Baixe Guia de Fisica I e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 2 M¶odulo 2: As Leis do Movimento 1. INTRODUC» ~AO Neste m¶odulo, estudaremos os princ¶³pios da dinâmica | a descri»c~ao do movi- mento de um corpo a partir de suas intera»c~oes. Esta discuss~ao tem por base as Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»ca, massa, referenciais inerciais, e faremos aplica»c~oes. Leituras indispens¶aveis Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 4 (se»c~oes 4.1 a 4.5) e 5 (se»c~oes 5.1 a 5.3), e as se»c~oes 13.1 e 13.2 do cap¶³tulo 13 do livro texto, de H. M. Nussenzveig. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao { da lei da in¶ercia e o conceito de referenciais inerciais (se»c~oes 4.1 e 4.2); { do conceito de for»ca e massa, e a segunda lei de Newton (se»c~oes 4.3 e 4.4); { da terceira lei de Newton (se»c~ao 4.5); { das intera»c~oes fundamentais (se»c~ao 5.1); { e dos exemplos 1 a 6 da se»c~ao 4.5 do livro texto (p¶ag. 78 a 80). Atividade 2 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Dinâmica. Atividades extras 1 1. Leia todo o cap¶³tulo 4 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6. F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 2 3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao sobre as intera»c~oes fundamentais e as for»cas de contato (se- »c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»c~ao 5.3. Atividade 4 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 8 e 14 da Lista 6. Atividades extras 2 1. Leia todo o cap¶³tulo 5. 2. Releia o cap¶³tulo 4. 3. Resolva todos os exerc¶³cios j¶a feitos novamente. 4. Resolva os exerc¶³cios 16 a 21 da Lista 6. Atividade 5 Discuss~ao da cinem¶atica da rota»c~ao (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) e o exemplo 4 da se»c~ao 5.3 do livro texto. Atividade 6 Resolu»c~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Dinâ- mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais). Atividades extras 3 1. Leia as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto. 2. Releia o cap¶³tulo 5. 3. Resolva os exerc¶³cios 18 a 24 do cap¶³tulo 3 do livro texto. 4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶as no Guia de Es- tudo 1, das listas 1, 2 e 3. Atividade 7 Resolu»c~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5 3. O produto escalar de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois vetores ~a e ~b um n¶umero real de valor igual a ab cos µ , onde µ ¶e o ângulo entre ~a e ~b , medido de ~a para ~b . Usa-se a nota»c~ao ² para representar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que ~a ²~b = a b cos µ = a ba ; onde ~ba ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao de¯nida por ~a . ab r a r b r θ Demonstre que (a) ~a ²~a = a2. (b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ²~b = 0 , ~a?~b. (c) î ² ^́= 0 ; ³̂ ² ³̂ = 1 ; ^́² ^́ = 1 . (d) ax = ~a ² ³̂ (e) ~a ²~b = ~b ²~a (f) ~a ² ³ ~b+ ~c ´ = ~a ²~b+ ~a ² ~c. (g) Se ~a = ax ³̂ + ay ^́+ az k̂ e ~b = bx ³̂ + by ^́+ bz k̂ , ent~ao ~a ²~b = ax bx + ay by + az bz 4. Para ~a = ³̂¡ 2^́, ~b = 2 ³̂ + 3^́ e ~c = ¡ ³̂ + ^́ calcule (a) ~a +~b (b) ¡ 3~c (c) 2~a ¡~b (d) ~a ² ³ ~b+ ~c ´ (e) ~b ² (~a¡ 2~c) F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6 5. Um bloco de massa m est¶a apoiado e em repouso sobre um plano in- clinado de um ângulo ® em rela»c~ao µa horizontal. x y (a) Isole o bloco e indique todas as for»cas que atuam sobre ele. (b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente y de cada uma das for»cas atuando sobre o corpo. (c) Calcule o m¶odulo de cada uma das for»cas e o ângulo entre cada uma delas e o eixo x. 6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»cas constantes, ex- pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como ~F1 = ³̂ + 2^́¡ 3 k̂ ~F2 = ^́¡ k̂ ~F3 = ¡ î +^́ O observador que descreve este sistema ¶e um observador inercial. (a) Calcule a for»ca resultante sobre este corpo. (b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»cas e da for»ca resultante. (c) Calcule o ângulo que a for»ca ~F1 faz com o eixo x. (d) Calcule o ângulo entre as dire»c~oes das for»cas ~F2 e ~F3. (e) Obtenha o ângulo que a for»ca resultante faz com o eixo z. (f) Obtenha o vetor unit¶ario da dire»c~ao de¯nida pela for»ca ~F1. (g) Qual o vetor acelera»c~ao deste corpo? (h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v± = 12^́¡16 k̂, e sua posi»c~ao em rela»c~ao a um ponto ¯xo para o observador vale vecr± = 0, qual a trajet¶oria que o corpo descreve? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7 7. Considere o vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 0; 5 kg medido por um observador ¯xo a um sistema inercial: ~r(t) = 5 t2 ³̂ + (10 t¡ 4) ^́+ 6 exp (¡2 t) k̂. (a) Obtenha o valor do vetor posi»c~ao desta part¶³cula nos instantes de tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s. (b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta part¶³cula como fun»c~ao do tempo, ~v(t). (c) Obtenha a express~ao que descreve a acelera»c~ao desta part¶³cula como fun»c~ao do tempo. (d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»c~ao da part¶³cula nos instantes t = 1 s e t = 4 s. (e) Calcule a for»ca resultante sobre a part¶³cula no instante t = 4 s. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10 lisa, e s~ao puxados para a direita por uma for»ca horizontal de m¶odulo T3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule (a) a acelera»c~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da ¯gura. 1m 2m 3m 1T 2 T 3T r 8Ex. 9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶a parado sobre o ch~ao. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre ele e o ch~ao ¶e 0,68 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,56. Em quatro diferentes tentativas para movê-lo, foi empurrado com for»cas horizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine, para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶odulo da for»ca de atrito sobre ele. O arquivo est¶a sempre parado antes de cada tentativa. 10. Um bloco de massa 2 kg est¶a apoiado sobre uma mesa plana e lisa. Você o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo 5,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa? 10Ex. θ 11Ex. 11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobre a mesa plana e lisa. Você passa a empurr¶a-lo com uma for»ca de mesmo m¶odulo 5,0 N, mas agora fazendo um ângulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? 12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶e apoiado sobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre o bloco e a superf¶³cie vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶etico vale 0,20. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11 (a) Você o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo 4,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa? (b) Você agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma for»ca horizontal de m¶odulo 8,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? (c) Você passa a empurrar o bloco com uma for»ca de m¶odulo 8,0 N que faz um ângulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco, agora? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie? 13. Um preso num c¶arcere decide escapar deslizando por uma corda forne- cida por um c¶umplice. Tem como companheiro de cela um macaco, de massa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situado na parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende um pouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de 60 kg. O gancho pode suportar uma tra»c~ao de 400 N sem quebrar. A janela est¶a a 15 m do n¶³vel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolve veri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Ao descer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula. Qual a velocidade m¶³nima com que o macaco e o preso dever~ao atingir o solo de modo a n~ao quebrar o gancho? 14. Um bloco de massa m ¶e colocado sobre outro bloco de massa M , e o conjunto ¶e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior, aplica-se uma for»ca horizontal ~F de m¶odulo F . Observa-se que os dois blocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Os coe¯cientes de atrito est¶atico e cin¶etico entre os blocos valem respec- tivamente ¹E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶³cie de apoio ¶e desprez¶³vel. Qual o valor m¶aximo FMAX que a for»ca F pode ter para que o bloco m n~ao se mova em rela»c~ao ao bloco M? Qual o valor, quando F = FMAX , da for»ca de contato entre os dois blocos? m M F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12 15. Um bloco de 4,0 kg ¶e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Para fazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶e mantido ¯xo, uma for»ca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima. O conjunto de blocos ¶e agora colocado sobre uma mesa horizontal sem atrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»ca horizontal F m¶axima aplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b) a acelera»c~ao resultante dos blocos. kg04, kg05, 16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao li- gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o têm massas desprez¶³veis, e n~ao h¶a atrito entre A e a superf¶³cie horizontal. (a) Calcule a acelera»c~ao do sistema e a for»ca F exercida pelo ¯o em A. (b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria ter a massa de B para que a for»ca F 0 atuando sobre A seja o dobro da for»ca F calculada no item (a)? (c) Comente o resultado do item (b) para os casos em que mA = mB e mA < mB . A B 16Ex. 17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶a sobre um plano liso com in- clina»c~ao de 30±, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprez¶³veis. Na outra extremidade da corda est¶a colo- cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca pendurado verticalmente (veja ¯gura). Quais s~ao (a) os m¶odulos das acelera»c~oes de cada bloco e (b) o sentido da acelera»c~ao de m2? (c) Qual a tens~ao na corda? 