Circuitos Trifásicos Apo

Circuitos Trifásicos Apo

(Parte 1 de 4)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia de Energia e Automação Elétricas

CIRCUITOS TRIFÁSICOS Código: 3F

1.2 Definições Gerais ………………….………………………………………………….1
1.3 Obtenção de Sistemas Polifásicos - Seqüência de Fase ………………………...2

1. INTRODUÇÃO …………………………………………………………..………………….1 1.1 Preâmbulo ……………………………….………………………………………………….1 1.4 Operador …………….…………….……………………………..…………………….4 α

2. SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS ………......…….5
2.2 Ligações em Estrela ……………………………………………….………………….5

2.1 Introdução ……………………………….………………………………………………….5 2.3 Relação entre os Valores de Linha e Fase para Ligação Estrela …….……….7

2.4 Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela ………………….12

2.5 Ligações em Triângulo ……………………………………………..…………………17 2.6 Relação entre os Valores de Fase e de Linha para a Ligação Triângulo ..…18 2.7 Resolução de Circuitos Trifásicos em Triângulo ……………………………..…21

3. POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS …….……………..………………….25

3.1 Introdução ………………………………………………….………………………….…25

3.2 Expressão Geral da Potência em Sistemas Trifásicos …….….…………….…28 3.3 Medida de Potência em Sistemas Polifásicos - Teorema de Blondel ………34

4. EXERCÍCIOS …………………………………………………….………..………………35

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos 1. INTRODUÇÃO

1.1 Preâmbulo

desequilibradas

As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram no final do século XIX, e, inicialmente, destinavam-se exclusivamente ao suprimento de sistemas de iluminação. A utilização destes sistemas para o acionamento de motores elétricos fez com que as "companhias de luz" se transformassem em "companhias de força e luz". Estes sistemas operavam em baixa tensão e em corrente contínua, e foram rapidamente substituídos por linhas monofásicas em corrente alternada. Dentre os motivos que propiciaram essa mudança, podemos citar: (i) o uso dos transformadores, que possibilitou a transmissão de energia elétrica em níveis de tensão muito maiores do que aqueles utilizados na geração e na carga, reduzindo as perdas no sistema, permitindo a transmissão em longas distâncias; e (i) o surgimento dos geradores e motores em corrente alternada, construtivamente mais simples e mais baratos que as máquinas em corrente contínua. Dentre os sistemas em corrente alternada, o trifásico tornou-se o mais conveniente, por razões técnicas e econômicas (como a transmissão de potência com menor custo e a utilização dos motores de indução trifásicos), e passou a ser o padrão para a geração, transmissão e distribuição de energia em corrente alternada. Por outro lado, as cargas ligadas aos sistemas trifásicos podem ser trifásicas ou monofásicas. As cargas trifásicas normalmente são equilibradas, ou seja, são constituídas por três impedâncias iguais, ligadas em estrela ou em triângulo. As cargas monofásicas, como por exemplo as cargas de instalações residenciais, por sua vez, podem introduzir desequilíbrios no sistema, resultando em cargas trifásicas equivalentes

Neste texto vamos definir os sistemas polifásicos e estudar em particular os sistemas trifásicos. Inicialmente, vamos apresentar algumas definições importantes, que serão utilizadas ao longo de todo o texto. Em seguida iremos apresentar métodos de cálculo para a análise de circuitos trifásicos alimentando cargas trifásicas equilibradas, ligadas através das duas formas possíveis, em estrela e em triângulo. Em continuação, iremos estudar potência em sistemas trifásicos. Definiremos os conceitos de potência ativa, reativa e aparente, e métodos para a sua medição e análise.

1.2 Definições Gerais

Definimos como “sistema de tensões polifásico e simétrico” (a n fases) um sistema de tensões do tipo: eE M1 = cosωt

coseE t n

onde n é um número inteiro qualquer não menor que três. Em particular, quando n=3,dizemos que o sistema é trifásico.

