Teoria de erros

Medida experimental sempre existem erros

Valor verdadeiro do resultado é sempre desconhecido

Erro: diferença entre o valor verdadeiro e o valor medido desconhecido

Incerteza: melhor estimativa do erro

Tipos de erros:

  • Estatísticos

-Variação aleatória das condições de medida (temp, vento, paralaxe)

-Podem ser minimizados repetindo a medida várias vezes (erro aleatório)

  • Sistemáticos

-Má calibração do instrumento (erro do zero)

-Mau uso do instrumento (às vezes chamamos este de erro grosseiro)

-Ambiental (temperatura, pressão, campo magnético terrestre, …)

-Observacional (paralaxe)

-Usuário (tempo de reação com o cronômetro, más condições experimentais com régua, trena o erro aumenta)

-Precisão do instrumento/aparelho de medida (sempre existe)

  • Grosseiros

Erros estatísticos:

n medidas x1, x2, …, xn de uma mesma gandeza (n>1)

 = média dos xi = (xi )/n

 = desvio padrão dos xi = (((xi - )2)/n-1 )1/2 (cuidado com n-1!!)

= incerteza da média = /(n)1/2

Cuidado com a confusão entre  e  !!!

Erros sistemáticos:

  • Aparelho/instrumento (multímetro, …): ler o manual.

  • Régua, micrômetro: metade da menor divisão (deve-se estimar o algarismo entre as graduações).

  • Paquímetro: menor leitura (nônio de 50 graduações: 0.02mm)

  • Para os outros erros sistemáticos: minimizar o efeito, tentar corrigir os dados ou estimar a incerteza

Como encontrar a incerteza padrão p (“erro total da medida”)??

2p = 2est + 2sist

 X  p

Propagação de errros:

Quando a grandeza não foi medida mas é uma função de outras grandezas medidas:

F=F(x1, x2, … xn) e 1, 2, …n são conhecidos

2F = (F/xi )22xi

exemplo:

I = V / R e V, R, V e R são conhecidos. Como achar I ?

Fórmulas simples:

F = x y 2F = 2x + 2y

F = a x y ou a x / y (F / F)2 = (x / x )2 + (y / y )2

F = a x y ou a x / y (F / F)2 = (x / x )2 + (y / y )2

Apresentação final do resultado e da sua incerteza padrão:

X  X

  • X possui um único algarismo significativo e foi truncado e arredondado corretamente

  • X possui um número de algarismos significativos compatível com X, quando os dois são expressos da mesma maneira e nas mesmas unidades

Algarismo correto: aquele que está certo na medida

Algarismo duvidoso: aquele que poder variar na medida

Algarismos significativos: todos os corretos mais o primeiro duvidoso.

Gráficos:

Servem para substituir/representar um conjunto de números

 devem ser simples de interpretar

Colocar um título

Escolher dois eixos, com nome e unidade

Escolher uma escala simples (fatores de escala 1, 2 ou 5), com alguns traços e números simples

Otimizar a ocupação da folha

Colocar os dados experimentais com as barras de erro (x)

Coef. angular no papel milimetrado

Desenhar a melhor reta passando no meio dos dados. A partir deste momento, esquecer os dados e só considerar a reta.

y = a x + b

Se dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) pertencem à reta eles satisfazem a equação

y1 = a x1 + b (eq. 1)

y2 = a x2 + b (eq. 2)

Fazendo (eq. 2) – (eq. 1) y2 – y1 = a (x2 – x1)

 a = coef. angular = (y2 – y1)/(x2 – x1) = y/x

b = coef. linear = ponto onde a reta cruza o eixo x = 0

Nunca usar a régua para encontrar y ou x, mas sim os dados numéricos da reta do gráfico. Com a régua, o coef. angular dependerá da escala escolhida.

Como achar o erro do coef. angular?

  • Desenhar duas retas que cercam a maioria dos dados e suas barras de erro (chamadas retas “paralelas”).

  • Conectar as extremidades destas duas retas para definir uma reta com coef. angular máximo e uma com coef. angular mínimo. Esta são chamadas de reta máxima e mínima

  • Calcular o coef. angular da reta máxima e mínima, chamados coef. ang. max. e coef. ang. min.

  • O coef. angular médio = (coef. ang. max. + coef. ang. min.)/2 e deve ser parecido com aquele determinado pela reta média do gráfico

  • O erro do coef. ang. médio = (coef. ang. max. – coef. ang. min.)/2

  • Usar o mesmo procedimento para encontrar o coef. linear e seu erro coef. lin. médio = (coef. lin. max. + coef. lin. min.)/2erro do coef. lin. médio = (coef. lin. max. – coef. lin. min.)/2

Papel mono-log:

y = b e ax

No papel milimetrado esta função não é uma reta!!!

Precisa-se linearizá-la, pegando o log dos dois lados

Log(y) = log(b) + a log(e) x que agora é uma reta

Outra possibilidade é usar o papel mono-log, colocando y no lado logarítmico do papel e x no lado linear.

Cuidado com a escala logarítmica

  • Não tem zero

  • É repetitiva e cada periodo deve começar por uma potência de 10

Procede-se da mesma maneira para obter o coef. angular e o erro dele neste papel

Coef. angular = A = a log(e) = (log(y2) – log(y1))/(x2-x1)

= (log(y2/y1))/x

O coef. linear é o ponto onde a reta cruza o eixo x=0 (como no papel milim.)

Papel di-log:

y = b xa

No papel milimetrado esta função não é uma reta!!!

Precisa-se linearizá-la, pegando o log dos dois lados

Log(y) = log(b) + a log(x) que agora é uma reta

Outra possibilidade é usar o papel di-log.

Coef. angular = a = (log(y2) – log(y1))/(log(x2)-log(x1))

= (log(y2/y1))/log(x2/x1)

O coef. linear é o ponto onde a reta cruza o eixo x=1 (pois log(1)=0)

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