Baixe PME2300 Gabarito P2 2007 e outras Provas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME2300 – Mecânica dos Sólidos I - Prova #02 – 15/05/2007 – Gabarito 1ª Questão (4,0 pontos) A viga ABC da figura está articulada em A e é suportada por um tirante em B. O comprimento da viga é 2L e a sua rigidez flexional é EI. O comprimento do tirante é L e sua rigidez axial é EA. Pede-se determinar, usando o Princípio do Trabalho e da Energia, o deslocamento vertical δ que sofre a extremidade livre C da viga quando nela é aplicada uma força vertical P. P A B C D L L L a) Força normal no tirante DB: PN 2= (0,5) b) Energia de deformação armazenada no tirante DB: EA LP EA LNU DB 22 2 2 == (0,5) c) Energia de deformação armazenada na barra AC: ∫= L AC dxEI MU 0 2 2 2 ; ; PxxM −=)( EI LPU AC 3 32 = (1,0) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica d) Energia de deformação total: ⇒+= DBAC UUU EA LP EI LPU 232 2 3 += (0,5) e) Trabalho realizado pela força aplicada: 2 δPW = (0,5) f) Princípio do Trabalho e da Energia ⇒+= EA LP EI LPP 232 2 32 δ EA PL EI PL 4 3 2 3 +=δ (1,0) ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 000 0016 0164 000 00 0 3 32 DT DTDF xy xy π ππ τ τσ x T (0,5) (d) As tensões principais e as direções a elas correspondentes: Convencionando as direções principais (1,2) no plano (x,y). 2 2 2,1 22 xy yxyx τ σσσσ σ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ± + = ⇒ ( ) ( )232222,1 1622 DTDFDF πππσ +±= ⇒ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= 22 2 22,1 64112 DF T D F π σ (0,3) x xy x xy σ τ σσ τ θ 2 2tan 1 −=− −= ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= − x xy σ τ θ 2 tan 2 1 1 1 ⇒ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−= − FD T8tan 2 1 1 1θ e 212 πθθ += (0,2) (e) A máxima tensão de cisalhamento e a direção correspondente, medida angularmente a partir do eixo x; 22 2 2 21 max 6412 2 DF T D F += − = π σσ τ (0,3) 41max πθθτ ±= (0,2) (f) As deformações normais nas direções das tensões principais: Com ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +±= 22 2 22,1 64112 DF T D F π σ e 03 =σ ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(1)(1 1)(1 1)(1 212133 121322 213211 σσνσσνσε νσσσσνσε νσσσσνσε +−=+−= −=+−= −=+−= EE EE EE ⇒ ED F DF T ED F DF T ED F ν π ε νν π ε νν π ε 23 22 2 22 22 2 21 4 641)1()1( 2 14 641)1()1( 2 14 −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++−−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++−= (0,5) (0,5) Alternativamente (1,0), as deformações nas direções (x,y,z) são dadas por ( ) ( ) ( ) xxyxzz xxxzyy xzyxx D F EEE D F EEE D F EEE νε π νσνσσνσε νε π νσνσσνσε π σσσνσε −=−=−=+−= −=−=−=+−= ==+−= 2 2 2 4)(1 4)(1 411)(1 (0,3) e as distorções correspondentes a estas direções por: 0 0 4)1(216)1(2)1(2 3 = = += + = + == yz xz xxy xy xy FD T D T EEG γ γ εν π ντν τ γ (0,2) de tal forma que o tensor de deformações, nas direções (x,y,z) fica: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −+ + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ν νβν βν π ε εγ γε 00 0)1( 0)1(1 4 00 021 021 2DE F z yxy xyx E com FDT4=β e que leva ao seguinte problema de autovalor: 0 00 0)1( 0)1(1 det = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−+ +− λν λνβν βνλ , (0,3) com correspondente equação característica: ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica ( ) FDT4 ;0)()1())(1( 22 ==++++− βλνβνλνλ que pode ser re-escrita como: [ ] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= =++−−− νλ βννλνλ ou 0)1()1( 222 com raízes: ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ++±− = ν βνν λ 21)1()1( 2 1 que, equivalentemente, levam às mesmas deformações principais calculadas anteriormente: ED F DF T ED F DF T ED F ν π ε νν π ε νν π ε 23 22 2 22 22 2 21 4 641)1()1( 2 14 641)1()1( 2 14 −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++−−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++−= (0,2) (II) Para um diâmetro D=80mm, uma carga máxima de tração de 2000kN, e uma torção residual de 5kNm, determinar o coeficiente (ou fator) de segurança S da peça, segundo os seguintes critérios de resistência (faça considerações acerca da aplicabilidade dos diferentes critérios): (g) Critério de Tresca ou de Máxima Tensão de Cisalhamento: ; TS Pelo critério de Tresca, apropriado para materiais dúcteis, devemos comparar a máxima tensão de cisalhamento com aquela que ocorreria quando do escoamento em estado uniaxial de tensão: ( ) MPa450 2max == ESCT σ τ . O fator de segurança é então: ( ) maxmax ττ TTS = . (0,3) Como 22 2 2max 6412 DF T D F += π τ , teremos, para o carregamento dado e D=80mm: