Baixe 02 Derivadas e Retas Tangentes e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Aula 7 Esbo»cando gr¶a¯cos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»c~oes cont¶³nuas em R, com derivadas primeira e segunda tamb¶em cont¶³nuas. Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»c~ao para fun»c~oes alg¶ebricas. Uma fun»c~ao ¶e alg¶ebrica quando sua f¶ormula f(x) envolve todas ou algumas das quatro opera»c~oes racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»c~oes de ra¶³zes n-¶esimas ( np ). Na verdade, as fun»c~oes da aula 6 s~ao tamb¶em fun»c~oes alg¶ebricas. As fun»c~oes alg¶ebricas que estaremos estudando agora, por¶em, tem uma ou v¶arias das seguintes peculiaridades: (i) o denominador na f¶ormula de f(x) se anula para um ou mais valores de x; (ii) para alguns valores de x, f ¶e cont¶³nua em x, mas f 0 n~ao o ¶e; (iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~ao cont¶³nuas em x, mas f 00 n~ao o ¶e; (iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶³ntota da curva y = f(x)). (Os gr¶a¯cos das fun»c~oes dos problemas 4 e 6, p¶agina 55, tem ass¶³ntotas horizontais). A apresenta»c~ao desses novos aspectos no esbo»co de gr¶a¯cos de fun»c~oes ser¶a feita atrav¶es de exemplos. Vamos a eles. Exemplo 7.1 Esbo»car o gr¶a¯co de f , sendo f(x) = 2x+ 1 x¡ 2 , ou seja, esbo»car a curva y = 2x+ 1 x¡ 2 . Detectando ass¶³ntotas verticais Repare que D(f) = R¡ f2g. 57 Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 58 Agora, lim x!2+ f(x) = lim x!2 x>2 = 5 0+ = +1, e lim x!2¡ f(x) = lim x!2 x<2 = 5 0¡ = ¡1 Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»c~ao x = 2 ¶e uma ass¶³ntota vertical do gr¶a¯co de f . Mais precisamente, esses limites laterais detectam que quando x ! 2+, os pontos correspondentes, no gr¶a¯co, \sobem" no plano xy, aproxi- mando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x! 2¡, os pontos do gr¶a¯co \descem" no plano xy, tamb¶em aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶³ntota. Crescimento e decrescimento Temos f 0(x) = (2x+ 1)0(x¡ 2)¡ (x¡ 2)0(2x+ 1) (x¡ 2)2 = 2(x¡ 2)¡ (2x+ 1) (x¡ 2)2 Portanto f 0(x) = ¡5 (x¡ 2)2 Assim sendo f 0(x) < 0 para todo x em D(f) = R¡ f2g. Esta fun»c~ao f n~ao pode ter m¶aximos nem m¶³nimos locais. Temos o seguinte diagrama de sinais de f 0 e intervalos de crescimento e decresci- mento de f : f f _ ' f (2) 2 x_ ∃ Concavidades do gr¶a¯co Temos f 00(x) = · ¡5 (x¡ 2)2 ¸0 = [¡5(x¡ 2)¡2]0 = 10(x¡ 2)¡3 Temos o seguinte diagrama de sinais de f 00 e dire»c~oes de concavidades do gr¶a¯co de f : f _ '' 2 xy = f(x) + Como 262 D(f), o gr¶a¯co n~ao tem ponto de in°ex~ao. Comportamento no in¯nito (outras ass¶³ntotas) lim x!+1 f(x) = lim x!+1 2x+ 1 x¡ 2 = 2 Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 61 y'' _ 1 xy = y(x) + Temos o seguinte diagrama de sinais de y00 e dire»c~oes de concavidades da curva y = y(x): Como n~ao h¶a y para x = 1, o gr¶a¯co n~ao tem ponto de in°ex~ao. Comportamento no in¯nito (outras ass¶³ntotas) lim x!+1 y(x) = lim x!+1 x2 ¡ 2x+ 2 x¡ 1 = limx!+1 x2 x = lim x!+1 x = +1 Temos ainda lim x!¡1 y(x) = lim x!¡1 x2 x = lim x!