1m 2m 10Ex. 18. Dois blocos s~ao ligados atrav¶es de uma polia, como mostrado na ¯gura. A massa do bloco A ¶e de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶etico ¶e 0,20. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15 28. Uma crian»ca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de um carrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Qual a velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deve ser o coe¯ciente de atrito est¶atico entre a cesta e o carrossel, para que a cesta n~ao deslize sobre este? 29. Um pêndulo cônico ¶e formado por massa de 50 g presa por um cord~ao de 1,2 m. A massa gira formando um c¶³rculo horizontal de 25 cm de raio. (a) Qual ¶e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»c~ao? (c) Qual a tens~ao no cord~ao? 30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante, tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 7 Cinem¶atica do Movimento Circular 1. Um prato girat¶orio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»c~oes por minuto. Qual a velocidade angular de rota»c~ao deste disco? 2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta a cada 2 segundos. Calcule o m¶odulo da velocidade do objeto se ele estiver a uma distância (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O. 3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em um ponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»c~ao vale 0; 1 ¼ m/s. Em t = 2 s, sua velocidade ¶e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual a acelera»c~ao angular m¶edia deste corpo? (b) Supondo que a velocidade angular est¶a aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶a necess¶ario para que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s? 4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma distância ` = 10 cm em torno de um ponto O com per¶³odo de rota»c~ao ¯xo e igual a 4 s. Qual a for»ca resultante agindo sobre este objeto? 5. O objeto do exerc¶³cio anterior num certo instante passa a descrever um movimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. A acelera»c~ao angular vale 0; 1¼ rad/s2. Qual a for»ca resultante agindo sobre o objeto? 6. Na lista de exerc¶³cios 2, sobre Vetores, você demonstrou no exerc¶³cio 9 uma rela»c~ao entre os vetores unit¶arios na representa»c~ao polar e os vetores unit¶arios na representa»c~ao cartesiana, r̂ = cos µ ³̂ + sen µ ^́ µ̂ = ¡ sen µ ³̂ + cos µ^́ F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17 Observando que a dire»c~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule d r̂ d t e d µ̂ dt A partir destas express~oes, e usando que o movimento ¶e circular (r ¶e constante) ~r = r r̂ demonstre que ~v = ! r µ̂ ~a = ¡!2 r r̂ + ® r µ̂ onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 9 Referenciais N~ao Inerciais 1. Um homem entra numa farm¶acia e pesa-se em uma balan»ca calibrada em Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevador que possui uma balan»ca tamb¶em calibrada em Newtons. O que ler¶a se repetir a pesagem dentro do elevador (a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»c~ao cons- tante de 2 m/s2? (b) subindo entre o terceiro e o d¶ecimo andares com velocidade cons- tante de 7 m/s? (c) subindo entre o d¶ecimo e o d¶ecimo segundo andares com desace- lera»c~ao de 2 m/s2? (d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerando µa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constante de 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µa raz~ao de 2 m/s2? 2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos- sui acelera»c~ao ~a e est¶a num local do espa»co onde n~ao existe campo gravitacional algum. O alvo est¶a na mesma altura das m~aos do ob- servador, e a uma distância L deste. A velocidade inicial do proj¶etil tem m¶odulo v0. Fa»ca um desenho mostrando a trajet¶oria seguida pelo proj¶etil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dados do problema, ache o ângulo que o proj¶etil deve fazer com a horizontal ao ser arremessado para que ele atinja o alvo. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21 tt 6~a ¾ -L 3. Um garoto est¶a sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre o solo plano com acelera»c~ao ~a na dire»c~ao de seu movimento. Com que ângulo com a vertical o garoto deve lan»car uma bola de massa m para que, quando a bola cair, ele possa apanh¶a-la sem se mover? 4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata e deixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durante a corrida para al»car vôo, que dura 30 s, a gravata faz um ângulo de 150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, e quanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶e horizontal, e que a acelera»c~ao do motor ¶e constante. 5. Um objeto de massa m est¶a preso por uma corda de massa desprez¶³vel ao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao ¶e colocado em movimento, com uma acelera»c~ao ~a horizontal de m¶odulo constante, para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na ¯gura). O ângulo que o ¯o faz com o teto ¶e µ. O atrito entre o objeto e a parede ¶e desprez¶³vel. -~a ¶ ¶ ¶ ¶u µ (a) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um observador ¯xo numa esta»c~ao, (b) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um ob- servador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas rea»c~oes. F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22 (c) Calcule o valor da for»ca de contato entre o objeto e a parede do vag~ao. 6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶³cie sem atrito inclinada de 300 em rela»c~ao µa horizontal. Suponha que esta superf¶³cie seja acelerada para a esquerda com acelera»c~ao ~a constante. A magnitude da acelera»c~ao ¶e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenhe um diagrama que mostre as for»cas que atuam sobre o objeto, em um sistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»c~ao para que o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do ponto de vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o plano inclinado. © © © © © © © © © © © © © © © 300 ¾ ~a © ©©AA © ©© Am 7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas de mesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidades opostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶e girado com velocidade angular - num c¶³rculo vertical em torno do ponto m¶edio da barra, O. Cada cabine possui uma balan»ca, e os astronautas se pesam sobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver- tical, (a) fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre cada um dos astronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este item para um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me- dida da balan»ca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Que velocidade de rota»c~ao ¶e necess¶aria para produzir a sensa»c~ao de impon- derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»c~ao, qual a leitura feita na balan»ca da outra cabine? F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25 Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor- responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada. Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C. A B 1d r C 2d r d r A opera»c~ao de adi»c~ao de dois vetores ¶e de¯nida de forma an¶aloga µa soma de dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outros vetores ~a e~b, ~c = ~a+~b, ¶e o vetor correspondente ao segmento de reta orientado obtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma tem este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que pode ser formado com lados ~a e ~b. a r b r bac rrr += A adi»c~ao de vetores ¶e comutativa ~a +~b = ~b+ ~a e ¶e distributiva: ~a + ³ ~b +~c ´ = ³ ~a +~b ´ + ~c o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente. Um deslocamento ~d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»c~ao, a dire»c~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a mesma dire»c~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento ~d por um n¶umero real ®, de forma tal que a distância percorrida seja ® d. Se ® ¶e positivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B at¶e A, o deslocamento pode ser representado por um vetor com a mesma dire»c~ao, mesmo m¶odulo e sentido oposto, ¡ ~d. A B d r d r 2d r − F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26 A opera»c~ao de multiplica»c~ao de um vetor ~b por um escalar ® (um n¶umero real) ¶e de¯nida como sendo uma opera»c~ao cujo resultado ¶e um vetor ®~b { cujo m¶odulo ¶e dado por j®j b, { cuja dire»c~ao ¶e a mesma dire»c~ao do vetor ~b, { e cujo sentido ¶e o de ~b no caso em que ® > 0, e contr¶ario se ® < 0. Desta maneira, a diferen»ca de dois vetores ¶e a soma de dois vetores, o primeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶umero real ¡1: ~a ¡~b = ~a+ ³ ¡~b ´ : ar b r bac rrr +=bad rrr −= Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m) na dire»c~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores que têm a dire»c~ao AB. Da mesma maneira que ¶e necess¶aria uma unidade de medida, um padr~ao, para a descri»c~ao de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre- cisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi¯ca»c~ao de um vetor exige m¶odulo, dire»c~ao e sentido; um padr~ao para descrev̂e-lo n~ao