiente mas nao necessaria para ”n ser par ”: Tambem 6 e par sem ser multiplo de 4.

O fato de termos ”uma praca molhada ” e condicao necessaria mas nao suficiente para ”estar chovendo ”. O fato de ”estar chovendo ” e condicao suficiente mas nao necessaria para termos ”uma praca molhada ” : A praca pode estar molhada sem que esteja chovendo (por exemplo devido a uma operacao dos bombeiros).

Existem assercoes A e B que ambas implicam na outra, ou seja, as quais satisfazem simultaneamente

Nesta situacao temos entao que A e suficiente para B e tambem A e necessario para B . Dizemos que A e (condicao) necessario(a) e suficiente para B , ou tambem A vale se e somente se vale B .

Este fato indicamos por

Dizemos tambem que A e B sao assercoes equivalentes, ou ainda que A constitui uma propriedade caracterıstica para B (e vice versa).

Por exemplo:

Cada uma destas duas propriedades, as quais um numero n pode ter ou nao, e suficiente para a outra. Cada uma e necessaria para a outra. Cada uma e necessaria e suficiente para a outra. Cada uma vale se e somente se a outra vale.

Exercıcio. Pensar sobre as assercoes equivalentes, quando Q e um certo quadrangulo:

Se A e uma assercao, indicamos por A a assercao ”nao - A ”, a qual e verdadeira se e somente se A e falsa. Sejam A e B duas assercoes e suponha

O que acontece com esta implicacao se negarmos as duas assercoes ? A resposta e que devemos tambem inverter a seta da implicacao , ou seja, teremos

Em outras palavras: Se A e suficiente para B , entao B e suficiente para A.

Ou tambem: Se A e suficiente para B , entao A e necessario para B. Por exemplo, se negarmos a implicacao

”ser multiplo de 4 e suficiente para ser par ”, a implicacao negada e: ” nao ser multiplo de 4 e necessario para ser ımpar ”. Porem, nao ser multiplo de 4 naoe suficiente para ser ımpar.

Claro que numa equivalencia podemos negar as assercoes dos dois lados, ou seja, nao importa se escrevemos

Existem teoremas que afirmam simplesmente implicacoes , do modo que na sua demonstracao deve ser verificado que uma certa propriedade B e consequencia de uma propriedade A (a hipotese). outros teoremas matematicos afirmam equivalencias de certas propriedades. Eles tem a forma:

Sob certas condicoes sao equivalentes:

a) Vale a propriedade A b) Vale a propriedade B .

”a) ⇒ b)” :Aqui deve ser mostrado que A e suficiente para B .

A demonstracao de um tal teorema sempre se divide em duas partes: Isto pode ser mostrado diretamente, mostrando-se que B e verdade, supondo-se a veracidade de A . Ou indiretamente, supondo-se a veracidade de B e concluindose que A e verdade.

”b) ⇒ a)” :Aqui deve ser mostrado que A e necessario para B (que B

e suficiente para A). Isto pode ser mostrado, verificando-se que A e verdade, supondo-se a veracidade de B . Ou indiretamente, supondo-se que A e falso e concluindo-se que B e falso.

Conceitos primitivos e conjuntos I.0.3

Como conceitos primitivos admitiremos: A nocao de elemento, a relacao de igualdade ” = ” , a nocao de conjunto e a relacao da pertinencia ” ∈ ” :

Um conjunto A e uma ”colecao ” ou ”famılia ” de ”elementos ” ou ”objetos ”.

Dado um conjunto A. Para indicar que um elemento a pertence a A escrevemos a ∈ A (ou tambem A 3 a ). Se isto naoe o caso, escreve-se a 6∈ A (ou tambem A 63 a ). Admitimos que, para qualquer objeto a ocorra exatamente uma das possibilidades: Ou ” a ∈ A ” ou ” a 6∈ A ” .

Alem disso, para dois elementos a,b ∈ A queremos que exatamente uma das possibilidades ou a = b ou a 6= b seja verdade. Um conjunto pode ser dado pela simples colocacao de todos os seus elementos, como por exemplo

Ele pode ser dado pela descricao exata das propriedades dos seus elementos, como por exemplo

A = { a ∣∣∣}
e lido: A e o conjunto de todos os (elementos) a, tais que

Igualdade entre conjuntos I.0.4 Observacao.

Dado dois conjuntos A e B, queremos saber se A = B ou A 6= B. Isto e decidido assim:

A = B significa: Para todo objeto x temos : x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B .

Assim, A = B m Para todo a ∈ A vale a ∈ B e para todo b ∈ B vale b ∈ A.

Portanto, temos por exemplo{

I.0.5 Exemplos. Os seguintes conjuntos tem notacao padrao e serao sempre usados:

1, 2, 3,}
, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
0, 1, 2, 3,}

= { = o conjunto dos numeros inteiros nao-negativos .

