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NOTAS DE AULA DO CURSO DE CALCULO I - 2004.1

Prof. MARCELO MARCHESIN

Capıtulo 1 LIMITE E CONTINUIDADE

DEFINIC AO:Uma funcao real e uma associacao de elementos de um conjunto A, a elementos de um conjuto B.

O conjunto A e chamado de domınio da funcao f e o conjunto B e chamado de contra-domınio de f. No caso em que estaremos trabalhando, a menos que mencionado em contrario, B sera sempre IR, o conjunto de todos os numeros reais, e A sera sempre um subconjunto nao vazio de IR. Por este motivo as funcoes por nos estudadas serao chamadas de funcoes reais.

OBS: 1)E importante que TODO elemento de A seja associado a um elemento de B e que este elemento seja UNICO. Ou seja, um elemento de A nao pode ser associado a mais de um elemento de B, caso contrario dizemos que a relacao f nao define uma funcao.

definida por f(x) = 1x pois nao se pode atribuir um valor matematico a expressao 10

Contudo qualquer sub-conjunto dos numeros reais que nao contenha o 0 podera ser um domınio para esta funcao f. Buscaremos, em geral, o maior sub-conjunto dos numeros reais que sirva como domınio de f. Neste caso diremos que tal conjunto e o domınio natural de f, ou simplesmente O DOMINIO DE f.

OBS: Pode haver dois elementos de A sendo associado ao mesmo elemento de

B e tambem pode ocorrer que sobrem elementos de B sem que a eles tenha sido associado qualquer elemento de A.

Exemplo: 2) Se A = {−2,−1,0,1,2} e B{0,1,2,3,4} entao a funcao f dada por f(x) = x2 associa alguns valores de A a um mesmo valor de B. (Quais valores de A sao associados ao valor 4?). Tambem ocorre que existem valores em B aos quais nenhum valor de A esta associado (Quais?). Quando o valor x de A e associado ao valor y de B dizemos que y e a imagem do valor x pela funcao f, ou em sımbolos: y = f(x). Assim definimos o conjunto Imagem de uma funcao f (Notacao Im f) como sendo os elementos de B aos quais sao associados um ou mais elementos de A pela funcao f. O contra-domınio, B, sempre contem o conjunto Im f. OBS: Lembre-se sempre que uma funcao e constituida de 3 partes: 1) A relacao

funcao apenas com a relacao matematica que a define. Quando isto ocorre suporemos sempre estar considerando f com seu domınio natural e tendo IR por contra-domınio. Contudo em certas situacoes sera importante se lembrar que domınios ou contradomınios distintos dao origem a diferentes funcoes.

Em geral sera importante determinar o domınio natural de uma funcao real. Ou seja: saber dizer qual e o maior sub-conjunto dos numeros reais para os quais faz sentido a expressao matematica que define nossa funcao f. Nos casos mais gerais isto significa excluırmos numeros reais que levem nossa expressao para f a algo que implique em: 1) divisao por zero ou 2) extracao de raiz de ordem par (raiz quadrada, raiz quarta, etc) de numero negativo. Isto se da simplesmente por que tais operacoes ou nao estao definidas matematicamente (primeiro caso) ou nao nos fornecem como resposta um numero real (segundo caso. Lembre-se que estaremos sempre trabalhando com funcoes reais, ou seja que apresentam numeros reais como resultado. Isto e, numero complexo nao esta em nosso universo de trabalho).

EXERCICIOS DE FIXAC AO: Encontre o domınio natural das seguintes funcoes:

1) A funcao identidade: f(x) = x. Em particular este e o mais simples exemplo de uma funcao ımpar. Definicao 1: Dizemos que uma funcao f : IR → IR e ımpar se f(x) = −f(−x) para todo x ∈ IR. Exerc. 1.1: Encontre seu domınio natural e determine seu conjunto imagem. 1.2 Mostre que a funcao identidade e uma funcao ımpar. 1.3 Interprete o que isto significa graficamente. OBS: O grafico da funcao identidade e uma reta que divide ao meio o primeiro e terceiro quadrante do sistema cartesiano.

