Teoria da Relatividade Geral

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Teoria da Relatividade Geral– w.fisica.net – Prof. Alberto Ricardo Prass – Versão 27/02/2000

OS FUNDAMENTOS DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL 1

Por Albert Einstein

A - Considerações básicas sobre o postulado da relatividade

§ 1 - Notas sobre a teoria da relatividade especial

A teoria da relatividade especial assenta n seguinte postulado, ao qual satisfaz também a mecânica de Galileu - Newton: se um sistema de coordenadas K for de tal maneira escolhido que as leis da física sejam nele válidas na sua forma mis simples, então as mesmas leis serão igualmente válidas em relação a qualquer outro sistema de coordenadas K' que em relação a K esteja animado de um movimento de translação uniforme. Chamaremos a este postulado o "Princípio da Relatividade Especial". Com a palavra "especial " deve entender-se que o princípio se restringe ao caso em que K ' tem um movimento de translação uniforme em relação a K, não devendo portanto a equivalência de K com K' estender-se ao caso em que haja movimento não uniforme de K' em relação K.

Sendo assim, não é o postulado da relatividade que afasta da mecânica clássica a teoria da relatividade, mas tão somente o postulado da constância da velocidade da luz no vácuo, do qual, em combinação com o princípio da relatividade especial, deriva, do modo conhecido, a relatividade da simultaneidade, assim como a transformação de Lorentz e as leis, com esta relacionadas, do comportamento em movimento dos corpos rígidos e dos relógios.

A modificação experimentada pela teoria do espaço e tempo através da teoria da relatividade especial é, na verdade, profunda; mas permanece intacto um ponto importante: a teoria da relatividade especial continua a aceitar que os princípios da geometria têm o significado imediato de leis sobre as possíveis posições relativas de corpos rígidos (em repouso) e, de um modo mais geral, que os princípios da cinemática são as leis que regem o comportamento das réguas de medição e dos relógios. A dois pontos materiais considerados sobre um corpo (rígido) corresponde sempre, segundo essas leis, um segmento de comprimento inteiramente determinado, independente da localização e da orientação do corpo, assim como do tempo; e a duas posições dadas de um ponteiro de relógio que esteja em repouso em relação a um sistema de referência ( que seja admissível) corresponde sempre um intervalo de tempo de extensão determinada, independente de local e de época. Daqui a pouco se mostrará que a teoria da relatividade geral não pode aderir a uma interpretação física do espaço e tempo tão simples como esta.

§ 2 - Sobre as razões que sugerem a necessidade de uma extensão do postulado da relatividade.

A mecânica clássica, e, não menos que ela, a teoria da relatividade especial, incluem um defeito epistemológico que foi posto em evidência, provavelmente pela primeira vez, por E. Mach. Vamo-lo apresentar no exemplo seguinte: suponhamos que dois corpos fluídos, da mesma espécie e _

1 Extraído de Ann. d. Phys. 49 ( 1916).

Teoria da Relatividade Geral– w.fisica.net – Prof. Alberto Ricardo Prass – Versão 27/02/2000 igual tamanho, flutuam livremente no espaço, a uma distância de tal maneira grande um do outro ( e de todas as restantes massas) que as únicas forças de gravitação a considerar são as que entre si exercem as partes componentes de um mesmo corpo.

Suporemos invariável a distância entre os corpos, e inexistente qualquer movimento relativo entre as partes de um mesmo corpo; mas admitiremos que cada uma das massas - vista por um ob- servador imóvel em relação à outra apresenta, em torno da reta que une as duas massas, um movimento de rotação de velocidade angular constante (havendo assim um movimento relativo verificável entre as duas massas). Imaginemos agora que, por meio de réguas ( em repouso relativo), se fazem medições sobre as superfícies dos dois corpos ( S1 e S2 ) , chegando-se à conclusão de que é esférica a superfície de S1 e elipsoidal de revolução a de S2.

Pergunta-se agora: por que razão se comportam de modo diverso S1 e S2 ? Uma resposta a esta pergunta só pode ser considerada satisfatória do ponto de vista epistemológico2 se aquilo que se apresentar como causa dor um fato experimental observável : porque a lei da causalidade só pode tomar-se como uma lei do mundo da experiência se unicamente fatos observáveis aparecerem em última análise como causas e efeitos.

A mecânica newtoniana não dá a esta pergunta qualquer resposta satisfatória. Com efeito o que ela diz é o seguinte: as leis da mecânica têm validade num espaço R1 em relação ao qual o cor- po S1 está em repouso, mas não a têm num espaço R2 em relação ao qual está em repouso S2 . O espaço admissível de Galileu que aqui se introduz ( assim como o movimento relativo referido a ele) é uma causa puramente fictícia, nada que seja observável. Torna-se assim claro que a mecânica de Newton, no caso considerado, não satisfaz de fato, mas apenas de modo aparente, à exigência da causalidade, dado que atribui a uma causa meramente fictícia, R1 , a diferença de comportamento que se observa nos corpos S1 e S2 .