Da definição de sistema polifásico, observamos que tais sistemas são constituídos por um conjunto de n cossenóides de mesmo valor máximo, E , e com uma defasagem de 2π/n rad entre duas tensões sucessivas quaisquer. M

As tensões e correntes nos sistemas trifásicos são representadas por fasores. Isto é, podemos representar o sistema trifásico:

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos eE t e E e eE t e E e e eE t E t e E e e

M jt

M j t

M M j t

−cos cos cos cos pelos fasores

em que EEM=2 representa o valor eficaz da tensão.

Ao longo deste texto iremos apresentar métodos para a solução de circuitos trifásicos em diversas condições, envolvendo as tensões no início do sistema (nos terminais dos geradores), as linhas utilizadas para a transmissão da energia até a carga, e a carga conectada no final da linha. Para tanto, definimos:

(1-a) - Sistema de tensões trifásico simétrico: sistema trifásico em que as tensões nos terminais dos geradores são senoidais, de mesmo valor máximo, e defasadas entre si de 2 rad ou 1 elétricos; 3π / 20°

(1-b) - Sistema de tensões trifásico assimétrico: sistema trifásico em que as tensões nos terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma das condições apresentadas em (1-a);

(2-a) - Carga trifásica equilibrada: carga trifásica constituída por 3 impedâncias complexas iguais, ligadas em estrela ou em triângulo;

(2-b) - Carga trifásica desequilibrada: carga trifásica na qual não se verifica a condição descrita em (2-a).

1.3 - Obtenção De Sistemas Polifásicos - Seqüência De Fase

Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular constante, no interior de um campo magnético uniforme, surge uma tensão senoidal cuja expressão é

, ()eEtM=+cosωθ em que θ representa o ângulo inicial da bobina. Ou melhor, adotando-se a origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução, θ representa o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante t=0.

Assim, é óbvio que, se dispusermos sobre o mesmo eixo três bobinas deslocadas entre si de 23 e girarmos o conjunto com velocidade angular constante, no interior de um campo magnético uniforme, obteremos nos seus terminais um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si de π rad

23πrad, conforme Fig. 1.

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos

(a) - Bobinas do gerador (b) - Valores instantâneos das tensões Figura 1. Obtenção de um sistema trifásico de tensões

Definimos, para um sistema polifásico simétrico, “seqüência de fase” como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo. Por exemplo, no sistema trifásico da Fig. 1, a seqüência de fase é A-B-C, uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo na ordem A-B-C. Evidentemente, uma alteração cíclica não altera a seqüência de fase, isto é, a seqüência A-B-C é a mesma que B-C-A e que C-A-B. À seqüência A-B-C é dado o nome “seqüência direta” ou “seqüência positiva”, e à seqüência A-C-B, que coincide com C-B-A e B-A-C, dá-se o nome de “seqüência inversa” ou “seqüência negativa”.

as tensões V e V . &A& B

SOLUÇÃO: Sendo a seqüência de fase B-A-C, a primeira tensão a passar pelo valor máximo será v, a qual será seguida, na ordem, por v e v . Portanto, deverá ser: B A C

Chegaríamos ao mesmo resultado raciocinando com o diagrama fasorial. De fato, lembramos que o valor instantâneo de uma grandeza cossenoidal é dado pela projeção do fasor que a representa (utilizando como módulo o valor máximo) sobre o eixo real, fazendo com que os fasores girem no sentido anti-horário com velocidade angular ω (vetores girantes). Evidentemente, poderemos imaginar os vetores girantes fixos e o eixo real girando com velocidade angular ω no sentido horário. Em tais condições, a origem deverá sobrepor-se consecutivamente a V (Fig. 2), ou seja, V está adiantado de 12 sobre V , e este está adiantado de 12 sobre V . Portanto deverá ser:

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos

Figura 2. Diagrama de fasores para o Ex. 1

1.4 - Operador α

Ao definirmos os sistemas trifásicos, vimos que, entre as grandezas que os caracterizam, há uma rotação de fase de ±; portanto é bastante evidente que pensemos num operador que, aplicado a um fasor, perfaça

α, que é um número complexo de módulo unitário e argumento 1, de modo que, quando aplicado a um fasor qualquer, transforma-o em outro de mesmo módulo e adiantado de 1. Em outras palavras, 20° 20°

|j (1.2)

No tocante à potenciação, o operador α possui as seguintes propriedades:

que é muito importante e será amplamente utilizada neste texto.

EXEMPLO 2 - Calcular o valor de αα2− .

SOLUÇÃO: Da definição do operador α, temos:

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos

2Figura 3. Determinação gráfica de αα−

2 - SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA - LIGAÇÕES

2.1 - Introdução

Nos sistemas trifásicos são utilizadas linhas a três ou quatro fios para a alimentação das cargas a partir dos geradores. Ora, do eletromagnetismo sabemos que haverá um acoplamento magnético entre estes fios quando um ou mais forem percorridos por corrente. Assim, a passagem de corrente senoidal em qualquer um destes fios irá induzir tensões também senoidais nos demais. Para a resolução de circuitos, em sistemas de potência, este efeito é representado através da definição de indutâncias mútuas entre os fios. No caso geral, a resolução de circuitos trifásicos com indutâncias mútuas é relativamente complexa, pois o sistema pode tornar-se desequilibrado. Para facilitar o entendimento dos métodos de cálculo, neste texto vamos desconsiderar a existência de indutâncias mútuas, ressaltando que no caso particular em que tais indutâncias sejam iguais tudo o que se apresentará continua válido, pois o sistema mantém-se equilibrado.

2.2 - Ligações Em Estrela

Suponhamos que sejam alimentadas, a partir dos terminais das três bobinas do item precedente, três impedâncias quaisquer, Z, porém iguais entre si (carga equilibrada). É evidente que os três circuitos assim constituídos (Fig. 4) formam três circuitos monofásicos, nos quais circularão as correntes:

EZ EjZ E Z

Isto é, nos três circuitos circularão correntes de mesmo valor eficaz e defasadas entre si de 23πrad (ou 120)°.

Observamos que os três circuitos são eletricamente independentes, e portanto podemos interligar os pontos

NA, NB e NC, que designaremos por N sem que isso venha a causar qualquer alteração nos mesmos. Por outro lado, observamos que os pontos N estão ao mesmo potencial que o ponto N; logo, podemos interligá-los designando-os por ′.

′′NAB , e ′C N

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A corrente que circula pelo condutor N é dada por ′

pois as três correntes aferentes ao nó ′ têm o mesmo valor eficaz e estão defasadas entre si de 2π/3 rad. Frisamos que poderíamos ter chegado à mesma conclusão observando que os pontos N e ′N estão no mesmo potencial.

(a) - Três circuitos monofásicos

(b) - Circuito trifásico Figura 4. Sistema trifásico com gerador e carga ligados em estrela

O condutor que interliga os pontos N e ′N recebe o nome de fio neutro ou quarto fio. Evidentemente, sendo nula a corrente que o percorre, poderia ser retirado do circuito.

Podemos aqui observar uma das grandes vantagens dos sistemas trifásicos. Para a transmissão da mesma potência, são utilizados 3 ou 4 fios, enquanto seriam necessários 6 fios se fossem utilizados 3 circuitos monofásicos (conforme podemos observar na Fig. 4).

Ao esquema de ligação assim obtido é dado o nome de circuito trifásico simétrico com gerador ligado em "estrela" (Y) e carga "equilibrada em estrela" (Y), dando-se o nome de "centro-estrela" ao ponto N ou ′N.