¡1 x = ¡1 Assim, a curva n~ao tem ass¶³ntota horizontal. Esbo»co do gr¶a¯co de f , com base nos elementos coletados acima: ¯gura 7.2 1 2 -2 -1 0 -4 -2 31 2 4 3 x = 1 -3 y x Figura 7.2. Ass¶³ntotas inclinadas! H¶a algo mais que pode ser destacado no gr¶a¯co esbo»cado na ¯gura 7.2: a exis- tência, at¶e aqui insuspeita, de uma ass¶³ntota inclinada (tamb¶em chamada ass¶³ntota obl¶³qua). Se lim x!+1 [f(x)¡ (ax+ b)] = 0, para certos n¶umeros reais a e b, temos que a reta y = ax+ b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f µa direita, uma ass¶³ntota inclinada se a6= 0. Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 62 Neste caso, µa medida em que x cresce, tornando-se muito grande, com valores positivos, f(x) torna-se cada vez mais pr¶oximo de ax+ b. Por raz~oes an¶alogas, a reta y = ax+b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f , µa esquerda, quando lim x!¡1 [f(x)¡ (ax+ b)] = 0. Como determinar os coe¯cientes a e b ? Para determinar a, note que se lim x!§1 [f(x)¡ (ax+ b)] = 0, ent~ao lim x!§1 f(x) x = lim x!§1 [f(x)¡ (ax+ b)] + (ax+ b) x = lim x!§1 f(x)¡ (ax+ b) x + lim x!§1 ax+ b x = 0 +1 + a = a Assim, se a reta y = ax+ b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f ent~ao lim x!+1 f(x) x = a ou lim x!¡1 f(x) x = a Para determinar b, basta agora calcularmos lim x!§1 (f(x)¡ ax) = b No caso da curva que estamos estudando, lim x!§1 f(x) x = lim x!§1 y x = lim x!§1 x2 ¡ 2x+ 2 x(x¡ 1) = lim x!§1 x2 ¡ 2x+ 2 x2 ¡ x = limx!§1 x2 x2 = 1 e assim obtemos a = 1. Al¶em disso, lim x!§1 µ x2 ¡ 2x+ 2 x¡ 1 ¡ ax ¶ = lim x!§1 µ x2 ¡ 2x+ 2 x¡ 1 ¡ x ¶ = lim x!§1 x2 ¡ 2x+ 2¡ x(x¡ 1) x¡ 1 = lim x!§1 ¡x+ 2 x¡ 1 = ¡1 e assim obtemos b = ¡1. Portanto, a reta y = x¡ 1 ¶e ass¶³ntota inclinada da curva. Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»c~ao adicional sobre a ass¶³ntota inclinada, temos um novo esbo»co, mais preciso, da curva da ¯gura 7.2, na ¯gura 7.3. Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 63 1 2 -2 -1 0 -4 -2 31 2 4 3 x = 1 -3 y x y = x - 1 Figura 7.3. Exemplo 7.3 Esbo»car o gr¶a¯co de y = f(x) = (x+ 2) 3 p (x¡ 3)2. O gr¶a¯co desta fun»c~ao f n~ao apresenta ass¶³ntotas verticais, visto que a fun»c~ao f ¶e cont¶³nua em todo o conjunto R, isto ¶e, em todos os pontos de R. Crescimento e decrescimento. M¶aximos e m¶³nimos locais Temos y = (x+ 2) 3 p (x¡ 3)2. Para calcular y0, primeiro faremos y = (x+ 2)(x¡ 3)2=3 Desse modo, pela regra da derivada de um produto, y0 = (x¡ 3)2=3 + (x+ 2) ¢ 2 3 (x¡ 3)¡1=3 Agora, para facilitar os c¶alculos, colocamos em evidência a fra»c~ao 1=3, e tamb¶em a potência de x¡ 3 de menor expoente: y0 = 1 3 (x¡ 3)¡1=3 ¢ [3(x¡ 3)1 + 2(x+ 2)] = 1 3 (x¡ 3)¡1=3 ¢ (5x¡ 5) = 5 3 (x¡ 3)¡1=3 ¢ (x¡ 1) Para termos clareza quanto aos sinais de y0, reescrevemos y0 usando radicais: y0 = 5(x¡ 1) 3 3 p x¡ 3 Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 66 x P x 0 x P x 0 Figura 7.5. µA esquerda, limx!x0 f 0(x) = ¡1. µA direita, limx!x0 f 0(x) = +1 x P x 0 x P x 0 Figura 7.6. µA esquerda, limx!x+ 0 f 0(x) = +1, e limx!x¡ 0 f 0(x) = ¡1. µA direita, limx!x+ 0 f 0(x) = ¡1, e limx!x¡ 0 f 0(x) = +1 7.1 Problemas Um importante teorema sobre fun»c~oes cont¶³nuas, chamado teorema de