Baixe Goniometria e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! Aula 4 - GONIOMETRIA 1 UNIDADES DE MEDIDAS TOPOGRÁFICAS ANGULARES: • sexagesimal: GRAU = 360ª parte da circunferência; • centesimal: GRADO = 400ª parte da circunferência. 2 Tipos de ângulos Na topografia trabalha-se com ângulos horizontais e verticais. • Horizontais : azimutes; rumos; ângulos de flexão e ângulo de deflexão; • Verticais: zenith e inclinação. 2.1. ÂNGULOS HORIZONTAIS 2.1.1.. Definição É o ângulo diedro entre dois planos verticais que contêm respectivamente as direções PA e PB. 2.1.2.. Sentido dos ângulos horizontais Em mensuração o sentido positivo do ângulo horizontal é o sentido horário (ou sentido universal, sentido azimutal, da esquerda à direita): 2.2. AZIMUTE Definição: ângulo horizontal formado pela linha NS e uma direção SP qualquer, com o sentido positivo na direção horária e varia de 0° à 360°. 2.3. RUMO Definição: ângulo horizontal formado pela direção N/S ou S/N e uma direção SP qualquer, variando de 0° à 90°. 2.3.1.. Sentido dos Rumos e Azimutes: Norte para direita: NE Sul para a direita: SE Norte para a esquerda: NW Sul para a esquerda: SW 2.3.2.. Transformação de Rumo em Azimute: Quadrante NE Rumo = Azimute Quadrante SE Rumo = 180º - Azimute Quadrante SW Rumo = Azimute – 180º Quadrante NW Rumo = 360º - Azimute 3.6. Azimute a Ré de uma linha Os Azimutes Vante e Ré da mesma linha guardam entre si um diferença de 180º ou 200 grados EXEMPLO: Dados os Ramos vante das linhas da Tabela 1, encontrar os azimutes a vante e a ré, à direita. Linha Rumo a vante Azimute a direita Vante Ré AB 45º30’NW 314º30’ 175º30’ BC 30º 50’SW 210º50’ 30º50’ CD 22º20’SE 157º40’ 337º40’ DE 75º 10’SE 104º50’ 284º50’ EF 25º 15’NE 25º15’ 205º15’ EXEMPLO: O azimute à direita de AB é 288º 30’e o rumo de CB é 18º 40’NE. Calcular o ângulo ABC medido com sentido à direita (sentido horário). Ângulo ABC à direita = (360º -288º30’) + 18º 40’ 3.7. Medição de um ângulo horizontal 3.7.1.. Procedimento da operação em campo: • Coloca-se em ‘P’ o teodolito centrado sobre a estaca (centro ótico do aparelho na vertical do lugar); • Sinaliza-se os pontos ‘A’ e ‘B’ com miras ou balizas colocadas na vertical das estacas; • Nivela-se perfeitamente o teodolito ( para assegurar a vertical da estação); • Visa-se os sinais ‘A’ e ‘B’. (Direção à ré = direção à esquerda do operador, e direção avante = direção à direita) • Efetua-se a medição de ângulos horizontais 3.8. Medição de ângulos horizontais Estando o teodolito estacionado em ‘P’ e as direções para os pontos ‘A’ e ‘B’ bem definidas, pode-se obter o ângulo horizontal (∝), por diversos métodos em função da orientação do aparelho: a) Aparelho não orientado (caso geral): onde ∝ = PB- PA, (se ∝ for negativo soma-se 360°) b) Aparelho orientado pelo Norte Verdadeiro: onde ∝ = AzPB - AzPA c) Aparelho orientado pelo Norte Magnético (bússola): onde, ∝ = AzPB + AzPA d) Aparelho com origem em ré (ângulo interno): • Falhas humanas; e • Causas não conhecidas (erros acidentais). 2. Erros devidos a imperfeições do instrumento de medida: Os três eixos do teodolito devem ser ortogonais: • eixo principal deve ser vertical quando o instrumento estivar calado (nivelado); • eixo secundário (horizontal), em torno do qual gira a luneta, deve ser perpendicular ao eixo principal; • eixo de colimação (linha de vista) passa pelo orifício da ocular, atravessa o cruzamento dos dois retículos e chega ao centro óptico da objetiva. Este eixo deve ser ortogonal ao eixo secundário. 3. Outros erros de medição angular: Mesmo o teodolito esteja isento de erro referentes a sua regulagem (retificação), ainda existem outros tipos de erros que, se não forem evitados, irão afetar o valor do ângulo medido: 2.4. Erro de estacionamento Este tipo de erro acontece quando o operador comete as seguintes imprudências: • Má instalação do tripé; • Calagem imperfeita do teodolito; e • Suposição de que toda a operação está ‘boa’: Têm-se: 0 = estação materializada pela tachinha sobre o piquete; 0’ = ponto do terreno por onde passa o eixo principal do teodolito (vertical), representado pelo fio de prumo ou prumo ótico; P = ponto visado L = comprimento da linha de visada 0P = linha a ser visada; 0’P = linha que é visada; dl = erro de deslocamento cometido; εa = erro angular Pode-se escrever: εa = muito pequeno, têm-se senεa ≈ εa então: Para dl = constante, εa varia diretamente com o ângulo α, até seu valor máximo de 90O: Se dl = 1 cm e L = 100m, e sabendo que 1” ≈ sen1” ≈ 0,485x10-5 rd, tem-se: que não pode ser desconsiderado em trabalhos de precisão. 3.12. Erro de visada Este tipo de erro é resultante de duas causas: a) Falta de verticalidade da baliza: deve-se evitar o deslocamento lateral da baliza, mantendo-a rigorosamente na posição vertical. dl = erro devido à inclinação da baliza; εa = erro angular correspondente ao deslocamento lateral dl; L = comprimento da linha de visada. Sendo εa um ângulo muito pequeno, tem-se: Considerando o valor de dl constante, o valor de εa será afetado somente pela extensão da linha de visada, uma vez admitido o mesmo grau de imperícia. Ou seja, quanto menor L, maior será o valor de εa. Nos trabalhos topográficos as distâncias medidas são muitas vezes, inferiores a 100 m, o que pode resultar em um acúmulo de erro angular. b)Colimação imprecisa Resultante da imperícia dos operadores do teodolito e baliza, deve-se então assentar a baliza sobre o piquete e à correta colimação da baliza: fio colimador (retículo vertical) deve coincidir o mais rigorosamente possível com o eixo da baliza. 3.13. Erro de excentricidade Os teodolitos possuem no limbo horizontal dois círculos graduados: limbo e vernier, cujos centros devem ser coincidentes. Um erro linear de excentricidade (e) produz um erro angular (εa) em radianos, dado pela expressão: E topografia, o erro linear de excentricidade admissível é de 0,01 mm, o que resulta para um raio r = 100 mm, um erro angular máximo: εamax ≈ 41” 5 MÉTODOS PARA ELIMINAÇÃO DE ERROS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS Métodos usados para medir e conferir os ângulos em campo são: • Fechamento em 360º; • Repetição; • Ângulo Duplo; • Reiteração; 4. FECHAMENTO EM 360º Consiste em medir o ângulo horário (ângulo à direita) e o seu respectivo replemento. Procedimento da operação em campo: Medida do ângulo ‘α’: • Instrumento em P, • Zera-se o aparelho na direção em PA; 7.1.. Procedimento da operação de campo: • Faz-se as leituras, em posição direta da luneta, sobre os pontos A e B, e calcula-se o ângulo horizontal ( α1 = PB – PA); • Não zera o limbo e inverte-se o aparelho com um giro da luneta sobre o eixo, passando a apontar para a direção PB’ (simétrica a B). Observa-se que essa operação de inversão da luneta não altera o valor de PB; • Efetua um giro horizontal na luneta até focalizar novamente o ponto A . O limbo registra o valor IA; • Reaponta a luneta para o ponto B e anota-se a leitura IB; • Anota o ângulo horizontal (α2 = IB – IA); • Ângulo horizontal será: Ângulo resultante (α’) = (α1 + α2) = (PB + IB) – (PA + IA) 2 2 onde, (α1) = PB - PA (α2) = IB - IA PB, PA = posição direta da luneta IB, IA = posição inversa da luneta REITERAÇÃO SIMPLES Quando a reiteração é efetuada numa única posição do limbo em apenas uma série de leituras. Exemplo: Estação PV Posição Ângulo lido P A PA 123º 18’20’’ A IA 303º 18’12’’ B PB 236º 36’38’’ B IB 56º 36’34’’ (α1) = PB PA = 236º 36’38’’ - 123º 18’20’’ = 113º 18’18’’ (α2) = IB - IA = 56º 36’34’’ - 303º 18’12’’ = - 246º 41’46’’ = - 246º 41’46’’ + 360º = 113º 18’22’’ Ângulo medido (α’) = (α1 + α2) = 113º 18’20’’2 REITERAÇÃO MÚLTIPLA Em trabalhos de maior precisão recomenda-se a execução de cinco reiterações, sempre utilizando diferentes regiões do limbo. O ângulo ‘α’ a ser usado nos cálculos será a média dos valores obtidos em cada reiteração. 8. Deflexão (processo em estradas): Chama-se deflexão o ângulo que a linha a vante faz com o prolongamento da linha a ré medido a partir desta linha para a direita ou à esquerda. Deflexão à direita (dd) = ângulo lido – 180º Deflexão à esquerda (de) = 180º - ângulo lido onde, D = PB, (+) à direita e (-) à esquerda Procedimento da operação no campo: • Estaciona e nivela o aparelho no centro da estaca; • Gira o aparelho e posiciona na direção da visada de ré, fixando o movimento horizontal; • Inverte a luneta fazendo-a girar cerca de 180º em torno do eixo horizontal (prolongamento da visada de ré); • Abre o giro horizontal e leva a luneta na direção PB (visada avante); • Efetua a leitura (círculo do limbo está a direita da luneta). Exemplo: Ângulo lido = 210º 18’36’’ ( deflexão à direita o ângulo lido é maior que 180º) Deflexão = ângulo lido – 180º = 210º 18’36’’ – 180º = 30º 18’36’’ Ângulo lido = 162º 42’15’’ (deflexão à esquerda o ângulo lido é menor que 180º) Deflexão = 180º - ângulo lido = 180º - 162º 42’15’’ = 17º 17’45’’ 6 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA Definição: É o ângulo azimutal formado entre as linhas N/S verdadeira e magnética. Tal declinação varia no tempo e no espaço, devendo ser corigida,para o mesmo local, com o passar dos naos. Os observatórios formam mapas das diversos regiões em que aparecem as CURVAS ISOPÓRICAS e ISOGÔNICAS CURVAS ISOGÔNICAS: são os lugares geométricos dos pontos de mesma declinação magnética (pontos onde a bússola apresenta a mesma inclinação de direção para o norte magnético); CURVAS ISOPÓRICAS: são lugares geométricos dos pontos que têm , por ano, a mesma variação da declinação magnética. 7.1) Determinação da Declinação Magnética Atual; A declinação magnética atual pode ser determinada atravês da formula: d = do + v ( t - to ) (I) onde, do = declinação magnética na data to (anos) encontrada nas cartas isogônicas; onde, δ0 = declinação magnética do local encontrada nas cartas isogônicas; Δδ0 = variação anual da declinação magnética para o local em questão, obtida nas cartas isopóricas; AC = número de anos entre a data da carta e a determinação; Fa = ano em questão (ano e fração); 3.17. Roteiro de cálculos 7.2.. Obter as coordenadas geográficas (latitude e longitude) do local onde se deseja determinar a declinação magnética (extraída da melhor carta disponível da região ou com uso do GPS portátil); 7.3.. Localizar na carta das isogônicas o local e interpolar linear para calcular (por aproximação) a declinação magnética local no ano da execução da carta; 7.4.. Localizar na carta das isopóricas o local e determina-se a variação anual da declinação por interpolação linear; 7.5.. Usando a formula (I), calcula-se a declinação magnética do local em questão na data atual. 3.18. Exemplo Determinar a declinação magnética no dia 30/01/1989 no ponto de coordenadas geográficas: • Latitude = 28º 37’05’’ S • Longitude = 49º 15’42’’ W 3.19. Locação do ponto na carta isogônica e cálculo da declinação magnética A locação das coordenadas geográficas do ponto (A) é feita através da interpolação linear, conforme croquis esquemático: Determinação de ‘X’: 5º .................40,5 mm 4º 15’42’’ ......X Determinação de ‘Y’: 5º .................47,0 mm 1º 22’55’’ ......Y 3.20. Determinação da declinação magnética do local ‘A’ na carta isogônica. Lança-se o ponto na carta isogônica, conforme croquis: 9 mm ...........1º 6,5 mm ........X A declinação magnética do ponto em 1980 será: δ0 = -13º 00’- 0,722º = - 13º 43’20’’ 3.21. A declinação da variação anual da declinação Com o ponto lançado na carta isopórica, obtém-se o seguinte traçado das curvas: 58 mm ...... 0,5´ 13 mm ........ X A variação anual da declinação será: Δδ0 = - 8´ - 6,724’’ = - 8,112´ 3.22. Diferença de datas entre 31 de janeiro de 1989 e 1980: Para se obter esta diferença transforma-se 31/01/89 em fração de ano: 1 Mês = 30 dias 1 ano = 365 dias 365 .......1,0 30..........X Número de anos entre a determinação e a data da carta: (AC + Fa) = [(1988 + 0,08) –1980] = 8,08 anos 3.23. Variação anual da declinação magnética para o local em questão Δδ0 (AC + Fa) = 8,08 x (-8,112’) = - 65,5455’ = - 1º 05’33’’ 3.24. A declinação magnética em 31/01/89 será: δ = δ0 + (AC + Fa) . Δδ0 δ = -13º 43’20’’ -1º 05’33’’ = -14º 48’53’’ 9 ERROS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS HORIZONTAIS Quando se trabalha com observações deve-se ter em mente que as medidas estão sujeitas a inevitáveis erros de observação. Causas do aparecimento dos erros: • Imperfeições do instrumento de medida; • Condições meteorológicas; • Falhas humanas; e • Causas não conhecidas (erros acidentais). 10. Erros devidos a imperfeições do instrumento de medida: Os três eixos do teodolito devem ser ortogonais: • eixo principal deve ser vertical quando o instrumento estivar calado (nivelado); • eixo secundário (horizontal), em torno do qual gira a luneta, deve ser perpendicular ao eixo principal; • eixo de colimação (linha de vista) passa pelo orifício da ocular, atravessa o cruzamento dos dois retículos e chega ao centro óptico da objetiva. Este eixo deve ser ortogonal ao eixo secundário. 11. Outros erros de medição angular: Mesmo o teodolito esteja isento de erro referentes a sua regulagem (retificação), ainda existem outros tipos de erros que, se não forem evitados, irão afetar o valor do ângulo medido: 2.7. Erro de estacionamento