Como fonte de exemplos admitiremos tambem sem mais explicacoes :

IR = o conjunto dos numeros reais ,

Um conjunto A pode conter so uma quantidade finita de elementos distintos. Tal conjunto e denominado um conjunto finito. A quantidade dos elementos distintos nele contidos e um numero natural

(ou 0), indicado por |A|, e chamado de ordem de A. Temos por exemplo{

1, 2, 3, 1, 3, 1, 3 ,, 3, 1, . . .} e { x ∈ Z ∣∣∣ x2 = 36

sao conjuntos finitos. Suas ordens sao

1, 2, 3, 1, 3, 1, 3 ,, 3, 1, . . .

Os conjuntos A = {a} que possuem um unico elemento (i.e. |A| = 1) sao de- nominados os conjuntos unitarios. Por exemplo, temos

Subconjuntos I.0.7 Definicao.

Se A e B sao dois conjuntos, dizemos que A e um subconjunto (ou uma parte) de B (tambem: B abrange A), se todo elemento de A for elemento de B, ou seja, se para todo elemento a, a implicacao for verdade. Escreve-se este fato como A ⊆ B ou tambem B ⊇ A. Temos A=B ⇐⇒ A⊆B e B ⊆A.

I.0.8 Observacao. Para quaisquer tres conjuntos A, B, C temos as regras a) Sempre A ⊆ A (lei da reflexividade) b) Se A ⊆ B e B ⊆ A, entao A = B (lei da anti-simetria) c) Se A ⊆ B e B ⊆ C, entao A ⊆ C (lei da transitividade)

A, lido: A e um subconjunto proprio (parte propria) de B.

Tambem: B abrange A propriamente.

A ⊂ B significa entao que todo elemento de A tambem e elemento de B, mas existe pelo menos um b ∈ B com b 6∈ A.

Observamos que sempre vale a implicacao

Temos por exemplo, IN ⊆ IN0 , IN0

Mais abreviadamente:

Na verdade, podemos ate afirmar

Se A ⊆ B naoe verdade para dois conjuntos A e B, escreve-se

Isto e lido: ”A nao esta contido em B ” ou tambem ” B nao abrange A” e significa que existe pelo menos um a ∈ A com a 6∈ B.

Por exemplo, se

2, 4, 6, 8,

e o conjunto dos numeros naturais pares e

3, 6, 9, 12,

e o conjunto dos numeros naturais divisıveis por 3, temos

Devemos advertir tambem que A 6⊆ B nao necessariamente significa B ⊂ A, como mostra nosso exemplo.

Diferenca e complementar I.0.9 Definicao. Dado dois conjuntos A e B, indicamos por

o conjunto dos elementos em A que nao estao em B. Este conjunto

A \ B e denominado a diferenca A menos B.

2, 4, 6, 8,}
3, 6, 9, 12,}
2, 4, 8, 10, 14, 16,}
3, 9, 15, 21, 27,}

i.e. A \ B e o conjunto dos numeros pares que nao sao multiplos de 3, enquanto B \ A e o conjunto dos multiplos de 3 que nao sao pares.

No caso particular quando A e E sao dois conjuntos tais que A ⊆ E, escrevemos

e chamamos CptE (A) de conjunto complementar de A relativo a E.

Por exemplo

Cpt IR (QI) e o conjunto dos numeros irracionais .

Claramente temos

Cpt E

CptE

Se A = E, o conjunto complementar CptE (E) e caracterizado por

e e denominado o subconjunto vazio de E, indicado por

CptE (B) ⊆ CptE

Demonstracao: Seja A ⊆ B ⊆ E (hipotese) e seja x ∈ CptE (B) um elemento arbitrario. Segue x 6∈ B e pela hipotese entao x 6∈ A. Isto significa x ∈

CptE

(B) foi arbitrario, concluimos CptE (B) ⊆ CptE

Reuniaoe intersecao I.0.1 Definicao. Dado dois conjuntos, entendemos por

o conjunto dos elementos que pertencem a (pelo menos) um de A ou B e

o conjunto dos elementos que pertencem a ambos A e B. A ∪ B chama-se a reuniao , A ∩ B a intersecao dos conjuntos A e B.

I.0.12 Exemplos.

2, 4, 6, 8,}

a) Quando A = { e o conjunto dos numeros naturais pares e{

3, 6, 9, 12,}

o dos divisıveis por 3, temos

As seguintes propriedades sao facilmente verificadas: I.0.13 Observacao. Para quaisquer conjuntos A e B temos

Se ainda C e um terceiro conjunto, entao d) Se A ⊆ C e B ⊆ C, entao A∪B ⊆ C

O conceito da ∪ e da ∩ pode ser generalizado para mais de dois conjuntos:

A1 ∪ A2 ∪∪ An =

A k e o conjunto dos elementos x que pertencem a pelo menos um dos A1,A2 ,..., An, enquanto

A1 ∩ A2 ∩∩ An =

A k e o conjunto dos elementos x que pertencem a todos os A1,A2 ,..., An.

