exercícios resolvidos de análise por Belmiro Galo

exercícios resolvidos de análise por Belmiro Galo

(Parte 1 de 3)

Universidade Federal da Bahia-UFBA

Instituto de Matematica-IM

Curso de Analise Real Vol 1, Elon Lages Lima Exercıcios Resolvidos

Analise Real Belmiro Galo da Silva

Salvador-Bahia Julho de 2010

Capıtulo 1

Questao 1

Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades : 1o X ⊃ A e X ⊃ B 2o Se Y ⊃ A e Y ⊃ B entao Y ⊃ X. Prove que X = A∪B. Demonstracao. “⊃” A ∪ B ⊂ X Seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ A ou ω ∈ B Se ω ∈ A, entao ω ∈ X pois A ⊂ X pela 1a propriedade Se ω ∈ B, entao ω ∈ X pois B ⊂ X pela 1a propriedade Com isso, concluımos que qualquer que seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ X Portanto A ∪ B ⊂ X

Questao 3

Pela suposicao x 6∈ Bc e pela definicao de complementar x ∈ B. Com isso, temos que x ∈ A e x ∈ B. Logo x ∈ A ∩ B. Concluımos que A ∩ B = ∅

b) “⇒” A∪B =E ⇒Ac ⊂B Vamos supor que Ac 6⊂ B. Seja x ∈ Ac. Por definicao de complementar x 6∈ A. Pela suposicao x 6∈ B, por definicao de complementar x ∈ Bc. Como, x 6∈ A e x 6∈ B,x nao pertence a uniao dos conjuntos pois ele nao e elemento de nenhum dos dois conjuntos, e portanto a uniao e diferente de E, que e o espaco todo. Com isso, A ∪ B 6= E.

“⇐” Ac ⊂B ⇒A∪B =E Vamos dividir essa implicacao em dois casos: (i) para A ∪ B ⊂ E (i) para A ∪ B ⊃ E

(i) e trivial pois E e o espaco todo e portanto ele contem qualquer outro subconjunto.

Questao 4

Demonstracao. “ ⇐ ” A∩Bc =∅⇒A⊂B V amos supor que A 6⊂ B. Tome x ∈ A tal que x 6∈ B, temos que x 6∈ Ac por definicao de complementar. E temos tambem que se x 6∈ B por definicao de complementar x ∈ Bc Com isso, x ∈ A e x ∈ Bc, logo x ∈ A ∩ Bc ∴ A ∩ Bc 6= ∅, Afirmacao verdadeira por contrapositiva.

Questao 5

Questao 6

Se A, X ⊂ E sao tais que A∩X = ∅ e A∪X = E. Prove que X = Ac

Vamos supor que X 6⊂ Ac. Logo existe ω1 ∈ X tal que ω1 6∈ A. Por definicao de comple-

Questao 10

Falso, pois seja A = R+ B = N e C = Z

~ Agora vamos examinar a validez de ∪. A∪B =A∪C ⇒B =C Falso, pois seja A = R B = N e C = Z

Questao 1

Questao 12

Capıtulo 2

Questao 9a

Capıtulo 4

Questao 1

Se limxn = a entao lim|xn| = |a|. De um contra-exemplo mostrando que a recıproca e falsa, salvo quando a = 0.

Demonstracao:

Questao 2

Questao 3

Se limx2n = a e limx2n−1 = a, prove que limxn = a Demonstracao:

Portanto, pela desigualdade triangular:

Questao 6

Se limxn = a e lim(xn − yn) = 0 entao limyn e igual a a. Demonstracao:

Questao 7

Seja a 6= 0. Se lim yna = 1 entao limyn e igual a a

Demonstracao:

Questao 10

Sejam k ∈ N e a > 0. Se a ≤ xn ≤ nk para todo n, entao lim n√ xn = 1

Demonstracao:

Pelo teorema do Sandwiche, lim n√ xn = 1

Questao 11a.

Demonstracao:

Temos que, lim lim

Questao 14

Demonstracao:

Questao 20

Conclua que existe a = limxn e determine a. Demonstracao:

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