Baixe Circuitos Magnéticos Apo e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Eid am e ei 008 4 mc PEA 2290 Dr. José Roberto Cardoso da Prof. =<[OZUWUE=00Gh Oo=TLOD)D==FEOOD VI- MAGNETOSTÁTICA VL.1 INTRODUÇÃO Talvez um dos dias mais importante da humanidade, foi aquele em que Hans Christian Oersted, professor da Universidade de Copenhagen, descobriu em 1820, durante uma aula de laboratório de circuitos elétricos, a ligação entre o Magnetismo e a Eletricidade, contrariando as previsões, muito convincentes de Coulomb, que estas ciências não poderiam interagir. A publicação de suas experiências, em latim clássico, provocou uma explosão de atividades científicas na ocasião. Outros pesquisadores, como Ampere e Henry perceberam que esta descoberta colocava o Eletromagnetismo, nome dado a esta nova ciência, numa posição tal que poderia mudar o mundo de forma tão abrangente como aquela produzida pela máquina a vapor. Isto foi confirmado pouco tempo depois com a invenção do motor elétrico. O grande passo para aquele objetivo foram os estudos subsequentes envolvendo a produção de campos magnéticos em estruturas ferromagnéticas, as quais, devido à alta permeabilidade daqueles materiais, possibilitaram o estabelecimento de campos magnéticos elevados. A primeira aplicação das estruturas ferromagnéticas foi à construção dos eletroímãs, cuja primeira demonstração de seu funcionamento ocorreu em 23 de Maio de 1825 na Royal Society of Arts por seu criador William Sturgeon. Utilizando uma barra cilíndrica de ferro curvada e envernizada, Sturgeon a envolveu com uma bobina condutora de fios não isolados, conseguindo levantar uma massa de 3600 gramas. Foi um feito brilhante para o seu tempo. Para sua infelicidade, James Prescott Joule estava entre seus alunos, o qual observando o trabalho do mestre, identificou alguns erros e reconstruiu o eletroímã, conseguindo levantar, com a mesma estrutura, uma massa de 20 kg. O erro de Sturgeon foi ter utilizado na confecção do eletroímã fios condutores não isolados, diminuindo em muito a eficiência da bobina. Inconformado em ter sido superado por um discípulo, Sturgeon construiu em 1830 um eletroímã capaz de levantar 550 kg, corrigindo os defeitos do primeiro. Mas nesta altura dos acontecimentos ele já tinha um rival do outro lado do Atlântico, Joseph Henry da Universidade de Yale. Henry construiu um eletroímã de apenas 300 kg capaz de levantar uma tonelada. Em 1840, Joule novamente, construiu um novo tipo de eletroímã completamente diferente dos anteriores, o qual possuía mais de dois pólos, que aumentou em muito a capacidade de levantamento. Este eletroímã, de VI.3 CIRCUITO MAGNÉTICO Para o entendimento do conceito de circuito magnético, vamos calcular o fluxo magnético produzido no interior de um toróide por uma bobina de N espiras percorrida por uma corrente contínua 1, como mostrado na Fig. VI-1: Fig. VI-1 Campo produzido no toróide Na mesma figura, está mostrada também a geometria das linhas de campo magnético, com seu respectivo sentido obtido a partir da aplicação da regra da mão direita ao sentido da corrente elétrica. A própria geometria do problema permite concluir que a amplitude do vetor intensidade magnética (HD), sobre qualquer linha de campo no interior do toróide é constante, apenas sua direção é diferente ao longo da linha de campo, na medida em que este vetor, em cada ponto desta linha de campo, é tangente a ela. A determinação da amplitude do vetor intensidade magnética é obtida a partir da segunda equação de Maxwell, não considerando a presença da corrente de deslocamento, na medida em que o enrolamento do toróide é alimentado por corrente contínua, isto é: fd = [Lab (6.1) Escolhendo uma linha de campo de raio a <r <b como sendo o contorno C da do primeiro membro da equação 6.1, o segundo membro da mesma equação, correspondente a corrente concatenada com o referido contorno, será igual ao produto Ni, denominado força magneto-motriz (Fmm)da bobina. Assim podemos escrever: pai = Ni (6.2) Como discutido anteriormente, a amplitude de (é constante sobre C, de modo que a equação (6.2) pode ser reescrita como segue: H$di=Ni (6.3) A integral de linha do primeiro membro é igual ao perímetro do contorno C, resultando, finalmente: H27nr = Ni (6.4) ou ainda: Ni H=— o (65) Este resultado só é válido para a <r <b, pois fora desse domínio (r<a er>b), o campo magnético é nulo. 505 A partir da relação constitutiva B = yu H obtemos o campo magnético o interior toróide, que resulta: uNi B="— (6.6) 2ar A Fig. VI2 mostra o comportamento do campo magnético no interior do toróide em função da sua distância em relação ao centro. Di hi cm cu caju mm 27h I I I a b Fig. VI.2 — Comportamento de B em função de r Suponhamos agora que as dimensões do toróide são tais que d <<a, ou seja, as dimensões da seção de passagem do fluxo magnético são bem menores que as dimensões do dispositivo. Esta característica é comum na maioria dos dispositivos elétricos, tais como: os transformadores, os geradores e motores elétricos, etc. Nestas condições, a variação do campo magnético no interior do toróide não é sensível, e por esta razão o campo magnético pode ser considerado “praticamente” constante no seu interior. Podemos então tomar as seguintes decisões: 1. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual 2... . . Z 1 ao seu valor máximo obtido em r=a, isto é: B= uni 2ma 2. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual uNi ao seu valor mínimo obtido em r=b, isto é: B= a ou, 3. Considerar o campo magnético no interior do toróide constante e igual a um valor intermediário entre seus valores máximo e mínimo. Não resta dúvida que a última decisão é a mais razoável, na medida em que é aquela que levará a um menor erro de aproximação. É razoável também, escolher como constante o valor do campo magnético no interior do toróide aquele obtido no raio médio do dispositivo, isto é, B= B(ryp), No qual rp = (a+b)/2. Assim sendo, para todos os efeitos, o campo magnético na seção transversal do toróide será constante é igual a: B=8N (67) Nye O fluxo magnético & através da seção transversal do dispositivo é dado por: 6 = [bas (6.8) Como as linhas de campo magnético são perpendiculares à seção transversal e o seu valor é constante nesta mesma seção, a equação (6.8) pode ser escrita como segue: 4=B.S (6.9) Substituindo-se B pelo seu valor indicado em (6.7), resulta: — MUNIS o 2Nrwep Ou ainda, Ni TT (6.10) us Na qual /=27mr,,p» representa o comprimento médio das linhas de campo magnético e coincide com o comprimento médio do toróide. Neste ponto, é conveniente compararmos o resultado obtido em (6.10), com aquele obtido no cálculo da corrente elétrica do circuito da Fig. VI.3. d= cusousunm y & E ASA IOTVE6 | (a) (b) Fig. VI.6 — Linhas de campo mhgnético num reator (a) Permeabilidade magnktica do núcleo paixa (b) Permeabilidade magnktica do núcleo plevada Kodus Resdts Quertity: Epá us Veto 4 asTIsES nº / AD2NES Vamos admitir, até manifestações contrárias, que a permeabilidade magnética dos núcleos é suficientemente elevada para que possamos desprezar os fluxos de dispersão. Dessa forma, o circuito elétrico análogo para o reator mostrado na Fig. VI-5 será idêntico aquele mostrado na Fig. VI.4, sendo que para o cálculo da relutância são utilizadas as seguintes grandezas, como mostra a Fig.VI.7: !: Comprimento médio da estrutura; S: Área da seção transversal de passagem do fluxo. OM i —>» o A » N a espiras CH Ss o Fig. VL.7 — Grandezas para cálculo da relutância EXERCÍCIO 6.1: O reator mostrado na Fig. VI8 foi construído com um material magnético de permeabilidade relativa 1, =3000. A bobina de excitação possui 200 espiras. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação necessária para estabelecer uma densidade de fluxo magnético 1,2Wb/n?. É dada a permeabilidade do vácuo 1, = 47107 (H /m). 10 5 20 5 He ====——————— T ! VH 2, Nai 200 ! & LL b espiras i a na! ! L==DD>D>>0>—— [Tr A Fig. VI.8 — Exercício 6.1 — Dimensões em cm Solução: A solução do problema se resume em montar o circuito elétrico análogo do problema magnético. Assim, para este caso temos: 1=2.