Apostila de Elementos Finitos

Apostila de Elementos Finitos

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Capítulo I

3.2. MØtodo das Diferenças Finitas

Este item 3.2 foi extraído da referŒncia [5] Carnahan 1969, sofrendo modificaçıes.

Em todo o desenvolvimento da anÆlise numØrica, utiliza-se as diferenças finitas, com um roteiro a ser seguido numa seqüŒncia lógica. Partindo da definiçªo de operadores numØricos de diferenças finitas (∆, ∇, µδ e δ), introduz-se o conceito de interpolaçªo atravØs das fórmulas de Gregory-Newton e Stirling, que utilizam estes operadores. Em seguida, introduz-se a derivaçªo numØrica e a integraçªo numØrica (Quadratura) por meio da derivaçªo e integraçªo da fórmula de Gregory-Newton, chegando às fórmulas de Newton-Cotes.

Seguindo essa tØcnica, praticamente todos os tópicos da anÆlise numØrica podem ser introduzidos por meio das diferenças finitas, e depois, eles sªo desenvolvidos para alØm das diferenças finitas. No estudo de anÆlise numØrica de equaçıes diferenciais nªo Ø diferente. Sugere-se uma introduçªo por meio dos mØtodos das diferenças finitas (do inglŒs: Finite Difference Methods ou FDM), e posteriormente, o desenvolvimento do assunto para alØm das diferenças finitas, como por exemplo, a introduçªo do MØtodo dos Elementos Finitos. Com isso, segue-se um desenvolvimento didÆtico muito próximo do desenvolvimento histórico, uma vez que, conforme foi citado no item 1.2 da Introduçªo, o mØtodo das diferenças finitas surgiu antes do MØtodo dos Elementos Finitos.

O mØtodo das diferenças finitas pode ser utilizado para resolver problemas de valor de contorno ou valor inicial, envolvendo equaçıes diferenciais ordinÆrias ou parciais. Assim, este mØtodo pode ser usado para solucionar as equaçıes de modelos a parâmetros concentrados ou distribuídos. A tØcnica consiste em substituir cada derivada ou diferencial das equaçıes diferenciais por aproximaçªo de diferenças finitas ou acrØscimo finitos das variÆveis, como mostra as equaçªo 3.1 abaixo:

yx u yxuxuxuxuxuxux xydx ydxydx ydxydx ydyxdx

(3.1)

O MØtodo de Elementos Finitos Ø bem mais recente que o anterior, sendo mais genØrico, e podendo ser aplicado a complexas estruturas geomØtricas e a ambientes com vÆrias mudanças de meio. Ele possui uma formulaçªo matemÆtica mais trabalhada, sendo, portanto, um conjunto de tØcnicas e mØtodos que se baseia na discretizaçªo do problema em elementos pequenos e na aproximaçªo de cada elemento por um conjunto de polinômios.

Considere, primeiramente, o problema formado por equaçıes diferenciais ordinÆrias (EDO s). Existem dois tipos. Um deles, Ø o problema de valor inicial, que assume a forma geral abaixo:

t=t0, y=yo, y·=y·0(3.2)

F[ t, y(t), y·(t) ] =0, t>0

Onde, o t Ø a variÆvel independente, usualmente o tempo; y Ø um vetor de variÆveis dependentes; y· Ø a sua derivada em relaçªo a t; F Ø um vetor de funçıes de t, y, e y·; e, finalmente, yo e y·o sªo vetores que representam as condiçıes iniciais do problema. Notese, que o domínio da variÆvel t Ø semi-infinito, e que a soluçªo deste problema deverÆ ser obtida marchando-se no tempo, a partir da condiçªo inicial. Caso exista, pelo menos, uma funçªo dentro do vetor F que nªo dependa de nenhum elemento do vetor y·, a equaçªo representa um sistema de equaçıes algØbrico-diferenciais (sistema de EAD). [68]

O outro tipo de problema Ø o do valor de contorno, que assume a seguinte forma geral para sistemas de segunda ordem:

x=xo, go(x,y,y·)=0(3.3)

F[ x, y(x), y·(x), y··(x) ] = 0, xo<x<xf x=xf, gf(x,y,y·)=0

Onde, o x Ø a variÆvel independente, usualmente, uma coordenada espacial; y Ø o vetor de variÆveis dependentes; y· e y·· sªo as suas derivadas: primeira e segunda, respectivamente, em relaçªo a x; F Ø um vetor de funçıes; e go e gf sªo vetores de funçıes que representam as condiçıes de contorno nos limites do domínio do sistema de equaçıes.

O objetivo do MØtodo das Diferenças Finitas Ø transformar um problema composto por equaçıes diferenciais em um problema formado por equaçıes algØbricas. O primeiro passo, nesta direçªo, Ø a chamada discretizaçªo do domínio da variÆvel independente. A discretizaçªo consiste em dividir o domínio de cÆlculo em um certo nœmero de subdomínios. Para um domínio semi-infinito, existem infinitos subdomínios. Quando o domínio Ø finito, o nœmero de subdomínios tambØm o Ø, e digamos que seja J. Em qualquer caso, estipulam-se os pontos que delimitam os subdomínios, que, no caso de um domínio finito, sªo iguais a (J+1), em nœmero.

Note-se, que os subdomínios podem ter o mesmo tamanho, gerando uma malha uniforme, ou entªo, formando uma malha nªo-uniforme. Embora as discretizaçıes baseadas no primeiro tipo de malha sejam mais simples, existem vantagens numØricas, em muitos casos, no uso de malhas nªo-uniformes.

O segundo passo Ø gerar aproximaçıes para as derivadas das variÆveis dependentes que aparecem nas diferenciais, nos pontos discretos, xj ou tj, isto Ø, obter y·j e y··j, utilizando apenas os valores de y nestes pontos discretos: yj. Finalmente, aplicamse as equaçıes diferenciais ordinÆrias aos pontos discretos xj, substituindo as aproximaçıes obtidas para y·j e y··j. Isto gera sistemas de equaçıes algØbricas na forma:

f( yj ) =0,(3.4)

Onde, o f Ø um vetor de equaçıes algØbricas que depende dos valores desconhecidos yj, sendo que esta dependŒncia varia conforme o tipo de problema, de contorno ou inicial. Este sistema de equaçıes, quer seja ele linear ou nªo linear, pode ter a sua soluçªo obtida. Note-se, que a soluçªo assim obtida para o problema consistirÆ em uma seqüŒncia de pontos, xj ou tj, onde se conhecem os valores de y, yj.

Ficam claras, agora, duas características do MØtodo de Diferenças Finitas: a aplicaçªo das equaçıes diferenciais Ø local, isto Ø, em cada ponto, xj ou tj, e a soluçªo obtida Ø composta por um conjunto enumerÆvel de pontos onde os valores da soluçªo sªo conhecidos.

Um dos passo necessÆrios na soluçªo de equaçıes diferenciais por diferenças finitas Ø a aproximaçªo das derivadas presentes nestas equaçıes, aplicadas a um dado ponto arbitrÆrio, xj ou tj. Uma maneira simples de se obter estas aproximaçıes, Ø por meio do uso da expansªo de uma funçªo em sØrie de Taylor, em torno de um dado ponto. Seja xj este ponto base, podemos escrever o valor de y( xj+1 )= yj+1, pela seguinte sØrie infinita:

++ j j xxyxxyxxy xy (3.5)

Enquanto que o valor de y(xj-1)=yj-1 Ø dado por:

−− j j xxyxxyxxy xy(3.6)

Considere, agora, a necessidade de se aproximar o valor de y·j , o que serÆ feito, utilizando-se as expansıes acima. Estas equaçıes podem ser escritas de forma mais compacta por meio da definiçªo do comprimento do domínio j : hj=xj-xj-1.

Dessa forma, multiplicando a segunda expansªo (3.6) por hj+12, e diminuindo da primeira expansªo (3.5) multiplicada por hj2, obtemos a seguinte expressªo, na qual y··j foi eliminado:

yhyhhyh y

−+++(3.7)

Nela, o O(z) indica que a aproximaçªo tem ordem de grandeza de z, isto Ø, o valor exato da derivada da funçªo, no ponto considerado, Ø obtido, a partir da expressªo aproximada, no limite, quando z→0. Esta ordem de grandeza Ø oriunda do termo de menor ordem (ou primeiro termo) entre aqueles que envolvem as derivadas de maior ordem. O conjunto deste termos, ou a sua forma simplificada de representaçªo por ordem de grandeza, Ø denominado de erro de truncamento.