Bolzano ou teo- rema do anulamento, enuncia o seguinte: Teorema de Bolzano Se f ¶e uma fun»c~ao cont¶³nua no intervalo [a; b], com f(a) < 0 e f(b) > 0 (ou com f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~ao f tem uma raiz no intervalo ]a; b[, isto ¶e, existe x0, a < x0 < b, tal que f(x0) = 0. Na p¶agina 60, desta aula, temos uma vers~ao equivalente desse teorema. Este teorema est¶a ilustrado nos gr¶a¯cos das fun»c~oes (cont¶³nuas) dos problemas 3 e 5, p¶agina 56, da aula 6. A fun»c~ao do problema 3 satisfaz f(0) > 0 e f(1) < 0, e tamb¶em f(2) < 0 e f(3) > 0, o que lhe garante a existência de uma raiz entre 0 e 1, e de uma outra entre 2 e 3. J¶a a fun»c~ao do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]2; 3[. 1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que (a) f(x) = x5 + x+ 1 possui uma raiz no intervalo ]¡ 1; 0[. (b) A equa»c~ao x3 ¡ 4x+ 2 = 0 tem três ra¶³zes reais distintas entre si. 2. Mostre que todo polinômio p(x), de grau ¶³mpar, com coe¯cientes reais, tem ao menos uma raiz real. Sugest~ao. Considere os limites lim x!+1 p(x) e lim x!¡1 p(x). Para cada uma das fun»c~oes dadas abaixo, Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 67 (a) Determine o dom¶³nio da fun»c~ao e, com base nisto, veri¯que se a curva y = f(x) tem retas ass¶³ntotas verticais. (b) Calcule f 0(x) e determine os intervalos em que f ¶e crescente e aqueles em que f ¶e decrescente; (c) Determine os pontos de m¶aximo locais e os pontos de m¶³nimo locais de f , bem como os valores de f(x) nesses pontos; (d) Calcule f 00(x) e determine os intervalos em que a curva y = f(x) ¶e côncava para cima e aqueles em que ela ¶e côncava para baixo; (e) Determine os pontos de in°ex~ao da curva y = f(x); (f) Calcule as ra¶³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f(x) = 0), quando isto n~ao for dif¶³cil; (g) Veri¯que se a curva y = f(x) tem retas ass¶³ntotas horizontais ou inclinadas. (h) A partir dos dados coletados acima, fa»ca um esbo»co bonito do gr¶a¯co de f . (i) Indique os pontos do gr¶a¯co onde a reta tangente ¶e vertical e os pontos onde inexiste tal reta tangente (procure por pontos onde f ¶e cont¶³nua, mas f 0 n~ao ¶e de¯nida). 3. f(x) = x x2 ¡ 2 4. f(x) = x2 1 + x 5. f(x) = 3 p x2 ¡ 1 6. f(x) = 3 p 1¡ x3 7. f(x) = 3 p 6x2 ¡ x3 8. f(x) = 2x¡ 2 3px3 + 1 7.1.1 Respostas e sugest~oes Para os problemas de 3 a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda, e o esbo»co do gr¶a¯co. 3. f 0(x) = ¡ x 2 + 2 (x2 ¡ 2)2 , f 00(x) = ¡2x 3 + 12x (x2 ¡ 2)3 4. f 0(x) = 2x+ x2 (1 + x)2 , f 00(x) = 2 (1 + x)3 5. f 0(x) = 2 3 3 p x , f 00(x) = ¡2 9 3 p x4 Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 68 6. f 0(x) = ¡x2 3 p (1¡ x3)2 , f 00(x) = ¡2x 3 p (1¡ x3)5 7. f 0(x) = 4x¡ x2 3 p (6x2 ¡ x3)2 , f 00(x) = ¡8x2 3 p (6x2 ¡ x3)5 8. f 0(x) = 2¡ 2x 2 3 p (x3 + 1)2 , f 00(x) = ¡4x 3 p (x3 + 1)5 Esbo»cos dos gr¶a¯cos: 3. 2√ −− 2√−−− 0 x y 4. -1 0 x y y = x - 1 x = - 1 (-2,-4) 5. x y (0,-1) 1-1 6. x y (0,1) -1 (1,0) y = -x 7. x y (4,2 2 (6,0) y = -x + 2 2 0 √4 3 ) _ Dado num¶erico: 3 p 4 ¼ 1;6 8. x y (0,-2) 1/2 , (-1,2) 0 3 √ __ - __ ( 1/2 3 √ __ -4 __ ) Dado num¶erico: 3 p 1=2 ¼ 0;8