(2,5+20+2,5)+2.(20-2.2,5)=80 cm ou 0,8m $=5.10=50 cm? ou 50.10'm Como consegiiência resulta: ao 1 08 “uS 300047107 50.10 Sendo B=1,2Wb/m?, obtém-se q = B.S =1,2.50.10* = 60.10“Wb. Dessa forma, o circuito elétrico análogo é dado por: = 42,44.10º (Aesp/Wb) d=60x10“wb > — 3-200i R=42.44x10'(Aesp/ws) nt I Fig. VIL.9 — Circuito elétrico análogo Da análise do circuito da Fig. VI.9, obtemos: Ni=Ró Substituindo pelos seus valores, obtém-se: 200i = 42,44.10º.60.10* ou ainda: i=1,27A u As estruturas magnéticas reais, tais como aquelas utilizadas nos transformadores, nos motores e geradores elétricos, apresentam geometrias mais complexas que as apresentadas até o momento. Como exemplo, a estrutura da Fig.V1.10 mostra a geometria típica da estrutura magnética de um transformador monofásico. a Fig. VI. 10 — Estrutura magnética de um transformador monofásico O circuito elétrico análogo para uma estrutura deste tipo, consistirá de um circuito elétrico com a mesma geometria, isto é, um circuito elétrico com duas malhas, com as seguintes características: a. No braço central do circuito deverá ser colocada uma fonte de f.m.m. Ni em série com uma relutância correspondente aquele braço calculada por: 11 R=—— (6.12 us ) naqual: [= e S=WT7T. b. Nos braços laterais, as relutâncias correspondentes também serão calculadas segundo (6.12), fazendo [= 1 e S=ZT7T. Dessa forma, o circuito elétrico análogo da estrutura magnética da Fig. VI.1O é dado por: Fig. VL.11 — Circuito elétrico análogo 12 Fig. VL.15 — Entreferro involuntário OBS: A colocação de chapas lado a lado introduz um pequeno entreferro involuntário entre elas. Qualquer que seja sua origem e tamanho, o entreferro é parte importante da estrutura magnética e deve sempre ser considerado no circuito magnético. A Fig. VI. 16 mostra as linhas de campo magnético em uma estrutura com a presença de um entreferro, destacando o fenômeno do espraiamento dessas linhas na região do entreferro Fig. VL.16 - Espraiamento das linhas de campo O efeito do espraiamento das linhas de campo equivale a um acréscimo da área de passagem do fluxo magnético no entreferro e como tal deve ser corrigida. Algumas fórmulas empíricas ajudam-nos a resolver, são elas: A. Entreferro com faces paralelas e iguais + / | Fig. V1.17 — Entreferro com faces paralelas e iguais 15 Neste caso, a área efetiva de passagem do fluxo magnético no entreferro é dada por: Se (XADM) (6.13) B. Entreferro com faces paralelas e diferentes LA ++ A 8 Fig. VL.18 —Entreferro com faces paralelas e diferentes Nesta condição, a área efetiva de passagem do fluxo magnético é estimada a partir da expressão: S =X +21) +21,)(6.14) EXERCÍCIO 6.3 - A Fig. VII9 mostra uma estrutura magnética confeccionada com material magnético de permeabilidade relativa 1, = 2000, na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais dimensões estão em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação, a qual possui 500 espiras, necessária para estabelecer um fluxo magnético no entreferro de 5.10*Wb. 500 espiras Fig. VL.19 — Estrutura magnética 16 Solução: No circuito elétrico análogo desta estrutura, além da fonte de f.m.m. que produz o campo magnético devemos inserir duas relutâncias em série; uma relativa à porção do núcleo magnético e outra devido ao entreferro, como mostra a Fig. VI.20. 500)... $ A, Fig. V1.20 — Circuito elétrico análogo A partir da análise de malhas obtém-se: Ni=(R,+R,)ó (6.15) Na qual R,= 1h = — 1 [O+6+D+ 202 2.01. 10) =35,8.10º Aesp/Wb u 8, 2000.47.10" 2.210" é a relutância do núcleo e: L O? R, =A b ! LIO =180.10º Aesp/Wb mo 8, 47107 (2+0,D2+0,.10* é a relutância do entreferro. Observe que apesar do entreferro ter apenas 7 mm, sua relutância, neste caso, é algo em torno de 5 vezes maior que a relutância do núcleo. Sendo 6 = 5.10!Wb obtemos, a partir de (6.15): 500i = (35,8 + 180)10.5.10* Resultando: i=2164. 17