Para uma malha uniforme hj=h, qualquer que seja j, a aproximaçªo dada fica com a simplificaçªo:

y j +−

−+(3.8)

Ela Ø chamada aproximaçªo por diferença central da derivada primeira de y. Podemos, ainda, usar as expansıes, para obter mais duas aproximaçıes para a derivada primeira de y, que para uma malha uniforme sªo dadas por:

=′−(3.9)

y j +−

Ela Ø obtida, a partir da segunda expansªo (3.6), sendo chamada de aproximaçªo por diferença descendente (backward differentiation):

=′+(3.10)

y j +−

Ela Ø obtida, a partir da primeira expansªo (3.5), sendo chamada de aproximaçªo por diferença ascendente (forward differentiation).

Para uma aproximaçªo da derivada segunda, pode-se somar as duas expansıes (3.5) e (3.6), obtendo-se:

h y j +

−+(3.1)

Ela Ø chamada aproximaçªo por diferenças centrais da derivada segunda de y.

A equaçªo anterior envolve trŒs valores funcionais, para descrever uma aproximaçªo da derivada segunda da funçªo, o que representa o mínimo necessÆrio para isto, jÆ que a derivada primeira tem que ser eliminada da forma final, e, portanto, pelo menos duas expansıes em sØrie de Taylor tŒm que ser consideradas.

Nada impede, que seja utilizada uma outra expansªo em sØrie de Taylor, para melhorar a ordem de aproximaçªo das equaçıes acima. Por exemplo, poder-se-ia utilizar a expansªo para o valor funcional yj-2 ( ou yj+2 ), para eliminar o primeiro termo do erro de truncamento da equaçªo, obtendo-se, assim, uma aproximaçªo de ordem h3. Entretanto, aproximaçıes envolvendo mais de trŒs valores funcionais, em pontos adjacentes, apresentam uma maior dificuldade de soluçªo das equaçıes algØbricas obtidas pelo processo de discretizaçªo.

y··+y·-2y=0 com x=0, y(0)=0 e para x=1, y(1)=1(3.12)

Como exemplo, considere o problema de valor de contorno abaixo:

Seja o domínio discretizado por uma malha uniforme com J, e subdomínios de comprimento h e com xo=0 e xf=1. Aplicando a equaçªo diferencial acima, nos pontos onde nªo se conhecem os valores funcionais de y, temos:

y··j+y·j-2yj=0, j=1,2,3,4J-1 (3.13)

Utilizando as aproximaçıes das derivadas primeiras e segunda por diferenças centrais e arrajandos os termos, tem-se:

(2+h) yj+1 - 4(h2+1) yj + (2-h) yj-1 =0, j=1,2,3,4,,J-1 (3.15)

ou e yo=0 e yJ=1

Logo, caímos em um sistema linear de equaçıes algØbricas. As condiçıes de contorno do problema dado acima sªo chamadas de primeiro tipo, isto Ø, definem o valor da variÆvel no contorno, sendo facilmente incorporadas ao sistema algØbrico das equaçıes discretizadas. Diversos outros tipos de condiçıes de contorno sªo possíveis, sendo que, a sua utilizaçªo no sistema de equaçıes algØbricas discretizadas, torna-se um pouco mais elaborada.

Em geral, a condiçªo de contorno pode ser nªo-linear, na qual go e gt sªo funçıes arbitrÆrias de x, y e y·. Entretanto, sªo trŒs, os tipos existentes de condiçıes de contorno lineares.

Diz-se, que a condiçªo de contorno Ø do primeiro tipo, quando o valor da variÆvel dependente Ø dado no contorno, sendo facilmente utilizada nas equaçıes discretizadas. O problema acima serve de exemplo, e a forma geral Ø dada por:

x=xc, y=yc(3.16)

Quando a condiçªo de contorno Ø de segundo tipo, o valor da derivada da variÆvel dependente Ø dado no contorno, isto Ø:

x=xc, y·=y·c(3.17)

Esta condiçªo de contorno tem que ser discretizada, para ser combinada com o sistema algØbrico discretizado, fazendo:

h y j j 2

=′(3.18)
x=xc, ay·+by=c(3.19)

A condiçªo de contorno Ø dita de terceiro tipo, quando tem a seguinte forma geral:

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