2) A funcao quadratica f(x) = x2. Em particular este e o mais simples exemplo de uma funcao par. Definicao 2: Dizemos que uma funcao f : IR → IR e par se f(x) = f(−x) para todo x ∈ IR. Exerc. 2.1: Encontre seu domınio natural e determine seu conjunto imagem. 2.2 Mostre que a funcao quadratica e uma funcao par. 2.3 Interprete o que isto significa graficamente.

OBS: A funcao quadratica e comumente estudada no ensino medio, contudo o esboco de seu grafico nos e apresentado com pouco rigor matematico. Um de nossos objetivos neste curso e prover o rigor necessario para se justificar a forma do grafico da funcao quadratica.

3) A funcao raiz quadrada. O sımbolo √ x e, POR DEFINIC AO o UNICO numero real POSITIVO cujo quadrado e x. Assim, ao contrario do que muitos pensam temos que √ 4 = 2 e nao √ 4 = ±2. Com esta definicao temos que a relacao g(x) = √ x define uma funcao, chamada funcao raiz quadrada. Exerc. 3.1 Encontre seu domınio natural e determine seu conjunto imagem. Se √ 4 pudesse ser +2 ou

−2 entao esta relacao g(x) nao definiria uma funcao (por que?).

OBS: Dizer que √ 4 = ±2 e um erro muito comum que vamos tratar de eliminar a partir deste momento. Tal erro decorre do fato de que ao resolvermos a equacao x2 = 4 encontramos como solucao dois valores para x: 2 ou -2 e por isto somos levamos a concluir que √ 4 = ±2. Elucidaremos de vez esta questao assim que apresentarmos a voces a funcao modular, por enquanto acostumem-se com a definicao acima.

4) A funcao modular (ou funcao valor absoluto): f(x) = |x|. Onde o sımbolo |x| e definida por partes como segue abaixo:

Exerc. 4)4.1 Encontre seu domınio natural e determine seu conjunto imagem. 4.2) Calcule:

4.4) Considerando c uma constante positiva, esboce os graficos de (Estude a § 1.3 pag. 38 a 43 do livro texto):

OBS:O VALOR ABSOLUTO COMO NOC AO DE DISTANCIA.Note que | − 3| = |3| = 3 e justamente a distancia que o numero real 3 se encontra da origem da reta que representa os numeros reais. De mesma forma a equacao |x − 1| = 3 nos fornece como solucao o conjunto S = {−2,4} justamente os pontos cuja distancia ate o 1 e tres unidades. Mais geralmente, de mesma forma que

|x| = |x−0| representa a distancia de x ate a origem, |x−xo| representa a distancia de x ate xo. Desta forma a equacao |x−1| = 3 poderia ser relida da seguinte forma: ”Quais sao o valores de x cuja distancia ate o 1 e 3 unidades?”.

Exercıcios: 1)Com a nocao de distancia atribuida a funcao modular acima descreva qual e a propriedade geometrica que caracteriza a solucao das equacoes abaixo. Use tal descricao para encontrar, sem fazer contas, as solucoes de tais equacoes:

Nos casos iv), v) e vi) acima represente o conjunto solucao como intervalos ou uniao de intervalos. 2) Dada uma funcao f qualquer cujo domınio e IR. O que significa geometricamente dizer que dado um numero real > 0 (por menor que queiramos escolhe-lo) existe M > 0 (talvez muito grande pois ele dependera da escolha do tal que se x > M entao |f(x) − 0| < .

3)Dada uma funcao f qualquer cujo domınio e IR. O que significa geometricamente dizer que dado uma constante positiva qualquer M (por maior que seja) existe > 0 (talvez muito pequeno pois ele dependera da escolha do M tal que se |x| < entao f(x) > M.

Considere a funcao: f(x) = 1 x2 com domınio IR∗. O que acontece quando x ”se aproxima indefinidamente”de 0 ? Resp: f(x) cresce indefinidamente!

Como poderıamos demonstrar matematicamente esta afirmacao? Sera que isto poderia ser feito atribuindo-se valores cada vez mais proximos de zeros e analisandose a imagem de tais valores? Quantos valores precisarıamos analisar? Sera que poderıamos ser levados a conclusoes distintas dependendo dos valores escolhidos?

Em portugues: f(x) cresce ilimitadamente a medida que tomamos valores de x suficientemente proximos a zero.

Em ”matematiques”’ : Dado qualquer constante positiva M (por maior que possamos escolhe-la) existe > 0 (talvez muito pequeno pois ele dependera da escolha do M) tal que, se |x| < entao f(x) > M. Perceba que, com a sentenca acima, estamos dizendo que nao importa quao grande seja a constante M escolhida, sempre havera uma regiao proxima ao 0 (excluindo o proprio 0) com a propriedade de que todo x pertencente a esta regiao tem por imagem um valor que supera M. Isto nos leva direto as seguintes definicoes:

OBS:Consideraremos nas definicoes abaixo um ponto xo que nao necessariamente pertenca ao domınio da funcao f, contudo deve ser possıvel se encontrar um intervalo aberto centrado em xo, ”perfurado em xo”, totalmente contido no domınio de f. Isto se faz necessario para que se possa tomar valores de x arbitrariamente proximos de xo. A exclusao do ponto xo se justifica pois estamos interessados no comportamento da imagem de pontos proximos a xo mas diferentes deste. Na ver- dade, no estudo de limite siquer nos interessa saber se o ponto xo pertence ou nao ao domınio da funcao analisada. Situacao diferente enfrentaremos quando estudarmos continuidade de uma funcao em um ponto xo.

DEF. 1 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo ”Notacao:

lim x→xo f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distancia ate o ponto xo for

x2. Mostre, pela definicao que lim x→0

RESOLUC AO: Devemos mostrar que dado M > 0 qualquer, existe (pelo menos

Tudo o que foi feito para a funcao acima, que cresce de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo, pode ser feita de forma totalmente analoga para funcoes que decrescem de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo. Isto justifica a seguinte definicao:

DEF. 2 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo

”Notacao: lim x→xo f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distancia ate o ponto xo for menor que tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < |x − xo| < entao f(x) < −M.

Se analisarmos, de mesma forma, o comportamento da funcao f(x) = 1x quando x se aproxima de 0 notaremos que tal comportamento quando x se aproxima de xo por valores maiores que xo e diferente do comportamento de f(x) quando x se aproxima de xo por valores menores que xo. No primeiro caso ela cresce ilimitadamente (nos dizemos: diverge para +∞) e no segundo caso ela decresce ilimitadamente (nos dizemos: diverge para −∞). Este fato justifica as definicoes abaixo, chamadas de limites laterais, que levam em consideracao por quais dos lados x se aproxima de xo na reta real.

DEF. 3 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo pela direita”Notacao: lim f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x maior que xo cuja distancia ate o ponto xo for menor que tem por imagem um valor maior que M. Ou seja: Se 0 < x − xo < entao f(x) > M.

DEF. 4 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo pela es- querda ”Notacao: lim f(x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x menor que xo cuja distancia ate o ponto xo for menor que tem por imagem um valor maior que M. Ou seja: Se 0 < xo − x < entao f(x) > M.

DEF. 5 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo pela direita”Notacao: lim f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x maior que xo cuja distancia ate o ponto xo for menor que tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < x − xo < entao f(x) < −M.

DEF. 6 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo pela esquerda ”Notacao: lim f(x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva

M, formos capazes de mostrar a existencia de > 0 tal que todo x menor que xo cuja distancia ate o ponto xo for menor que tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < xo − x < entao f(x) < −M.

Exerc. 6: Mostre, utilizando a definicao conveniente,os seguinte limites:

iv) lim

Se analizarmos novamente o comportamento da funcao f(x) = 1x agora quando x assume valores cada vez maiores perceberemos que f(x) assume valores positivos cada vez mais proximos de 0 bastando para isto que tomemos valores de x suficientemente grandes. De mesma forma, fazendo-se a analise do comportamento da mesma funcao quando x assume valores cada vez menores (x → −∞) perceberemos que f(x) assume valores negativos cada vez mais proximos de 0 bastando para isto que tomemos valores de x suficientemente pequenos. Muitas outras funcoes tem comportamento similar quando x → ±∞ o que justifica as seguintes definicoes:

DEF. 7 Dizemos que ” f(x) tem limite L quando x tende a ∞ ”Notacao:

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