Definimos:

(1) Tensão de fase: tensão medida entre o centro-estrela e qualquer um dos terminais do gerador ou da carga;

(2) Tensão de linha: tensão medida entre dois terminais (nenhum deles sendo o "centro-estrela") do gerador ou da carga. Evidentemente, podemos definir a tensão de linha como sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga;

(3) Corrente de fase: corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou, o que é o mesmo, corrente que percorre cada uma das impedâncias da carga;

(4) Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à carga (exclui-se o neutro).

Salientamos que as tensões e correntes de linha e de fase num sistema trifásico simétrico e equilibrado têm, em todas as fases, valores eficazes iguais, estando defasadas entre si de 2π/3 rad. Em vista deste fato, é evidente que a determinação desses valores num circuito trifásico com gerador em Y e carga em Y, resumese à sua determinação para o caso de um circuito monofásico constituído por uma das bobinas ligada a uma

PEA - Eletrotécnica Geral Circuitos Trifásicos das impedâncias por um condutor de linha, lembrando ainda que a intensidade de corrente no fio neutro é nula.

Em tudo o que se segue, indicaremos os valores de fase com um índice F e os de linha com índice L ou sem índice algum.

2.3 - Relação Entre Os Valores De Linha E Fase Para Ligação Estrela

De acordo com as definições apresentadas no item precedente, podemos preencher a Tab. 1, na qual apresentamos todos os valores de linha e de fase para o circuito da Fig. 4-b.

Tabela 1. Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em estrela

Valores de fase Valores de linha

Gerador Carga Gerador Carga Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão

Passemos agora a determinar as relações existentes entre os valores de fase e de linha. Iniciamos por observar que, para a ligação estrela, as correntes de linha e de fase são iguais, isto é,

&&&&&&IIIIIIANABNBCNC==,, =

Para a determinação da relação entre as tensões, adotaremos um trifásico com seqüência de fase direta, ou seja,

As tensões de linha são dadas por

Utilizando matrizes, temos &

Salientamos porém que

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Portanto &

Da Eq. (2.1), observamos que, para um sistema trifásico simétrico e equilibrado, na ligação estrela, com seqüência de fase direta, passa-se de uma das tensões de fase à de linha correspondente multiplicando-se o fasor que a representa pelo número complexo

Podemos chegar às mesmas conclusões graficamente, utilizando o diagrama de fasores. De fato, Vé dado pela soma de Vcom . Construímos, na Fig. 5, o fasor V e procedemos à soma

graficamente. Note-se que o triângulo MOP é igual ao NOP e é isósceles; portanto o ângulo PÔM é a metade de MÔN, que vale 6. Finalmente, o módulo do fasor Vé dado por

Analogamente, determinam-se as demais tensões de linha.

Devemos salientar que, em se tratando de trifásico com seqüência de fase inversa, passa-se de uma das tensões de fase à correspondente de linha multiplicando-se o fasor que representa aquela grandeza por conforme se pode observar do diagrama de fasores da Fig. 6.

Figura 5. Obtenção das tensões de linha a partir das de fase. Seqüência de fase direta 8

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Figura 6. Relação entre os valores de fase e linha para um trifásico simétrico com seqüência de fase inversa, ligação em estrela

Analiticamente, teremos

Mas e portanto, &

No caso da determinação das tensões de fase conhecendo-se as de linha, surge uma indeterminação. De fato, supondo-se uma seqüência de fase direta, os valores representam uma terna de fasores de tensões de fase que satisfazem aos dados de linha. Sendo Vuma tensão qualquer, os valores também satisfazem as condições impostas, pois 9

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Ora, sendo o valor de Vqualquer, existem infinitos valores de tensões de fase aos quais corresponde uma única terna de valores de linha. No entanto, salientamos que existe uma única terna de valores de fase que constitui um trifásico simétrico. A componente Vrepresenta uma tensão que é somada aos valores de fase, e portanto representa um deslocamento do centro-estrela em relação à terra. De fato, as tensões dadas podem ser representadas por um gerador de f.e.m. V ligado entre a terra e o centro-estrela de três

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