Uma resposta aceitável para a questão acima formulada só pode ser a seguinte: como o siste- ma físico formado por S1 e S2 não apresenta dentro de si nada que seja possível imaginar como cau- sa da diferença de comportamento de S1 e S2 , essa causa tem de se encontrar fora do sistema. Chega-se assim à idéia de que as leis gerais do movimento de que resultam, como aplicação particular, as formas de S1 e S2 devem ser tais que o comportamento mecânico destes corpos fique condicionado de um modo decisivo por massas distantes, não incluídas no sistema considerado. Em tais mas- sas distantes ( e nos seus movimentos relativos a respeito dos corpos considerados) é que se devem considerar residindo as causas, em princípio observáveis, da diferença de comportamento dos cor- pos de que nos estamos a ocupar: são elas que assumem o papel da causa fictícia R1. De todos os espaços imagináveis R1 , R2, etc. , que se movam em relação uns aos outros de qualquer modo, nenhum deles deve "a priori "ser preferido, se não quisermos fazer ressurgir a objeção epistemológica apresentada. As leis da física devem ter uma estrutura tal que a sua validade permaneça em sistemas de referência animados de qualquer movimento. Chegamos deste modo a um alargamento do postulado da relatividade.

Mas, além deste 'ponderoso argumento epistemológico, há também um fato físico bem conhecido que advoga uma extensão da teoria da relatividade. Seja K um referencial de Galileu, isto é, um sistema de referência tal que, em relação a ele ( e pelo menos no domínio quadridimensional consi- _

2 É claro que uma tal resposta pode ser aceitável do ponto de vista epistemológico e no entanto continuar inaceitável do ponto de vista físico, por estar em contradição com outras experiências.

Teoria da Relatividade Geral– w.fisica.net – Prof. Alberto Ricardo Prass – Versão 27/02/2000 derado), uma massa suficientemente afastada de outras massas se desloca em movimento retilíneo e uniforme. Seja K' um segundo sistema de coordenadas que tem, em relação a K , um movimento de translação uniformemente acelerado. Teríamos então uma massa suficientemente afastada de outras massas animada de movimento acelerado relativamente a K ' , sendo a sua aceleração, tanto em grandeza como em direção, independente da sua composição material e do seu estado físico. Poderá um observador, em repouso relativamente a K' , inferir daqui que se encontra sobre um referencial "realmente" acelerado ?

A resposta a tal pergunta tem que ser negativa.

Com efeito, o referido comportamento de massas que se movem livremente em relação a K' é susceptível de uma outra interpretação, igualmente boa, que é a seguinte: o referencial K' não está animado de movimento acelerado, mas existe um campo de gravidade no domínio espaço-temporal considerado, e é esse campo que origina o movimento acelerado dos corpos em relação a K'.

O que torna possível esta maneira de conceber as coisas é o fato de a experiência nos ter ensinado que existe um campo de forças (o campo da gravidade) que possui a notável propriedade de comunicar a todos os corpos a mesma aceleração.3 O comportamento mecânico dos corpos em relação a K' é o mesmo que a experiência nos revela em relação a sistemas que estamos habituados a considerar como sistemas "em repouso" , ou seja, como sistemas "admissíveis"; o que, do ponto de vista físico, sugere a aceitação de que os dois sistemas K e K' se podem com igual direito considerar "em repouso", isto é, como sistemas igualmente admissíveis para a descrição física dos fenômenos.

Resulta das considerações feitas que o desenvolvimento da teoria da relatividade geral deve conduzir ao mesmo tempo a uma teoria da gravitação, dado que se pode "produzir" um campo de gravidade por uma simples mudança de sistema de coordenadas. Vê-se também imediatamente que o princípio da constância da velocidade da luz no vazio tem de ser modificado; porque, como facilmente se compreende, a trajetória de um raio de luz em relação a K' é em geral curvilínea se, em relação a K , a luz se propagar em linha reta e com velocidade constante.

§ 3 - O contínuo espaço-tempo. Exigência de covariância geral para as equações que exprimem as leis gerais da natureza.