pode ser um simples n¶umero, tem que ter tamb¶em dire»c~ao e sentido. Ou seja, ¶e tamb¶em um vetor. Um vetor cujo m¶odulo vale 1 unidade ¶e chamado de vetor unit¶ario. A sua representa»c~ao ¶e feita usuamente por um \chap¶eu" (acento circun°exo) sobre uma letra: â. Da opera»c~ao de multiplica»c~ao por escalar, podemos escrever imediatamente ~d = a d̂ : A B d r d̂ E para obter-se o vetor unit¶ario associado a um vetor qualquer basta divid¶³-lo pelo seu m¶odulo: d̂ = 1 d ~d : F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27 Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor- denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»co, s~ao necess¶arias três coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por- tanto, precisamos de suas três componentes ao longo de três eixos { ou de tr̂es unit¶arios de dire»c~oes independentes. O sistema de tr̂es vetores unit¶arios mais comum ¶e um sistema constitu¶³do de tr̂es unit¶arios mutuamente perpen- diculares, com a conven»c~ao de ordem indicada na ¯gura abaixo. î j ) k̂ x y z Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento atrav¶es das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»c~ao ¯ca como na ¯gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixos x e y: A = (xA; yA). y xO A Ax Ay )y,x( AA=A O vetor ~OA = ~d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»c~ao ¯ca ~rA = ~xA + ~yA como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶arios das dire»c~oes x e y como sendo ³̂ e ^́, temos ~rA = xA ³̂ + yA ^́ y xO A ĵyîxr AAA += r Ax Ay )y,x( AA=A O vetor componente de ~rA na dire»c~ao x, ~xA, tem m¶odulo igual a jxAj, pois xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30 Da de¯ni»c~ao do produto escalar, tamb¶em, pode-se demonstrar que ax = ~a ¢ ³̂ ; ay = ~a ¢ ^́ ; az = ~a ¢ k̂ cos µ = ~a ¢~b a b O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em F¶³sica com a de¯ni»c~ao de trabalho realizado por uma for»ca ~F num deslocamento: WFAB = Z ~F ¢ d~r : A outra opera»c~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois vetores ~a e ~b um terceiro vetor c ~c = ~a £~b com o m¶odulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶e o (menor) ângulo entre ~a e ~b, com dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em ~a e ~b, e sentido dado pela chamada \regra da m~ao direita". Esta de¯ni»c~ao est¶a ilustrada na ¯gura a seguir. ar b r cr bac rrr ×= ar b r θsenb c r áreac = O produto vetorial de dois vetores n~ao ¶e comutativo { a ordem dos fatores troca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶em podem ser veri¯cadas facilmente da de¯ni»c~ao, ~a £~b = ¡~b£ ~a ~a £ ³ ~b+ ~c ´ = ~a £~b+ ~a£ ~c ~a£ ³ ®~b ´ = ®~a £~b a~a = 0 O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶e nulo. F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31 Em componentes, ~a £~b = (ay bz ¡ az by) ³̂ + (az bx¡ ax bz) ^́+ (ax by ¡ ay bx) k̂ O produto vetorial aparece em F¶³sica na de¯ni»c~ao de torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto, e momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao a um ponto: ¿ = ~r £ ~F ~LO = ~r £ ~p =m~r £ ~v F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 6 { Respostas 1. Peso (rea»c~ao sobre a Terra) e sustenta»c~ao (rea»c~ao sobre a ponta do cabo). Quando a ma»c~a est¶a caindo, atua apenas o peso. 2. No sentido do movimento do corpo. 3. No arm¶ario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem: peso, normal, atrito, rea»c~ao ao empurr~ao. 4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg. 5. (Discutir com o professor.) 6. For»ca de contato entre os blocos: de m¶odulo F cos µm=(M +m), ho- rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»ca de contato entre m e a superf¶³cie: mg, vertical e para cima. For»ca de contato entre M e a superf¶³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima. 7. (a) 1; 1 N. 8. (a) 0; 97 m/s2; (b) T1 = 11; 6 N, T2 = 34; 8 N. 9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d) Sim, fat = 311 N. 10. a = 2; 5 m/s2, N = 20 N. 11. a = 2; 2 m/s2, N = 22 N. 12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2, N = 24 N, caso a for»ca tenha dire»c~ao e sentido como na ¯gura do exerc¶³cio 11. 13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s2. 14. FMAX = ¹E (M +m) g; f = ¹E mg e n = mg s~ao as duas componentes da for»ca de contato entre os dois blocos. F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 2 3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimento relativo e referencias n~ao inerciais). 4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao sobre o trabalho de uma for»ca constante de dire»c~ao qualquer, introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»c~ao 7.1); o trabalho de uma for»ca no caso do movimento geral (se»c~ao 7.2); as for»cas conservativas (se»c~ao 7.3); e potência (item a da se»c~ao 7.6). Atividade 4 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia. Atividades extras 2 1. Leia as se»c~oes 7.1 a 7.3 e item a da se»c~ao 7.6 do cap¶³tulo 7 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livro texto. Atividade 5 Discuss~ao sobre trabalho de uma for»ca vari¶avel (se»c~ao 6.3) e a con- serva»c~ao da energia mecânica no movimento unidimensional (se»c~ao 6.4). Atividade 6 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ou outros, a crit¶erio do professor). Atividades extras 3 1. Leia as se»c~oes 6.3 e 6.4 do cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto. F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 3 Atividade 7 Discuss~ao do movimento unidimensional sob a a»c~ao de for»cas conser- vativas. Atividade 8 Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia. Atividades extras 4 1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro. 2. Resolva os exerc¶³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho e energia. 3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 do livro texto. Atividade 9 Resolu»c~ao de exerc¶³cios e problemas escolhidos pelo professor. Atividades extras 5 Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»c~oes 7.4, 7.5 e 7.6b) do livro texto. 1. Termine a lista de exerc¶³cios de trabalho e energia. 2. Fa»ca toda a lista de exerc¶³cios 5, sobre movimento rela- tivo e referenciais n~ao inerciais. 3. Termine tudo que você deixou para tr¶as. 4. Dê uma lida na discuss~ao sobre for»cas n~ao-conservativas na se»c~ao 8.12 do livro de Alonso&Finn (você pode en- contr¶a-lo na biblioteca do Instituto de F¶³sica). 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Leia novamente os cap¶³tulos 6 e 7 do livro texto. 2. Fa»ca todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e 7) que você ainda n~ao fez. 3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»c~ao de energia. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) TEXTO COMPLEMENTAR 2 A Conservac»~ao da Energia Richard P. Feynman Texto extra¶³do do Cap¶³tulo 3 | Os grandes princ¶³pios de conserva»c~ao | do livro O que ¶e uma lei f¶³sica (The Character of Physical Law), de Richard P. Feynman, vers~ao baseada na tradu»c~ao portuguesa de Carlos Fiolhais, editora Gradiva. Quando estudamos as leis da f¶³sica, descobrimos que s~ao numerosas, com- plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»c~ao, da eletricidade e do magnetismo, das intera»c~oes nucleares, etc. Mas todas essas leis particulares parecem obedecer a grandes princ¶³pios gerais. Exemplos destes ¶ultimos s~ao os princ¶³pios de conserva»c~ao, algumas caracter¶³sticas de simetria, a forma geral dos princ¶³pios da mecânica quântica e, infeliz ou felizmente, o fato, j¶a referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶atica. Hoje quero falar-lhes dos princ¶³pios de conserva»c~ao. O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele uma lei de conserva»c~ao signi¯ca que existe um n¶umero que pode calcular num dado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~ao de mudan»cas, se voltar a repetir o c¶alculo, o resultado ¶e o mesmo. Esse n¶umero ¶e, pois, invariante. Um exemplo ¶e a conserva»c~ao de energia. Existe uma quantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶alculo ¶e sempre o mesmo, independentemente do que aconte»ca. Podemos agora ver como isso pode ser ¶util. Suponhamos que a f¶³sica, ou melhor a Natureza, ¶e um grande jogo de xadrez, com milh~oes de pe»cas, e que estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamente por grandes deuses, sendo dif¶³cil observ¶a-los e compreender as respectivas jo- gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶a algumas que n~ao exigem a observa»c~ao de todos os movimentos. Por exemplo, suponhamos que s¶o existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispo se move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar- mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 7 representando cubos. Do ponto de vista matem¶atico, trata-se de c¶alculos abstratos, uma vez que os cubos est~ao escondidos. Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que h¶a de seme- lhante e de diferente entre a conserva»c~ao dos cubos e a conserva»c~ao da energia. Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situa»c~oes a m~ae viu cubos. O termo \n¶umero de cubos vis¶³veis" nunca aparece. Ent~ao a m~ae estaria sempre a calcular termos como \cubos na caixa", \cubos na ¶agua", etc. O mesmo se passa com a energia: n~ao existem cubos, tanto quanto sabe- mos. Al¶em disso, ao contr¶ario do caso dos cubos, os n¶umeros que aparecem no caso da energia n~ao s~ao inteiros. Penso no que poderia acontecer µa pobre m~ae se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcular um outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28. ¶E o que acontece no caso da conserva»c~ao da energia. Descobrimos para a energia um esquema com uma s¶erie de regras. A partir de cada conjunto de regras podemos calcular um n¶umero para cada tipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os n¶umeros, referentes a todas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia, tanto quanto sabemos, n~ao existem unidades reais, n~ao h¶a pequenas esferas de energia. Trata-se de uma abstra»c~ao, puramente matem¶atica: h¶a apenas um n¶umero que n~ao varia, qualquer que seja o modo como ¶e calculado. N~ao consigo dar melhor interpreta»c~ao do que esta. Esta energia assume v¶arias formas, µa semelhan»ca dos cubos na caixa, na ¶agua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada \ energia cin¶etica", energia devida µa intera»c~ao gravitacional, chamada \energia potencial gravita- cional", energia t¶ermica, energia el¶etrica, energia da luz, energia el¶astica, por exemplo, numa mola, energia qu¶³mica, energia nuclear | e existe tamb¶em a energia que qualquer part¶³cula tem pelo simples fato de existir, energia que depende diretamente da respectiva massa. Esta ¶ultima deve-se a Einstein, como com certeza sabem. E = mc2 ¶e a famosa equa»c~ao que representa a lei de que estou a falar. Embora tenha mencionado um grande n¶umero de energias, gostaria de ex- plicar que n~ao somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, as rela»c~oes entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos \energia t¶ermica" ¶e, em grande medida, a energia cin¶etica do movimento das part¶³culas no interior de um objeto. A energia el¶astica e a energia qu¶³mica têm ambas a mesma origem, nomeadamente as for»cas interatômicas. Quando os ¶atomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, veri¯ca-se que h¶a uma F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 8 varia»c~ao de energia, implicando essa mudan»ca que algo mais tem de aconte- cer. Por exemplo, na combust~ao de qualquer coisa varia a energia qu¶³mica e ocorre um °uxo de calor: o balan»co de energia tem de estar certo. As energias el¶astica e qu¶³mica provêm de intera»c~oes entre os ¶atomos. Sabemos hoje que estas intera»c~oes s~ao uma combina»c~ao de duas coisas, a energia el¶etrica e a energia cin¶etica, embora esta ¶ultima seja descrita por uma f¶ormula quântica. A energia da luz n~ao ¶e mais do que energia el¶etrica, uma vez que a luz ¶e hoje interpretada como uma onda eletromagn¶etica. A energia nuclear n~ao pode ser representada em fun»c~ao das outras; de momento s¶o posso dizer que ¶e o re- sultado das for»cas nucleares. N~ao estou falando apenas da energia produzida. No n¶ucleo de urânio existe uma determinada quantidade de energia; quando se desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade to- tal de energia no mundo n~ao varia: no decurso da desintegra»c~ao liberta-se, portanto, calor e mat¶eria, a ¯m de que a energia seja conservada. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 9 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 10 Trabalho e Energia 1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~v0 constante sobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontos A e B distantes 3 m entre si. A B οοv r 1Ex. b h οοv r 2Ex. 2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~v0 constante sobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calcule o trabalho realizado por cada uma das for»cas que atuam no bloco desde o alto at¶e a base do plano inclinado. 3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe- ¯ciente de atrito cin¶etico entre a superf¶³cie da mesa e o bloco ¶e ¹c. Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade ¶e ~v0, e o ponto B, onde o bloco p¶ara, em fun»c~ao dos dados (m, ¹c, v0 e g). 4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. O coe¯ciente de atrito cin¶etico entre o bloco e a superf¶³cie ¶e ¹ = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele come»ca a subir o plano inclinado ¶e 8 m/s, e a acelera»c~ao da gravidade pode ser considerada como g = 10 m=s2. (a) Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam no bloco desde o in¶³cio da subida at¶e o ponto que o bloco p¶ara. (b) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica do bloco. (c) Calcule a distância que o bloco percorreu at¶e parar. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 12 (c) A corda ¶e interceptada por um pino, como mostra a ¯gura. Qual a distância b m¶³nima para que a massa realize um giro completo em torno do pino? l b 11Ex. 1m 2m h 12Ex. 12. Analise, usando considera»c~oes de energia, o movimento da m¶aquina de Atwood mostrada na ¯gura. A corda e a polia t̂em massas desprez¶³veis, a polia n~ao tem atrito, e m1 > m2. O sistema est¶a inicialmente em repouso. (a) Se você considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa como o n¶³vel de refer̂encia, qual a energia total do sistema? (b) O sistema ¶e liberado e m1 desce. Escreva uma express~ao para a energia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa. (c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade dos corpos pouco antes de m1 atingir a mesa. (d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi- dera»c~oes de energia para determinar a que distância m2 se eleva depois disso. 13. Uma bola de 0; 5 kg ¶e lan»cada verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda de energia devida µa resist̂encia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2. 14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a distância m¶³nima para parar um autom¶ovel se movendo numa superf¶³cie horizontal onde o coe¯ciente de atrito entre os pneus e a estrada ¶e ¹ e a velocidade inicial ¶e v0. (b) Qual seria a distância m¶³nima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e ¹ = 0; 8? F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 13 (c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um \tempo de rea»c~ao" tr entre o instante em que o motorista ¶e avisado para parar e o momento em que os freios s~ao aplicados. (d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de rea»c~ao do motorista for de 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s2. 15. Um modo simples de se medir o coe¯ciente de atrito cin¶etico entre duas superf¶³cies ¶e mostrado na ¯gura. Um bloco de massa m desliza numa superf¶³cie horizontal; a interface entre os dois ¶e a interface de atrito a ser estudada. Este bloco ¶e acelerado atrav¶es de uma distância h pela queda da massa m0. Depois da massa m0 bater no ch~ao, a massa m continua a se mover ao longo da superf¶³cie, at¶e parar, devido ao atrito, ap¶os percorrer uma distância adicional d. Usando a conserva»c~ao de energia, determine: (a) uma express~ao para o coe¯ciente de atrito cin¶etico em termos das grandezas mensur¶aveis m;m0; h e d; (b) o coe¯ciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg,m0 = 20; 0 kg, h = 0; 200 m e d = 0; 500 m. 'm m h h d 15 Ex. 1 2 3 4 5 6 7 x (m) -3 -2 -1 0 1 2 3 F (N ) Ex. 16 16. Uma for»ca F paralela ao eixo x varia conforme o gr¶a¯co da ¯gura. (a) Determine o trabalho realizado pela for»ca atuando sobre uma part¶³- cula que se move de x = 0 at¶e x = 3 m. (b) Calcule o trabalho realizado por F quando a part¶³cula passa de x = 3 m a x = 6 m. (c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 at¶e x = 6 m. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 14 17. O gr¶a¯co da ¯gura representa a varia»c~ao de uma for»ca unidimensional em fun»c~ao da distância µa origem do eixo x. Esta for»ca est¶a agindo sobre uma part¶³cula de massa 2 kg que est¶a com velocidade 3 m/s no ponto x = 0. Qual ¶e a sua velocidade em x = 4 m? 1 2 3 4 x (m )0 1 2 3 F (N ) Ex. 17 m 18 Ex. h 18. A mola representada na ¯gura tem a massa desprez¶³vel e sua constante el¶astica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m ¶e largado, num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondo desprez¶³veis os poss¶³veis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longo de um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola est¶a ¯xa, calcule o deslocamento m¶aximo do topo da mola. 19. Um bloco de massa m ¶e empurrado por uma for»ca ~Fext contra uma mola de constante el¶astica k. O bloco comprime a mola a uma velocidade constante, at¶e uma distância d em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio da mola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser considerada como sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar a energia cin¶etica do bloco no processo de compress~ao da mola. Logo que a mola ¯ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pela pista, como mostra a ¯gura. N~ao existe atrito em parte alguma. k m extF r d 19 Ex. B• • C h F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17 24. Uma part¶³cula desloca-se sobre um eixo x sob a»c~ao de uma for»ca resul- tante conservativa cuja energia potencial est¶a representada no gr¶a¯co. No instante inicial a part¶³cula estava no ponto x1, afastando-se da origem do eixo x. x7 x8 x9x4 x5x2 x3 x 6x1 x U(x) (a) Descreva o movimento da part¶³cula quando a energia mecânica total ¶e E1. Caso existam, quais s~ao os pontos de invers~ao neste movimento? (b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecânica total ¶e E2. (c) Idem para o caso em que a energia mecânica total ¶e E3. (d) Em que regi~oes do eixo x a for»ca resultante aponta para a origem do eixo x? Justi¯que todas as suas respostas. 25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x est¶a sujeito a uma for»ca dada por F (x) = ¡2x onde x ¶e dado em metros e F em Newtons. (a) Determine a energia potencial U em fun»c~ao de x, considerando U (0) = 0. (b) Trace o gr¶a¯co de U contra x. (c) Qual o ponto de equil¶³brio est¶avel e qual a energia do corpo nesta situa»c~ao? (d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~ao de x para a qual o corpo oscila? 26. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha reta em uma regi~ao em que a sua energia potencial varia como na ¯gura. F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18 N~ao h¶a for»cas dissipativas agindo. Quando x!1, a energia potencial se anula. x 2 x1 6 -5 x U(x ) (a) Sabendo-se que a part¶³cula se aproxima da origem (x = 0) e que sua energia cin¶etica quando est¶a muito longe dela ¶e de 10 J, determine o m¶odulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2. (b) Em que regi~ao a part¶³cula pode ser encontrada se sua energia total for de ¡3 J? (c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida µa part¶³cula para que ela se afaste inde¯nidamente da origem? 27. A energia potencial de uma part¶³cula de massa m em fun»c~ao de sua posi»c~ao x esta indicada na ¯gura. Calcule o per¶³odo de uma oscila»c~ao completa, caso a part¶³cula tenha uma energia mecânica total dada por E = 3U0=2. E 2U 0 U 0 0 b x U(x) F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 10 { Respostas 1. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 0 J. 2. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡ 6; 0 J. 3. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡12 mv2±. 4. (a) WNORMAL = 0 J; WPESO = 0 J; WATRITO = ¡ 4; 0 J; (b) ¢Ec = ¡ 16; 0 J; (c) 4; 0 m. 5. (a) 300; 0 J; (b) ¡ 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s. 6. (Leia a demonstra»c~ao no livro texto, e discuta com seu professor.) 7. 9; 9 £ 103 J. 8. 23 `. 9. (a) vB = p 2 g h ; vC = q 2g (h¡ r) ; vD = q 2g (h¡ 2r) ; (b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r. 10. arccos 0; 73 = 43±. 11. (a) p 2g` ; (b) 3mg ; (c) 2 5 `. 12. (a) m1 g h ; (b) 1 2 (m1 +m2) v2 +m2 g h ; (c) q m1¡m2 m1+m2 2g h ; (d) m1¡m2m1+m2 h. 13. ¡ 25 J. 14. (a) v2±=(2¹g); (b) 42 m; (c) v 2 ±=(2¹g) + v± tr ; (d) 59 m. 15. (a) ¹= (m0 h) = [(m+m0) d +mh]; (b) 0; 39. 16. (a) 7; 5 J; (b) ¡ 3; 0 J; (c) 4;5 J. 17. 3; 9 m/s. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 2 Atividades extras 2 1. Leia as se»c~oes 10.1 a 10.8 do cap¶³tulo 10 do livro texto. 2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerc¶³cios 12 (Rota»c~oes, Torque e Momento Angular da Part¶³cula). 3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores). 4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do cap¶³tulo 3 do livro texto. 5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do cap¶³tulo 10 do livro texto. Atividade 3 Discuss~ao: | o que ¶e o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedades e maneiras de calcul¶a-lo (pequeno trecho µas p¶aginas 229 e 230 da se»c~ao 11.2 do livro texto); | o conceito de torque de uma for»ca; | o conceito de momento angular de um corpo; | e como reescrever a segunda lei de Newton para rota»c~oes: d ~L± dt = ~¿ res± ; | e, ¯nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei da gravita»c~ao universal de Newton. Atividade 4 Resolu»c~ao dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12. Atividades extras 3 1. Leia (releia!) as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto. 2. Leia a parte da se»c~ao 11.2 referente ao produto vetorial de dois vetores. 3. Leia as se»c~oes 11.3 e 11.4 do livro texto. 4. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 11, sobre vetores e produto vetorial. 5. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 12. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 3 Atividade 5 Resolu»c~ao de problemas, a crit¶erio do professor. Atividades extras 4 1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores. 2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rota»c~oes, torque e momento angular) que você ainda n~ao resolveu. 3. Leia as se»c~oes 3.4, 3.5 e 3.6 do cap¶³tulo 3. 3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA 1. Releia tudo: cap¶³tulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (exceto se»c~ao 5.4), 6 (todo), 7 (se»c~oes 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da se»c~ao 7.6), 10 (exceto se»c~oes 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as se»c~oes 11.3 e 11.4, mais a de¯ni»c~ao de produto vetorial na se»c~ao 11.2). 2. Refa»ca todos os exemplos resolvidos do livro. 3. Termine ou refa»ca todos os problemas indicados neste e nos guias an- teriores. 4. Fa»ca o que você ainda n~ao fez. F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 4 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 11 ... e Mais Vetores 1. O produto vetorial de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a dois vetores ~a e ~b um terceiro vetor ~c = ~a £~b de¯nido por um vetor: { de m¶odulo c = a b sen µ , onde µ ¶e o menor ângulo entre ~a e ~b ; { de dire»c~ao perpendicular tanto µa dire»c~ao de ~a quanto µa dire»c~ao de ~b; { de sentido (por conven»c~ao) obtido atrav¶es da regra da m~ao direita: colocando a m~ao direita com a palma aberta na dire»c~ao do vetor ~a, tente fechar a palma levando-a de ~a para ~b atrav¶es do menor ângulo; quando o movimento de ir de ~a para ~b fechar a m~ao, o sentido que o polegar apontar ¶e o sentido de ~c. Usa-se a nota»c~ao £ para representar o produto vetorial. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que c = j~a £~bj = a b sen µ = ab? ; onde ~b? ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao perpendicular a ~a . ) θ a r b r ⊥b r bac rrr ×= a r bac rrr ×= b r 1 2 Demonstre que (a) j~a £ ~bj = S , onde S ¶e a ¶area do paralelogramo de lados de¯nidos por ~a e ~b. F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 7 6. (a) Mostre que o m¶odulo do produto triplo j ³ ~a£~b ´ ¢ ~c j ¶e o volume do paralelep¶³pedo cujos lados s~ao de¯nidos pelos ve- tores ~a , ~b e ~c . (b) Calcule a ¶area da superf¶³cie deste paralelep¶³pedo. (c) Considere ~a = ³̂ +^́, ~b = ³̂¡ ^́ e ~c = ³̂ + 2 k̂ . Calcule a ¶area da superf¶³cie e o volume do paralelep¶³pedo de¯nido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 7. De¯ne-se o vetor torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto como ~¿FO = ~r £ ~F onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao, em rela»c~ao ao ponto O, do ponto de aplica»c~ao da for»ca. O r v F r aplicada é força a que em ponto Considere um objeto num ponto cuja posi»c~ao em rela»c~ao a um obser- vador ¯xo a um ponto O ¶e descrito por ~r = ³̂ + 2^́¡ k̂ Sobre este corpo a for»ca resultante atuando vale ~F = 3 ³̂¡ ~́ (todas as unidades est~ao em unidades do SI.) Calcule o torque da for»ca ~F em rela»c~ao ao ponto O. Calcule o torque da for»ca ~F em rela»c~ao ao ponto O' cuja posi»c~ao em rela»c~ao a O ¶e descrita por ~OO0 = ³̂. Os dois valores s~ao iguais? F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 8 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 12 Rotac»~oes, Torque e Momento Angular 1. Um LP (tamb¶em chamado de \disco de vinil") gira num toca-discos que descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto pr¶oximo µa periferia, no in¶³cio do disco, e pr¶oximo a seu centro, no ¯nal do disco, ambas medidas por um observador ¯xo µa Terra. 2. Para o problema anterior, estime a desacelera»c~ao do prato do toca- discos quando a agulha chega a seu ¯m e o prato p¶ara, supondo a desacelera»c~ao constante e o tempo de parada da ordem de 10 s. 3. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao, para um observador suposto inercial, ¯xo ao seu eixo de rota»c~ao, de um corpo parado sobre a superf¶³cie da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23± (Rio de Janeiro); (c) no p¶olo Sul? Despreze o movimento da Terra em torno do Sol. 4. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao da Terra em seu movi- mento de rota»c~ao em torno do Sol? Suponha a ¶orbita da Terra circular, e procure em tabelas os dados que você precisa. 5. Um motor que move um moinho ¶e desligado quando este ¶ultimo gira a 240 rpm. Ap¶os 10 s, a velocidade angular ¶e 180 rpm. Se a desacelera»c~ao angular permanecer constante, quantas rota»c~oes adicionais ele faz at¶e parar? 6. As duas polias de uma m¶aquina est~ao ligadas por uma correia que n~ao desliza, conforme mostra a ¯gura. Se os raios das duas polias s~ao R1 e R2, determine a raz~ao entre as velocidades angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente? & % ' $ R1 ¹ ¸ º ·R2h h h h h h h h F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 9 7. O volante de uma m¶aquina a vapor desenvolve uma velocidade angu- lar constante de 150 rpm. Quando o motor ¶e desligado, o atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda p¶are em 2,2 horas. (a) Qual ¶e a acelera»c~ao angular m¶edia da roda? (b) Quantas rota»c~oes far¶a a roda antes de parar? (c) Qual ¶e a acelera»c~ao tangencial de uma part¶³cula distante 50 cm do eixo de rota»c~ao, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual ¶e o m¶odulo da acelera»c~ao total da part¶³cula no instante do item (c)? 8. (*) Demonstre que para um corpo que move-se girando num movi- mento circular em torno de um ponto O com velocidade angular ~! (ve- tor de¯nido como tendo o m¶odulo dado pela velocidade angular usual, dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em o c¶³rculo do movimento, e sentido dado usando a \regra da m~ao direita") podemos escrever, para um observador inercial ¯xo ao ponto O (o centro do c¶³rculo) ~v = ~! £ ~r ~a = ~®£ ~r + ~! £ (~! £ ~r) ~® ¶e o vetor acelera»c~ao angular, de¯nido de forma an¶aloga ao vetor velocidade angular. 