Tópicos de Cálculo II

Tópicos de Cálculo II

(Parte 1 de 6)

Claudio Martins Mendes Segundo Semestre de 2005

Sumario

1.1 Definicoes - Propriedades2
1.2 Movimentos no Espaco3

1 Funcoes com Valores Vetoriais 2 1

Capıtulo 1

Funcoes com Valores Vetoriais

Ate aqui trabalhamos com funcoes f : R → R . Estudaremos agora funcoes com valores vetorias. As mesmas sao uteis para descrever superfıcies e curvas espaciais. Sao tambem uteis para descrever o movimento de objetos no espaco.

1.1 Definicoes - Propriedades

lim t→a

Observe que

Faremos a prova de (i). As outras serao deixadas como exercıcio. Prova de (i):

= F(t) q G′(t) + F′(t) q G(t) . Passaremos a nos utilizar de funcoes do tipo acima para estudar os movimentos no espaco.

1.2 Movimentos no Espaco

Para descrever o movimento de uma partıcula no espaco precisamos explicar onde a partıcula esta em cada instante de tempo t de um certo intervalo. Assim, a cada instante t no intervalo considerado I , corresponde um ponto γ(t) e o movimento e descrito por uma funcao γ : I → R3 .

y x

Definicao 1.2.1. Uma curva no R3 e uma aplicacao contınua γ : I → R3 , onde I e um intervalo da reta.

sao chamadas equacoes parametricas de γ .

Como vimos, a funcao vetorial γ tem derivada γ′(t) em t ∈ I se

Definicao 1.2.2. γ : I → R3 uma curva. Traco de γ e a imagem do intervalo I por γ . γ e dita diferenciavel de classe Cr se γ1 , γ2 ,γ3 o forem em I .

A figura a seguir mostra que o vetor γ(t + h) − γ(t) h tem a direcao que, conforme h tende a zero, aproxima-se da direcao que costumamos chamar a direcao tangente a curva γ em γ(t).

yo x

A derivada γ ′(t) se existe e e diferente do vetor nulo e chamada o vetor tangente a γ em γ(t). Ele e usualmente representado com a origem em γ(t), como na figura.

Exemplos:

B q

5pi

B q

Compare com o exemplo 1. Note que diferentes curvas podem ter o mesmo traco.

4. Curvas podem ser, em geral, muito arbitrarias. Por exemplo, existe uma curva contınua, a curva de Peano, cujo traco e o quadrado [0,1] × [0,1] ⊂ R2 (Para maiores detalhes o leitor pode consultar o Livro de Elon Lages Lima, Elementos de Topologia Geral , pg.252)

Muitas vezes chamamos o vetor γ ′(t) como o vetor velocidade. Isto tem sentido pois estamos entendendo uma curva como o movimento de uma partıcula no espaco. Esse movi-

para h pequeno, e a velocidade media de γ no intervalo de t a t + h. Se γ ′(t) existe, nao e difıcil provar que

De fato: Notemos que

Assim ‖γ ′(t)‖ e um limite de velocidades medias sobre intervalos arbitrariamente pequenos. Por esta razao ‖γ ′(t)‖ e chamado a velocidade de γ no ponto γ(t) e γ ′(t) e dito o vetor velocidade de γ no ponto γ(t).

Definicao 1.2.3. Uma curva γ : I → R3 e dita regular (ou suave) se for diferenciavel de

Definicao 1.2.4. γ : [a,b] → R3 e dita regular por partes (ou suave por partes ) se existir uma particao finita de [a,b] em subintervalos tal que a restricao de γ a cada subintervalo seja regular. γ e dita fechada se γ(a) = γ(b). Se γ e fechada e o seu traco nao se intercepta em nenhum outro ponto entao γ e dita curva fechada simples.

simples Fechada simples Fechada nao

Exemplos:

µR q

Obs. Note a diferenca entre traco de curva e grafico de f : R → R.

Um resultado que temos e o seguinte: uma curva regular (ou suave) nao tem bicos (quinas).

De fato: Uma curva regular e tal que o vetor tangente varia de maneira contınua. Em um bico (quina) a mudanca do vetor tangente so pode ser contınua se no bico ele for nulo (contra a regularidade da curva).

p ppp6 -

Iremos agora fazer uma convencao:

Resolucao:

Observe: Se ‖γ(t)‖ e constante entao a extremidade de γ(t) se desloca sobre uma superfıcie esferica de centro na origem. O vetor tangente γ ′(t) e sempre ortogonal a um raio da esfera.

2. A figura abaixo e descrita por um ponto P sobre uma circunferencia de raio a que rola sobre o eixo x. Esta curva e chamada cicloide. Determinar uma parametrizacao dela.

µr r

r p Kta yP C Q x y o A B

Seja P(x,y). Dando um ”zoom”:

asent Q(at,y) acost a t K

Assim: dx

dt = asen t, que sao funcoes contınuas. Ainda, estas se anulam em t = 2npi , ∀n ∈ N. Logo a cicloide nao e suave.

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