Cpt E

Cpt E

A k

Cpt E

Cpt E

A k

Demonstracao: Para todo x ∈ E temos x ∈ Cpt E

Cpt E

A k

Da mesma forma x ∈ Cpt E

∃ k com x ∈ Cpt E

Cpt E

A k

Tambem famılias arbitrarias (possıvelmente infintas) de conjuntos podem ser consideradas:

Se E e um conjunto e F e uma famılia de subconjuntos de E colocamos⋃

a reuniao de todos os conjuntos X ∈ F. Esta e o subconjunto dos elementos de

E contidos em pelo menos um dos X ∈ F, enquanto⋂

a intersecao de todos os conjuntos X ∈ F, e o subconjunto dos elementos de E contidos em todos os X ∈ F.

A1, A2 ,, An }

Se F = { e uma famılia finita, voltamos ao caso anterior.

Dado um conjunto infinito E (por exemplo E = IN).

e um exemplo de uma famılia infinita. As regras de de Morgan podem ser formuladas agora assim:

Cpt E

CptE (X)

e Cpt E

Uma propriedade fundamental do conjunto IN

A adicao + em IN e tambem em Z, a qual queremos admitir sem mais explicacoes, da origem a uma ordem natural ” ≤ ” em Z :

∀ n,m ∈ Z temos

A seguinte propriedade do conjunto IN e fundamental:

O princıpio da inducao.

Todo conjunto nao vazio de numeros naturais possui um elemento mınimo. Em sımbolos:

∀ S, com 6O 6= S ⊆ IN ∃ m ∈ S tal que m ≤ n ∀ n ∈ S. Deste princıpio segue a importante

Seja T um conjunto de alguns numeros naturais (i.e. T ⊆ IN) satisfazendo as propriedades:

a) 1 ∈ T b) Sempre se n ∈ T, entaotambem n+1 ∈ T. Entao T = IN e o conjunto de todos os numeros naturais.

Demonstracao: Suponhamos T 6= IN. Entaovale S 6= 6O quando S =

Cpt IN (T) ⊆ IN e o conjunto complementar de T em IN. Pelo princıpio da inducao existe m ∈ S tal que m ≤ n para todos os n ∈ S. Como 1 ∈ T pela propriedade a), temos 1 6∈ S, particularmente m > 1. Daı concluimos n = m−1 ∈ T. Pela propriedade b) temos porem m = n+1 ∈ T, de onde sai o absurdo m ∈ S ∩ T = 6O. Isto mostra que S 6= 6O e impossıvel. Temos que ter S = 6O e daı T = IN.

Esta fundamental proposicao I.0.16 aplica-se para verificar a validade geral de formulas as quais envolvem numeros naturais, como mostra o seguinte

I.0.17 Exemplo. Para todos os numeros naturais n vale

1 + 3 + 5 ++ (2n−3) + (2n−1) = n2 (∗) .

Em palavras: A soma dos n primeiros numeros naturais ımpares e o n-esimo quadrado perfeito.

Demonstracao: Seja T = { n ∈ IN

naturais para os quais a formula (∗) e verdadeira (o ”conjunto verdade” ou o ”conjunto de validade” de (∗)). Para mostrar que T = IN, so e preciso verificar a) e b) da Proposicao I.0.16 para este T :

Para n = 1 (∗) simplesmente afirma que 1 = 12, o que certamente e verdade, ou seja, 1 ∈ T. Suponhamos n ∈ T para algum numero natural n, isto e,

1 + 3 ++ (2n−1) = n2 .
1 + 3 ++ (2n−1) + (2n+1) = n2+2n+1 ,
1 + 3 ++ (2n−1) + (2(n+1)−1) = (n+1)2 .

Somando-se 2n+1 a ambos os lados, obtemos de onde segue

Isto por sua vez significa n+1 ∈ T. Pela proposicao concluimos que o conjunto verdade da formula (∗) e o conjunto T = IN de todos os numeros naturais.

Vejamos mais um

I.0.18 Exemplo. Para todos os numeros naturais n e todo real a 6= 1 vale

1 + a + a2 + a3 ++ an−1 + an =
1 + 2 + 4 ++ 2n−1 + 2n = 2n+1 − 1 .

Particularmente (quando a = 2) obtemos 14

Demonstracao: Mais uma vez temos que verificar a assercao para n = 1 e para n+1 sob a hipotese que ela ja e valida para algum n:

Suponhamos, para algum numero natural n ja provado

1 + a + a2 + a3 ++ an−1 + an =
1 + a + a2 ++ an−1 + an + an+1 =

Somando-se an+1 a ambos os lados, obtemos an+1 − 1

de onde segue

1 + a + a2 ++ an + an+1 =

Isto diz que a formula continua valida para n+1. Concluimos que ela vale para todo n ∈ IN.

Mencionamos que as vezes e conveniente trabalhar com a seguinte generalizacao de I.0.16:

Seja n0 ∈ Z um inteiro fixo e seja T ′ um conjunto de (alguns) numeros

as propriedades:

≤ n ∈ Z} e o conjunto de todos os numeros inteiros maiores ou iguais a n0 .

Isto e facilmente verificado pela aplicacao de I.0.16 ao conjunto

Observamos que para este T temos T ⊆ IN e n0 ∈ T ′ e equivalente a 1 ∈ T.

(I.0.16 e obtido de volta a partir de I.0.19 fazendo-se n0 = 1).

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