9. Considere uma part¶³cula que est¶a num dado instante na posi»c~ao indi- cada na ¯gura. Sobre ela atuam as duas for»cas ~F1 e ~F2 indicadas, onde F1 = 10 N e F2 = 20 N. (a) Calcule o torque de cada uma das for»cas em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o torque da for»ca resultante em torno do ponto O. (c) Repita o problema para o ponto A da ¯gura. - x (m) 6 y (m) O '1 A {1 { { {'''' ¾ ~F1 @ @R ~F2 45± F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 12 (b) Calcule o momento angular do corpo em rela»c~ao ao ponto O no instante t = 0. (c) Quanto vale o momento angular em rela»c~ao ao ponto O em um instante de tempo t qualquer? 14. O vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa 2 kg em rela»c~ao a um observador inercial ¯xo num ponto O ¶e dado por ~r = 2 t2 ³̂ + t ^́+ t4 k̂, onde todas as unidades empregadas est~ao no S.I. (a) Qual ¶e a for»ca resultante que age sobre esta part¶³cula? (b) Qual ¶e o torque desta for»ca em rela»c~ao a O? (c) Qual ¶e o momento angular desta part¶³cula em rela»c~ao a O? (d) Veri¯que se a segunda lei de Newton para as rota»c~oes ¶e v¶alida neste caso. 15. O momento angular de uma part¶³cula, calculado em rela»c~ao a um ponto O parado em rela»c~ao µa Terra, ¶e dado por ~L = b t ³̂ +c t2 ^́, onde b = 2 J, c = 2 J/s, e t ¶e dado em segundos. (a) Determine o torque sobre a part¶³cula em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o m¶odulo deste torque para t = 1 s. 16. Um proj¶etil de massa m ¶e lan»cado com uma velocidade ~v0 que faz um ângulo µ0 com a dire»c~ao horizontal. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lan»camento O, calcule o momento angular do proj¶etil em rela»c~ao a O como fun»c~ao do tempo. Calcule o torque da for»ca resultante sobre este corpo em rela»c~ao ao mesmo ponto, e veri¯que se d~L0 dt = ~¿0 : { { { { { { { { { { O © © © ©*~v0 µ0 17. Quando a Terra est¶a no af¶elio (posi»c~ao em que est¶a mais afastada do Sol), no dia 21 de junho, a sua distância ao Sol ¶e de 1,52 £ 1011 m, e sua velocidade orbital ¶e de 2,93 £ 104 m/s. Determine sua velocidade orbital no peri¶elio (posi»c~ao mais pr¶oxima do Sol), cerca de 6 meses ap¶os o af¶elio, quando sua distância ao Sol ¶e de 1,47 £ 1011 m. Determine tamb¶em em cada caso a velocidade angular de rota»c~ao da Terra em torno do Sol. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 13 18. Um pêndulo cônico ¶e constitu¶³do por uma bola de massa m presa µa extremidade de um ¯o de comprimento d, amarrado a um suporte ¯xo no laborat¶orio. O pêndulo gira com velocidade ! constante, com o ¯o fazendo um ângulo constante ® com a vertical. Qual ¶e o momento angular ~L0 da bola em rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao O? Mostre diretamente que a taxa de varia»c~ao de ~L0 em rela»c~ao ao tempo ¶e medida pelo torque em rela»c~ao a O das for»cas que agem sobre a bola. α d R m O ω 19. Uma part¶³cula de massa m move-se sob a»c~ao de uma for»ca atrativa que varia com o inverso do quadrado da distância a um ponto ¯xo: F = ¡k=r2. A trajet¶oria descrita ¶e um c¶³rculo de raio a. Mostre que a energia total ¶e E = ¡k=(2a), que o m¶odulo da velocidade ¶e v = q k=(ma), e que o m¶odulo do momento angular em rela»c~ao ao centro do c¶³rculo ¶e L = p mka. 20. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B que permanece ¯xa. B A D d Inicialmente, quando A est¶a muito distante de B (r ! 1), A tem velocidade de m¶odulo v0 dirigida ao longo da linha mostrada na ¯gura. A distância entre esta linha e B ¶e D. O objeto A desvia-se de sua F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 14 trajet¶oria inicial devido µa presen»ca de B, e move-se segundo a trajet¶oria indicada na ¯gura. A menor distância entre esta trajet¶oria e B ¶e d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravita»c~ao. 21. A Lua gira em torno da Terra de forma tal que um observador na Terra vê sempre a mesma face da Lua. (a) Qual ¶e a raz~ao entre a velocidade angular orbital da Lua em redor da Terra e a velocidade angular de rota»cµao da Terra em torno de seu pr¶prio eixo? (b) Determine a raz~ao entre o momento angular orbital e o momento angular de rota»c~ao da Lua, chamando de r a distância do centro da Terra ao centro da Lua e de RL o raio da Lua. F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 17 e z (perpendicular ao papel, para fora), podemos escrever para os ve- tores acelera»c~ao, velocidade e posi»c~ao: ~a = ~g = ¡g ^́, ~v = ~v± ¡ ~g t = v± cos µ± + (v± sen µ± ¡ g t) ^́, ~r = ~r± + ~v± t + 12 ~g t2 = v± cos µ± t ³̂ +³ v± sen µ± t¡ 12 g t2 ´ ^́. Ent~ao LO = ¡ 12 m gv± cos µ± t2, ¿0 = ¡mg v± cos µ± t, e veri¯ca-se diretamente que d~L=dt = ~¿ . 17. 3; 03£ 104 m/s; !A = 1; 93 £ 10¡7 rad/s, !P = 2:06£ 10¡7 rad/s. 18. ~LO = md2 ! sen® cos ® ½̂+m d2 ! sen2 ® k̂. O torque da tens~ao ¶e nulo. O torque da for»ca peso ¶e ~¿O(P ) = md2 !2 sen2 ® t̂. Como a derivada do unit¶ario da dire»c~ao radial ¶e o vetor unit¶ario da dire»c~ao tangencial multiplicado por !, ou d½̂ dt = ! t̂, veri¯ca-se diretamente que d~L=dt = ~¿. 19. (Sugest~ao: escreva a segunda lei de Newton e obtenha a velocidade da part¶³cula.) 20. M = ¡ v 2±(d2¡D2) 2Gd . 21. (a) As duas velocidades angulares s ao iguais. (b) LeixoLTerra = R2L r2 . 1 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) GUIA DE ESTUDO 5 M¶odulo 5: Sistema de Part¶³culas: Momento Linear e sua Lei de Conservac»~ao, Centro de Massa e Colis~oes 1. INTRODUC» ~AO Neste m¶odulo, daremos in¶³cio µa descri»c~ao de um sistema de part¶³culas, cor- respondendo µa descri»c~ao de sistemas f¶³sicos que n~ao podem ser tratados como objetos pontuais. Come»caremos de¯nindo o momento linear de um sistema de part¶³culas e vendo como aplicar e generalizar a segunda lei de Newton para este sistema. Estudaremos em que situa»c~oes o momento linear de um sistema de part¶³culas ¶e conservado. Veremos que no estudo de um sistema de part¶³culas um conceito fundamental ¶e o de centro de massa do sistema, ao qual associaremos a for»ca externa total agindo sobre o sistema. Leituras indispens¶aveis: Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 8 (se»c~oes 8.1 a 8.4) e 9 do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecânica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda. 2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA Atividade 1 Discuss~ao | da de¯ni»c~ao de momento linear para um sistema de duas ou mais part¶³culas (se»c~oes 8.1 e 8.2); | da lei de conserva»c~ao do momento linear (se»c~ao 8.3). Atividade 2 Resolu»c~ao do problema 26 da lista de exerc¶³cios 13 (sobre Sistema de part¶³culas: momento linear, centro de massa, conserva»c~ao do momento, e colis~oes). Este problema corresponde µa primeira atividade experi- mental do M¶odulo 5, feito no laborat¶orio; pense as condi»c~oes que a F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 2 experiência deve ser realizada para que haja conserva»c~ao do momento linear. Atividades extras 1 1. Leia as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do cap¶³tulo 8 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 6 e 8 da lista de exerc¶³cios 13. 3. Demonstre (com o livro fechado) que para um sistema de part¶³culas d~P dt = ~F ext onde ~P ¶e o momento linear total e ~F ext ¶e a resultante das for»cas externas aplicadas sobre o sistema. Atividade 3 Discuss~ao (novamente) dos conceitos apresentados na aula anterior, com a resolu»c~ao dos exerc¶³cios 5 e 2 da lista 13. Atividade 4 Discuss~ao do conceito de centro de massa, obtendo a equa»c~ao que des- creve o movimento deste ponto (se»c~ao 8.3); e c¶alculos de alguns centros de massa para sistemas simples (se»c~ao 8.4). Atividades extras 2 1. Leia novamente as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do livro texto. 2. Leia a se»c~ao 8.4 do livro texto. 3. Resolva os exerc¶³cios 1,2,3,7,8,9,11,14 e 16 da lista 13. Atividade 5 Discuss~ao dos conceitos envolvidos na an¶alise de colis~oes usando o Exemplo A a seguir. Exemplo A Consideremos a colis~ao de duas bolas de borracha numa mesa sem atrito. As duas bolas têm massas m1 e m2 , e supomos conhecidas as suas velocidades iniciais ~v1i e ~v2i . Durante um F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 5 externas atuando sobre o sistema (por exemplo, atrito) n~ao te- remos o valor nulo para a soma das duas equa»c~oes anteriores. A segunda: a energia cin¶etica ¶e conservada nesta colis~ao? A resposta ¶e n~ao necessariamente! Discutiremos a seguir o porque desta a¯rma»c~ao. Um ¶ultimo coment¶ario: o que discutimos aqui se aplica em geral. N~ao ¯zemos nenhuma restri»c~ao sobre a for»ca interna que atua entre as part¶³culas durante a colis~ao (a ¶unica restri»c~ao foi exigir que ela satis¯zesse ao princ¶³pio de a»c~ao e rea»c~ao). Assim, qualquer que seja a for»ca interna, o momento linear total de um sistema isolado ¶e conservado. Atividade 6 Discuss~ao | do conceito de impulso de uma for»ca (se»c~ao 9.2), ilustrando com o exerc¶³cio 22; | e do que ocorre com o momento linear total e com a energia cin¶etica num processo de colis~ao (se»c~ao 9.3), classi¯cando as colis~oes em el¶asti- cas e inel¶asticas; | e resolu»c~ao do caso geral de uma colis~ao el¶astica unidimensional. Atividades extras 3 1. Leia as se»c~oes 9.1, 9.2 e 9.3 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 21 e 22 da lista 13. 3. Leia a se»c~ao 9.4. 4. Com o livro fechado, obtenha as equa»c~oes (9.4.11) do livro texto e aplique estas equa»c~oes ao caso particular em que as duas massas s~ao iguais. 5. Escreva um modelo te¶orico que descreva a atividade 2 da experîencia do laborat¶orio - colis~ao el¶astica entre dois corpos de mesmas massas - e compare com a observa»c~ao feita no laborat¶orio. 6. Resolva os exerc¶³cios 23 e 24 da lista 13. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 6 Atividade 7 Discuss~ao do problema das colis~oes unidimensionais n~ao el¶asticas, e em particular o caso da colis~ao totalmente inel¶astica (se»c~ao 9.5); e resolu»c~ao do exerc¶³cio 41 (pêndulo bal¶³stico). Atividade 8 Rediscuss~ao de conceitos relacionados µa lei de conserva»c~ao do momento linear de um sistema de part¶³culas e ao conceito de centro de massa usando o Exemplo B a seguir. Exemplo B Consideremos agora o caso de dois corpos (part¶³culas) de mas- sas m1 e m2. Esses dois corpos n~ao est~ao, como no caso do Exemplo A, isolados. Sobre eles, atuam tanto for»cas internas | a intera»c~ao de um com o outro, como no caso anterior, quanto for»cas externas | por exemplo, a for»ca peso, o atrito, etc. Podemos, para cada um dos dois corpos, separar a for»ca resul- tante em duas partes: uma, correspondente µas for»cas internas ao sistema, e outra correspondente µas for»cas externas. Assim, sobre os corpos 1 e 2 a resultante das for»cas ¶e escrita como ~F1 = ~F int 1 + ~F ext 1 ; ~F2 = ~F int 2 + ~F ext 2 e a segunda lei de Newton ¯ca d ~p1 d t = ~F int1 + ~F ext 1 ; d ~p2 d t = ~F int2 + ~F ext 2 : A \for»ca interna" que atua sobre o corpo 1 deve-se µa intera»c~ao deste corpo com outros corpos do sistema; no caso, o outro corpo do sistema ¶e o corpo 2. O mesmo ¶e v¶alido para o corpo 2. As for»cas ~F int1 e ~F int 2 constituem um par a»c~ao-rea»c~ao, e a terceira lei de Newton nos d¶a ~F int1 + ~F int 2 = 0 : De¯nimos o momento linear total de nosso sistema de part¶³cu- las como sendo ~P ´ ~p1 + ~p2 : F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 7 Ent~ao podemos escrever d ~P dt = d (~p1 + ~p2) d t = ³ ~F int1 + ~F int 2 ´ + ³ ~F ext1 + ~F ext 2 ´ Se ~F ext = ~F ext1 + ~F ext 2 ¶e a resultante das for»cas externas que atuam sobre as part¶³culas de nosso sistema, d ~P d t = ~F ext : Desta express~ao, podemos ver imediatamente sob que condi»c~oes o momento linear total de um sistema ¶e conservado. Todas as vezes que a resultante das for»cas externas ¶e nula, o sistema tem momento linear constante | e n~ao apenas quando o sis- tema ¶e isolado. Por este motivo, um sistema de duas part¶³culas em colis~ao sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito pode ser tratado como sendo isolado: as for»cas externas, pesos e normais, se anulam, dando uma resultante externa nula e conservando o momento total. A equa»c~ao que de¯ne o momento linear total do sistema nos inspira para uma outra observa»c~ao. Como ~p1 = m1 ~v1 e ~p2 = m2 ~v2, o momento total ¶e dado por ~P = (m1 ~v1 +m2~v2) Esta express~ao nos faz pensar que talvez fosse conveniente de- ¯nir um ponto especial de nosso sistema. Este ponto mover- se-ia com uma velocidade que ¶e uma \m¶edia ponderada" das velocidades dos corpos ~V = m1 m1 +m2 ~v1 + m2 m1 +m2 ~v2 : Os pesos nesta m¶edia s~ao as massas dos corpos envolvidos. A este ponto damos o nome de centro de massa do sistema de part¶³culas. Este ponto especial tem algumas propriedades interessantes e que se tornam bastante ¶uteis para a discuss~ao de sistemas de F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 10 4. Descreva a colis~ao para um observador que anda junto com o centro de massa. 5. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema no referencial do centro de massa. Atividades extras 4 1. Leia as se»c~oes 9.1 a 9.4 do livro texto. 2. Resolva os exerc¶³cios 27, 28, 29 da lista 13. 3. Resolva os exerc¶³cios 30, 31 e 32 da lista 13. Atividade 10 Discuss~ao sobre colis~oes no caso geral, bidimensional (se»c~oes 9.6 e 9.7) tanto el¶asticas quanto inel¶asticas, exempli¯cando com o problema 36 da lista 13. Atividade 11 Discuss~ao de um processo de colis~ao do ponto de vista do referencial do laborat¶orio e do ponto de vista do referencial do centro de massa do sistema, resolvendo com o problema 39 da lista 13. Atividades extras 5 1. Leia as se»c~oes 9.6 a 9.7 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto (transforma»c~oes de Galileu). 3. Refa»ca exerc¶³cios da lista 8, sobre mudan»ca de sistema de referência. 4. Resolva os exerc¶³cios 37, 38, 39 da lista 13. Atividade 12 Demonstra»c~ao de que podemos escrever a energia cin¶etica de um sis- tema de duas part¶³culas como sendo Ec = 1 2 M V 2cm + 1 2 m1m2 m1 +m2 (~v1 ¡ ~v2)2 e discuss~ao do exerc¶³cio 28 em vista desta equa»c~ao. F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 11 Atividades extras 6 1. Releia todo o guia, e todo o cap¶³tulo 9. 2. Fa»ca tudo que você ainda n~ao fez. Atividade 13 Resolu»c~ao de problemas da lista 13 e dos cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto, a crit¶erio do professor. 3. ATIVIDADES FINAIS DO M¶ODULO 5 1. Releia os cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto. 2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto. 3. Refa»ca todos os exemplos deste guia e do livro texto. 4. Fa»ca todos os exerc¶³cios da lista 13 que você ainda n~ao fez. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 12 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservac»~ao do Momento, Colis~oes 1. Um corpo de massa m1 est¶a sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpo de massa m2 est¶a sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor da distância entre o centro de massa do sistema constitu¶³do pelos dois corpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em que m2 =m1 e m2 = 2m1. 2. Um sistema de part¶³culas ¶e composto de dois objetos de massas m1 e m2. Demonstre que o centro de massa est¶a deste sistema est¶a sobre a linha que une os dois, entre os dois, e a raz~ao entre a distâncias d1 e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa ¶e inversamente proporcional µa raz~ao entre as massas: d1=d2 =m2=m1. w1 u2-cm d1 d2 3. Obtenha a posi»c~ao do centro de massa de um sistema de duas part¶³cu- las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posi»c~oes ~r1 = 5 ³̂ + 2^́ e ~r2 = ³̂¡ 3^́. Calcule a distância de cada uma das massas ao centro de massa do sistema. As posi»c~oes est~ao dadas em metros. 4. Um n¶ucleo de r¶adio 226 (com 88 pr¶otons e 128 nêutrons, 22688 Ra) sofre decaimento radioativo, emitindo uma part¶³cula ® (que corresponde ao n¶ucleo do ¶atomo de h¶elio, com 2 pr¶otons e 2 nêutrons, 42He). As mas- sas do pr¶oton e do nêutron s~ao aproximadamente iguais. Se o n¶ucleo original estiver inicialmente em repouso, a part¶³cula ® ¶e emitida com velocidade de 1; 5£ 107 m/s. Qual ¶e a velocidade do n¶ucleo residual? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 15 (a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo ap¶os lan»car a bola. (b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo ap¶os receber a bola. (c) Calcule a velocidade do segundo patinador ap¶os lan»car a bola de volta. 14. Determine o centro de massa de um sistema composto por três part¶³- culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos v¶ertices de um triângulo equil¶atero de 2 m de lado. 15. Num instante particular, três part¶³culas move-se como mostrado na ¯gura. Elas est~ao sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas. Ap¶os um certo tempo, elas s~ao novamente observadas; vê-se que m1 move-se como mostrado na ¯gura, enquanto m2 est¶a parada. Ache a velocidade de m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0; 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s, v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s. x y I N Í C I O 1v r 2v r1 2 030 33v r x yF I M 'v1 r 2 ? 1 3 16. Um conjunto de part¶³culas possui massa total M = 2 kg. O momento linear do sistema ¶e dado por ~P = b t ³̂ + c t2^́, onde b = 2 kg m/s2, c = 4 kg m/s3 e t ¶e dado em segundos. Todas as massas permanecem constantes. (a) Determine a velocidade do centro de massa em fun»c~ao do tempo. (b) Obtenha uma express~ao para a for»ca que atua sobre o sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Calcule o m¶odulo da for»ca externa para t = 1 s. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 16 17. A posi»c~ao do centro de massa de um sistema constitu¶³do de 4 part¶³culas de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg ¶e dada por XCM = ¡0; 4 m e YCM = ¡0; 1 m. Sabendo que as tr̂es primeiras part¶³culas est~ao localizadas nas posi»c~oes (1; 0), (¡1;¡1) e (¡1; 1), onde as coordenadas est~ao dadas em metros, determine a posi»c~ao da quarta part¶³cula. 18. Um observador mede as velocidades de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e obt¶em os valores ~v1 e ~v2. Determine: (a) a velocidade do centro de massa das duas part¶³culas; (b) a velocidade de cada uma das part¶³culas em rela»c~ao ao centro de massa do sistema; (c) o momento linear de cada part¶³cula em rela»c~ao ao centro de massa do sistema. 19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste r¶³gida de massa desprez¶³vel e comprimento igual a 20 cm est¶a em repouso na posi»c~ao indicada na ¯gura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as for»cas ~F1 = 3^́ e ~F2 = ¡4 ³̂ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2. Despreze o atrito com a mesa. - x (cm) -5 5 10 15 6 y (cm) w y (a) Encontre a acelera»c~ao do centro de massa do sistema. (b) Calcule a posi»c~ao do centro de massa do sistema como fun»c~ao do tempo. (c) Que tipo de trajet¶oria descrever¶a o centro de massa? (d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste r¶³gida for substitu¶³da por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons- tante el¶astica k = 0; 1 N/cm. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 17 20. Considere uma chapa homogênea de massa M , na forma de um triân- gulo equil¶atero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De- termine o vetor posi»c~ao do centro de massa da chapa como fun»c~ao do tempo, sabendo que as for»cas constantes ~F1 e ~F2 mostradas na ¯gura s~ao aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posi»c~ao indicada na ¯gura. Dê sua resposta em fun»c~ao dos parâmetros M , a e F , onde F = j~F1j= j ~F2j : - x 6 y ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A A A A A A A A A A 6~F1 HH HY ~F2 21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma for»ca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ¶e de 0,20 kg, que velocidade ela ter¶a ap¶os o impacto? 22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade de 25 m/s. Ela ¶e rebatida para cima e volta com uma velocidade de 10 m/s. (a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo? (b) Se a bola ¯cou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a for»ca m¶edia exercida sobre o solo? 23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal- mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque ¶e per- feitamente el¶astico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do choque? 24. Uma massa m1, com velocidade de m¶odulo v , choca-se frontalmente com uma massa m2. Ap¶os a colis~ao, m2 possui velocidade de m¶odulo u2. A massa m1, chocando-se com a mesma velocidade de m¶odulo v com a massa m3, faz com que esta adquira uma velocidade de m¶odulo F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 20 (a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o impacto. (b) Ache a distância que o conjunto percorre at¶e parar. M-m ~v0 31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf¶³cie hori- zontal, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie ¶e ¹. Uma extremidade de uma mola, de constante el¶astica k, est¶a ligada ao bloco, e a outra extremidade est¶a presa a uma parede. Inicialmente a mola n~ao est¶a distendida. Uma bala de massa m1 atinge o bloco e ¯ca grudada nele. Se a de°ex~ao m¶axima da mola for x, obtenha a velocidade da bala em fun»c~ao de m1, m2, k, ¹, g e x. °°°°°°° m2 t¾ m1 32. Um vag~ao de massa m desce uma colina de altura h. Ao ¯nal da colina o solo ¶e horizontal, e o vag~ao colide com um vag~ao igual inicialmente em repouso. Os dois se engatam e come»cam a subir uma outra colina. Que altura eles alcan»cam? Considere o atrito desprez¶³vel. h 33. Considere o sistema da ¯gura, formado por um conjunto de n massas suspensas por ¯os de massas desprez¶³veis de forma a n~ao existir contato entre elas. A primeira massa tem um valor f m0, a segunda f2m0, a terceira f3m0 e assim sucessivamente at¶e a n-¶esima, f nm0. Uma part¶³cula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 21 k fm0 k k k¢ ¢ ¢ k fnm0 { -~v0 m0 (a) Supondo todas as colis~oes entre as massas perfeitamente el¶asticas, mostre que a ¶ultima massa ¶e ejetada com velocidade ~vn = " 2 1 + f #n ~v0 : (b) Mostre que, para valores de f pr¶oximos da unidade (f = 1 + », » ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamente toda a energia cin¶etica da part¶³cula incidente para a ¶ultima massa suspensa, mesmo para grandes valores de n. (c) Calcule, para f = 0; 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energia cin¶etica da ¶ultima massa suspensa em fun»c~ao de m0 e de ~v0 da part¶³cula incidente. Compare com o resultado que seria obtido numa colis~ao direta entre a part¶³cula incidente e a ¶ultima part¶³cula suspensa. 34. Um ¶atomo de deut¶erio (cujo n¶ucleo, o dêuteron, cont¶em um pr¶oton e um nêutron) com energia cin¶etica de 0; 81 £ 10¡13 J colide com um ¶atomo similar em repouso. Ocorre uma rea»c~ao nuclear, e ¶e emitido um nêutron cuja velocidade faz um ângulo reto com a dire»c~ao da velocidade do primeiro ¶atomo. Nesta rea»c~ao, ¶e liberada uma energia de 5; 31 £ 10¡13 J, que ¶e transformada em energia cin¶etica das part¶³culas emitidas. Determine a energia cin¶etica do nêutron, dado que o outro produto ¶e um ¶atomo de H¶elio 3 e que as massas do nêutron, do deut¶erio e do 3He s~ao respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg. 35. Uma part¶³cula de massa m0 com velocidade de m¶odulo v0 atinge uma part¶³cula estacion¶aria de massa 2m0. Como resultado, a part¶³cula de massa m0 tem a dire»c~ao de seu movimento de°etida de um ângulo de 45± e o m¶odulo de sua velocidade passa a ser v0=2. Ache o vetor ve- locidade da part¶³cula de massa 2m0 ap¶os a colis~ao. Houve conserva»c~ao da energia cin¶etica do sistema? F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 22 36. Mostre que em uma colis~ao el¶astica n~ao frontal de duas esferas idênti- cas, em que uma delas est¶a inicialmente em repouso, o ângulo formado pelas dire»c~oes das velocidades ¯nais das duas esferas ¶e sempre ¼=2. 37. Uma part¶³cula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part¶³cula em repouso de massa m2. O choque ¶e perfeitamente el¶astico. Observa-se que depois do choque as part¶³culas têm velocidades iguais e opostas. Ache: (a) a rela»c~ao m2 m1 ; (b) a velocidade do centro de massa do sistema; (c) a energia cin¶etica total das part¶³culas no referencial do centro de massa do sistema, em fun»c~ao da energia cin¶etica inicial de m1, T1 = 1 2 m1 u 2 1 ; (d) a energia cin¶etica ¯nal de m1 no sistema de laborat¶orio. 38. Uma part¶³cula de massa m movendo-se com velocidade v sobre uma mesa plana sem atrito incide sobre outra part¶³cula de massa 2m, em repouso. Ap¶os o choque, observa-se que a massa m tem velocidade de m¶odulo 2v=3 fazendo um ângulo de 60± com a dire»c~ao original do movimento, do ponto de vista de um observador no laborat¶orio. (a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois do choque? (b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do sistema, da part¶³cula de massa 2m ap¶os o choque? 39. Uma part¶³cula de massa m, que move-se com velocidade de m¶odulo v, choca-se com uma part¶³cula em repouso de massa 2m. Em consequência disto, a part¶³cula de massa m ¶e desviada de 30± da sua dire»c~ao de incidência, e ¯ca com uma velocidade ¯nal de m¶odulo v=2. Obtenha a velocidade ¯nal da part¶³cula de massa 2m (em m¶odulo, dire»c~ao e sentido) depois desta colis~ao. A energia cin¶etica se conserva durante a colis~ao? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de massa do sistema. Observe que ângulos medidos em referenciais que se movem um em rela»c~ao ao outro n~ao s~ao necessariamente iguais. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 25 IF { UFRJ { 2004/1 F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta) Respostas { Lista de exerc¶³cios 13 Sistema de Part¶³culas: Momento Linear, Centro de Massa, Conservac»~ao do Momento, Colis~oes 1. d1 = m2 m1+m2 (x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 12 (x2 ¡ x1). w1 u2-cm d1 d2 2. Se d = j~r1 ¡ ~r2j ¶e a distância entre os dois objetos, d1 = m2m1+m2 d, d2 = m1 m1+m2 d, e portanto d1=d2 =m2=m1. 3. ~R = 2 ³̂¡ 74 ^́; d1 = 4; 8 m, d2 = 1; 6 m. 4. 0; 66£ 105 m/s. 5. 60 m. 6. (a) Fazendo um ângulo de 118± com a dire»c~ao do momento do el¶etron, com m¶odulo 1; 36£ 10¡22 kg.m/s. (b) 1; 6£ 10¡19 kg. 7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma dire»c~ao e o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmento tem velocidade de 1 m/s, com a mesma dire»c~ao e sentido oposto ao sentido da velocidade inicial do corpo. 8. (a) O centro de massa est¶a em repouso inicialmente, e permanece em repouso. (b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema). F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 26 9. (a) A velocidade do homem em rela»c~ao µa Terra vale u = v + V (em m¶odulo), e V ¶e o m¶odulo da velocidade do bal~ao em rela»c~ao µa Terra; ent~ao V = mv= (M ¡m) { o bal~ao sobe em rela»c~ao µa Terra se sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se sua massa for menor. (b) Ficar¶a em repouso. 10. Avi~ao: (M ¡m)v±=(M ¡ 2m); foguete: mv±=(2m ¡M ), onde o sinal positivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avi~ao. 11. A 6,6 m da margem. 12. N~ao (supondo que o bra»co do homem mede menos de 0,5 m). 13. (a) u1 = mv=M , com sentido oposto ao da bola. (b) u2 = mv=(M +m), com o mesmo sentido da velocidade da bola. (c) u4 = (m=M)m v=(M +m), com sentido oposto ao da velocidade da bola. 14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a dire»c~ao x ¶e de¯nida pelas posi»c~oes das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocada sobre a posi»c~ao da massa de 1,0 kg, e com a posi»c~ao da massa de 6,0 kg com coordenadas positivas, ~R = 1; 2 ³̂ + 1; 0^́ (em metros). 15. ~v 03 = 4; 5 ³̂¡ ^́ (em m/s). 16. (a) ~V = t ³̂ + 2 t2 ^́ (em m/s). (b) ~FEXTRES = 2 ³̂ + 8 t ^́ (em N). (c) F (t = 1) = 8; 2 N. 17. (0;¡0; 5). 18. (a) ~V = (m1~v1 +m2~v2)=(m1 +m2). (b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) =M e ~v¤2 = ¡m1 (~v1 ¡ ~v2)=M , onde M = m1 +m2 (c) ~p¤1 = ¡~p¤2 =m1m2 (~v1 ¡ ~v2)=M 19. (a) ~A = ¡ ³̂ + 0; 75^́. F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 27 (b) Considerando a massa 1 como sendo a que est¶a em x1 = ¡5 cm, ~R(t) = (0; 1 ¡ 0; 5 t2) ³̂ + 0; 38 t2^́. (c) Uma reta; a equa»c~ao da trajet¶oria ¶e X = 0; 1 ¡ (4=3) Y , ou Y = 3=4 (0; 1 ¡X). (d) Todas as respostas anteriores ¯cam iguais, pois o movimento do centro de massa n~ao depende de for»cas internas ao sistema. 20. ~R(t) = ³ a 2 ¡ p 3 4 F M t 2 ´ ³̂ + ³ a 2 p 3 + 34 F M t 2 ´ ^́ 21. 2; 5 m/s. 22. (a) 35 N.s. (b) 1; 75 £ 103 N. 23. vbola = 4=101 = 0; 04 m/s; vbloco = ¡99=101 = ¡0; 98 m/s. 24. (a) m1 = (m3u3 ¡m2 u2) = (u2 ¡ u3); v = 0; 5 [(m3 ¡ 2m2) u3 +m2 u2] = (m3 u3 ¡m2 u2). (b) m = 1; 16 u.m.a., v = 0; 8£ 106 m/s. 25. 26. v1 = 1; 4 m/s, v2 = 0; 7 m/s, na mesma dire»c~ao e em sentidos opostos. 27. (a) mB >>> mA, ou mA=mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± a velocidade inicial do corpo A). (b) mB <<mA, ou mB=mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±). (c) 28. 29. (a) ~vf = 8=3 v̂1 (em m/s); ¢T = ¡ 98=3 J.