QuestãoAI ) (Valor:3.0)Sejaf (x,y) =eVx2+9y2 .

a)Determinetodasascurvasdeníveldef eesboce,nummesmosistemadeeixos,ascurvasdenível c=1,c=e3ec=e4.

b) Esboceasintersecçõesdográficodef comosplanosxz eyz.

c) Utilizando(a)e(b),esboceográficodef indicando,nográfico,ascurvasobtidasem(b). d)EncontreumaparametrizaçãoparaacurvaemJR3obtidapelaintersecçãodográficodef como a)Paracadac2:1,acurvadenívelcéoconjunto{(x,y)EJR21eVx2+9y2=c},ouseja,éoconjunto {(x,y)E JR21x2+9y2=(lnC)2}.Logoacurvadenível1éoponto(O,O)e,parac>1,acurvade nívelc éaelipsex2+9y2=(lnC)2.Dessaforma,acurvadenívelc= e3éaelipsex2+9y2= 9

(essaelipsecortaoseixosnospontos(3,0),(-3,0), (0,1)e (0,-1) ea curvadenívelc =é é a elipsex2+9y2=16(essaelipsecortaoseixosnospontos(4,O),(-4, O),(0,4/3) e (O,-4/3)).

'J .z

b) Gráficodef intersecçãocomo planoxz: y =O ez =efxl

.2 J-,3 Gráficodef intersecçãocomo planoyz: x =O ez =e31Y1

------- A c) gráficodef:

.;c

A d) A projeçãonoplanoxy dacurvaobtidapelaintersecçãodográficodef como planoz =e3 é oconjunto{(x,y)E IR?Ix2+9y2=9},ouseja,oconjunto{(x,y) E JR21(~r+y2=I}. Logox podemosfazer"3=cost,Y=sentez =e3,comO~t ~27f.Portantoumaparametrizaçãoparaa curvapedidaé "((t)=(3cost, sent, e3),comO~t ~27f.

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