Baixe Exercios resolvidos de lógica Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Lógica, somente na Docsity! LÓGICA MATEMÁTICA Profº Marlúcio Trajano 01. Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista Solução: Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já sabemos, pela resolução da questão anterior, que poderemos usar a seguinte equivalência: ~p ou q = p q. Teremos, pois que: Pedro não é pedreiro = ~p Paulo é paulista = q Daí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte: Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Resposta! (Letra A) 02. Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Solução: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemos testar as duas equivalências da condicional que conhecemos. Comecemos pela seguinte: p q = ~q ~p Daí, considerando que: Pedro é economista = p e Luísa é solteira = q Sua condicional equivalente será: Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Resposta! (Letra E) 03. A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que „Pedro está em Roma e Paulo está em Paris‟. b) Não é verdade que „Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris‟. c) Não é verdade que „Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris‟. d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris‟. e) É verdade que „Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris‟. Solução: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”. Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos: 1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e 2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”. O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É verdade que „Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções. Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado. Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação! Ora, aprendemos que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção (e), e vice-versa. Vejamos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q e ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e): ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q. Observe que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade. Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q). Logo, teremos que: o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...” o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”; o ∨ corresponde a ou; o q corresponde a: “Paulo está em Paris”. E chegamos a: “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”. Esta é nossa resposta! Letra d. Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta: 1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e). 2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo. 04.Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e)) branco, azul, preto Solução: O enunciado informa que: - Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. - Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Também temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Para resolvermos esta questão, devemos: 1º) considerar todas as premissas verdadeiras; 2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e 3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos. Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Fiesta é branco é V. Teste da hipótese: Fiesta é branco é V. 1º. F 1º. V P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. 4º. F 3º. V P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. 1º. F 2º. V P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. 3º. F 1º. F P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. 1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e Fiesta é preto é F (em P4). 2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V. 3º passo) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2). 4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F. Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa! Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade! Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Resposta (letra A)! 08- Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas Solução: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A! 09- A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Solução: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte: "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” .Resposta (letra E)! 10 - Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo. a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. Solução: Lembramos que a Contra-positiva de p q é equivalente a q p. Daí teremos, Se Raul não briga com Carla, então Carla não fica em casa. Se Carla não fica em casa, então Glória não vai ao cinema Se Glória não vai ao cinema, então Beto não briga com Glória Logo a única opção correta é: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. 11 - Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. Solução: Se Carlos não é mais velho do que Maria, então João não é mais moço que Pedro Se João não é mais moço que Pedro, então Maria e Julia não tem a mesma idade Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então Carlos não é mais velho que Pedro Logo, a única opção correta é: e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. 12 - José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou - se que Maria está certa. Logo, a) O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. b) Luis e Julio não estão enganados. c) Julio está enganado, mas Luis não. d) Luis está enganado, mas Julio não. e) José não irá ao cinema. Solução Se Maria está certa, então Julio está enganado Se Julio está enganado, então Luis está enganado Se Luis estiver enganado, então O Filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Logo, concluimos que: José não irá ao cinema. Resposta “E” 13 -Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a) Ele é pobre, mas me ama. b) Ele é rico, mas é pão duro. c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e) Ele não me ama e não casa comigo. Solução: Opção correta: E Vou trabalhar, então, ele não casou comigo. Ele não casou comigo, então, não me ama. Logo, ele não me ama e não casa comigo.