Fep2195 - p3 2007

Fep2195 - p3 2007

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FEP2195 - Fısica Geral e Experimental para Engenharia I Prova P3 - Gabarito d d d gM Rm m

1. A figura mostra um rotor de inercia variavel, de eixo horizontal fixo, formado por um cilindro macico e ho- mogeneo de massa M e raio R (ICM = 12 MR2), ao qual esta rigidamente ligada uma haste de massa desprezıvel sobre a qual podemos deslocar dois corpos puntiformes iguais de massa m = M8 . O sistema gira sem atrito em torno do eixo. Se inicialmente os dois corpos forem travados como mostra a figura, com d = 2R e o rotor sofrer a acao de um corpo de massa m′ = 12 M atraves de um fio ideal enrolado na periferia do cilindro, partindo do repouso, determine em funcao de M, R, h e g: (a) (0,5) O momento de inercia do rotor. (b) (1,0) A aceleracao linear de m′ e a tensao no fio. (c) (1,0) A variacao da energia cinetica do rotor apos a massa m′ ter descido uma distancia h.

SOLUC AO: (a) Momento de inercia do rotor

(b) Resultante de forcas sobre o bloco de massa m′ m′g −T = m′a Torque devido a tracao T sobre o rotor

MR2 a R

Tracao no fio

Substituindo na primeira equacao

Aceleracao linear de m′

Tracao no fio

(c) Conservacao da energia mecanica

Mgh =

Velocidade linear do sistema

Variacao da energia cinetica do rotor

8 Mgh x y

2. Um jogador atira uma bola de boliche de massa velocidade inicial ~v0 = 5ı (m/s) e ~ω0 = −10 k (rad/s). O coeficiente de atrito cinetico entre a bola e o chao e µ = 0,2. (a) (0,25) Qual e a velocidade inicial do ponto de contato da bola com a superfıcie? Descreva o movimento. (b) (1,0) Encontre a expressao vetorial da velocidade de translacao do centro de massa e da velocidade angular da bola no inıcio do movimento. (c) (1,0) Quanto tempo, apos o lancamento, a bola precisa para comecar a rolar sem deslizar? (d) (0,25) Determine o deslocamento angular da bola do instante inicial ate o momento em que ela para de deslizar e passa a ter um rolamento puro.

SOLUC AO: (a) Velocidade inicial de deslocamento do ponto de contato da bola com a superfıcie ~vp0

No inıcio do movimento o centro de massa da bola se desloca com velocidade ~v0, a bola rola com velocidade angular ~ω0 e o ponto de contato desliza com velocidade ~vp0.

(b) Movimento de translacao da bola ao longo do eixo x∑ ~Fext = M~a

A unica forca externa agindo sobre a bola ao longo do eixo x e a forca de atrito entre a bola e a superfıcie

Aceleracao do centro de massa da bola

~a = −µgı Velocidade do centro de massa da bola enquanto ela desliza

Movimento de rotacao da bola em torno do seu centro de massa∑ ~τext = ICM~α

A unica forca que produz torque externo e a forca de atrito entre a bola e a superfıcie

Velocidade angular de rotacao em torno do centro de massa, enquanto a bola desliza

(c) Velocidade de deslocamento do ponto de contato da bola com a superfıcie ~vp

(d) Deslocamento angular da bola ate parar de deslizar

3. Considere uma barra delgada homogenea de comprimento L com massa

M (ICM = 112 ML2) presa a um pivo no seu topo, podendo rodar sem

atrito, como mostrado na figura. (a) (0,5) Calcule o momento de inercia da barra em relacao ao pivo.

(b) (0,5) A barra e deslocada inicialmente de um angulo θ0 em relacao a vertical e e solta a partir do repouso. Qual e a velocidade angular da barra no ponto mais baixo do seu movimento? (c) (0,5) Qual e a velocidade (linear) do centro de massa da barra quando essa passa pela parte mais baixa do seu movimento?

(d) (0,5) Determine a aceleracao angular da barra para um angulo θ qualquer (θ < θ0). (e) (0,5) Determine as componentes do vetor aceleracao linear do centro de massa da barra

SOLUC AO: (a) Usando o teorema dos eixos paralelos

(b) Usando conservacao da energia mecanica e tomando a energia potencial U = 0 no ponto mais baixo da trajetoria temos

Mg L

Velocidade angular da barra no ponto mais baixo do movimento

(c) Velocidade linear do centro de massa da barra quando essa passa pela parte mais baixa do seu movimento v = ωB L

(d) A aceleracao da barra e produzida pelo torque da forca peso

Mgsen(θ) L

(e) Aceleracao tangencial

atCM = α

atCM =

Aceleracao radial arCM = ω2L

Velocidade angular para um angulo θ < θ0

Mg L

arCM =

v0L L

4. Duas barras identicas de massa m e comprimento L (ICM = 112 mL2) deslizam sem atrito sobre um plano horizontal. Inicialmente as duas bar- ras se deslocam com velocidades de mesmo modulo (v0) que possuem a mesma direcao, mas sentidos opostos, como mostrado na figura. As ex- tremidades das barras colidem elasticamente. Apos a colisao o centro de massa de cada barra continua a se mover na mesma direcao e sentido em que se movia antes do choque, mas agora com velocidade de modulo v. Alem disso, cada barra adquire um movimento de rotacao em torno do seu centro de massa com velocidade angular de modulo ω. Em funcao de m, L, v0, v e ω determine: (a) (0,5) a energia cinetica total do sistema antes da colisao,

(b) (0,5) o momento angular total do sistema com relacao ao seu centro de massa antes da colisao, (c) (0,5) a energia cinetica total do sistema apos a colisao, (d) (0,5) o momento angular total do sistema em relacao ao seu centro de massa, apos a colisao,

(e) (0,5) a velocidade v de translacao do centro de massa de cada barra em termos de v0.

SOLUC AO: (a) Energia cinetica total antes da colisao

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