Na mecânica clássica, bem como na teoria da relatividade especial, as coordenadas de espaço e de tempo têm uma significação física direta. Dizer que um ponto-acontecimento tem a coordenada x1 sobre o eixo X1 significa: que a projeção do ponto-acontecimento sobre o eixo X1 , feita por meio de réguas rígidas segundo as regras da geometria euclidiana, se pode obter aplicando sobre o eixo

X1, a partir da origem das coordenadas e no sentido positivo, x1 vezes uma determinada régua - a régua-unidade. Dizer que um ponto tem sobre o eixo X4 a coordenada x4 = t significa: que um relógio-unidade (regulado segundo determinadas prescrições), imóvel em relação ao sistema de coor- denadas e coincidente no espaço (praticamente) com o ponto-acontecimento, tem acabado de efetuar

3 Eötvös demonstrou experimentalmente que o campo da gravidade possui com extrema precisão esta propriedade.

4 A possibilidade de constatar a "simultaneidade" de acontecimentos em vizinhança espacial imediata, ou - mais rigo- rosamente em vizinhança imediata espaço-temporal (coincidência) será aqui admitida sem dar uma definição a este conceito fundamental.

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Esta concepção de espaço e de tempo sempre andou na mente dos físicos, ainda que inconscientemente para a maior parte deles, e a prova está o papel que estes conceitos desempenham na física métrica. E também o leitor deve ter alicerçado nessa concepção a segunda das reflexões do parágrafo anterior para poder ligar um sentido a esses raciocínios. Mas vamos mostrar agora que ela tem de ser abandonada e substituída por outra mais geral, se quisermos conciliar o postulado da relatividade geral com a validade da teoria da relatividade especial no caso limite da ausência de campo da gravidade.

Num espaço livre de campos de gravidade introduzamos um sistema de referência de Galileu

K ( x, y, z t) e, além disso, um sistema de coordenadas K' ( x', y', z', t') em movimento de rotação uniforme. Supõem-se em coincidência permanente as origens dos dois sistemas, assim como os seus eixos Z. vamos mostrar que as normas acima estabelecidas para definir o significado físico de comprimentos e tempos não podem ser mantidas para uma medição espaço-temporal no sistema K'. Por razões de simetria, é claro que uma circunferência traçada no plano X-Y de K com centro na origem pode, ao mesmo tempo, ser considerada como circunferência no plano X' - Y' de K' . Suponhamos agora que se mede o perímetro e o diâmetro desta circunferência com uma régua-unidade ( infinitamente pequena em relação ao raio) e que se calcula o quociente dos resultados das medições. Se a experiência tiver sido efetuada com uma régua imóvel em relação ao sistema de Galileu K ,

obter-se-á como quociente o número πMas o resultado será um número maior que π se for obtido

com uma régua que esteja imóvel em relação ao sistema K'. Reconhece-se isto facilmente quando se aprecia todo o processo de medição partindo do sistema "em repouso" K, e se tem em conta que a régua disposta ao longo da circunferência sofre a contração de Lorentz, ao passo que uma régua disposta ao longo do raio não a sofre. Sendo assim, a geometria euclidiana não é válida no sistema K'; e o conceito de coordenada acima definido, visto que pressupõe a validade daquela geometria, também não é aplicável ao sistema K' .

circunferência, sendo observados a partir do sistema "em repouso" KDe acordo com um conheci-

Também não será possível introduzir em K' um tempo que corresponda às exigências da física, definindo-o com relógios de idêntica constituição, imóveis em relação a K' . Para o reconhecermos, bastará que imaginemos dois relógios idênticos, um na origem das coordenadas, outro sobre a do resultado da teoria da relatividade especial, o relógio colocado sobre a circunferência apresenta - quando observado de K - um ritmo de funcionamento mais lento que o relógio colocado na origem, visto que aquele está animado de movimento e este não. Um observador situado na origem comum das coordenadas que fosse capaz de observar, por meio da luz, o relógio situado sobre a circunferência, verificaria portanto que este relógio se atrasa em relação ao relógio que tem junto de si. E, recusando-se a admitir que a velocidade da luz, no percurso em questão, dependa explicitamente do tempo, ele interpretará a sua observação dando-lhe o significado de que o relógio colocado sobre a circunferência tem "realmente" um ritmo mais lento que o relógio colocado na origem. Deste modo não lhe será possível evitar uma definição de tempo que inclua o fato de o ritmo de um relógio depender do lugar em que se encontra.

Chegamos assim a esta conclusão: na teoria da relatividade geral não é possível dar às grandezas espaço e tempo definições que permitam a medição direta de diferenças de coordenadas espaciais por meio de uma régua-unidade e a de intervalos de tempo por meio de um relógio-padrão.

Assim, o processo até agora utilizado para estabelecer coordenadas, de uma maneira determinada, no contínuo espaço-temporal, torna-se impraticável, e não parece haver nenhum outro caminho que permita encontrar sistemas de coordenadas de tal forma adequados ao universo quadridimensional que da sua aplicação se pudesse esperar para as leis da natureza uma formulação parti-

Teoria da Relatividade Geral– w.fisica.net – Prof. Alberto Ricardo Prass – Versão 27/02/2000 cularmente simples. nada mais resta, por conseguinte, que considerar como equivalentes em princípio para a descrição da natureza todos os sistemas de coordenadas que se possam imaginar.5 Isto equivale a exigir a seguinte condição:

As leis gerais da natureza devem ser representadas por equações que tenham validade em todos os sistemas de coordenadas, isto é, que sejam covariantes em relação a toda e qualquer substituição (covariância geral).

É claro que uma física que satisfaça a este postulado também satisfaz o postulado da relatividade geral, porque em todas as substituições estão sempre necessariamente incluídas aqueles que correspondem a todos os movimentos relativos dos sistemas de coordenadas (tridimensionais). Que esta exigência de convari6ancia geral, que tira ao espaço e ao tempo os últimos resíduos de objetividade física, seja uma exigência natural resulta da reflexão seguinte. Todas as nossas constatações espaço-temporais reduzem-se sempre à determinação de coincidências espaço-temporais. Se, por exemplo, o processo consistir apenas no movimento de pontos materiais, a única coisa que em última análise é observável é o encontro de dois ou mais desses pontos. Mesmo os resultados das nossas medições outra coisa não são que a constatação de tais encontros entre pontos materiais das nossas réguas e outros pontos materiais, ou então coincidências entre ponteiros de relógios, pontos de mostrador e os pontos-acontecimentos que se estão considerando e ocorrem no mesmo lugar e no mesmo instante.

A introdução de um sistema de referência não têm outro fim que não seja uma descrição mais fácil do conjunto de tais coincidências. Suponhamos que se associam ao universo quatro variáveis

tema de valores das variáveis x1 ,x4 . A dois pontos-acontecimentos em coincidência corresponde
o mesmo sistema de valores das variáveis x1 ,x4 ; isto é, a coincidência caracteriza-se pela iden-
tidade dos valores das coordenadas. Se em vez das variáveis x1 ,x4 se introduzirem como coorde-

espaço-temporais x1 , x2 , x3 , x4 , de tal modo que a cada ponto-acontecimento corresponda um sis- nadas de um novo sistema funções arbitrárias delas, x1 , x2 , x3 , x4 de tal modo que os sistemas de valores se correspondam univocamente, então também no novo sistema a coincidência espaço- temporal de dois pontos-acontecimento se exprimirá pela identidade de valores de cada uma das quatro coordenadas. Como toda a nossa experi6encia física pode, em última análise, ser reduzida a tais coincidências, não há nenhuma razão para dar preferência a determinado sistema de coordenadas em relação a outros, isto é, chegamos ao postulado da covariância geral.

§ 4 Relação das quatro coordenadas com os resultados das medições espaciais e temporais. Expressão analítica para o campo da gravidade.

Não é minha intenção neste artigo apresentar a teoria da relatividade geral como um sistema lógico, simplificado na medida do possível, com um mínimo de axiomas. O meu fim principal é antes desenvolver esta teoria de modo a fazer sentir ao leitor como é psicologicamente natural o caminho que se tomou e como se revelam seguras através da experiência as bases de que se partiu. Com este objetivo em vista, estabeleceremos agora a seguinte premissa:

Desde que se faça uma escolha apropriada de coordenadas, torna-se possível a teoria da relatividade no sentido restrito a domínios quadridimensionais infinitamente pequenos. _ 5Não mencionaremos aqui certas restrições impostas pela exigência da coordenação unívoca e pela da continuidade.

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Nessa escolha deve atribuir-se ao sistema de coordenadas infinitamente pequeno "local" um estado de aceleração tal que fique removido todo e qualquer campo de gravidade: o que para uma região infinitamente pequena é possível. Sejam X1 , X2 , X # , as coordenadas espaciais de tal sis- tema; X4 a respectiva coordenada temporal , medida numa unidade apropriada 6. Estas coordenadas têm para uma dada orientação do sistema de coordenadas, um significado físico direto dentro da te- oria da relatividade especial, desde que se adapte como régua-unidade uma barra rígida. A expressão:

tem então, segundo a teoria da relatividade espacial, um valor que é independente da orientação do sistema de coordenadas local e que é determinável por medição espaço-temporal. Chamaremos a das grandeza do elemento da linha correspondente a pontos infinitamente próximo do espaço qua-

dridimensional. Se o ds2 correspondente ao elemento (dX1dX4) for positivo, nós diremos como

Minkowski que este último elemento é de gênero temporal e no caso contrário de gênero espacial.

Suponhamos que, em vez do sistema "local" de características especiais acima referido, se adapta como referencial um sistema quadridimensional qualquer, definindo-o para a região que estamos considerando. Então, ao nosso " elemento de linha", ou ao respectivo par de pontos-

acontecimento, corresponderão também determinadas diferenciais dx1dx4 das coordenadas desse

referencial. E então os dXv serão representáveis por expressões lineares e homogêneas. dos dxσ :

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