Baixe Econometria e outras Notas de estudo em PDF para Economia, somente na Docsity! Soluções para os Exercícios do Capítulo 10 10.1 Os coeficientes estimados e seus erros padrão (nos parênteses) para várias partes dessa questão são dados na seguinte tabela. Variável (a) (b) (c) (f) (g) constante (F 0 6 21) 128,98* 342,88* 161,47 109,72 98,48 (34,59) (72,34) (120,7) (135,6) (179,1) AGE (IDADE)(F 0 6 2) F 0 2 D7,5756* F 0 2 D2,9774 F 0 2 D2,0383 F 0 2 D1,7200 (2,317) (3,352) (3,542) (4,842) Y (F 0 6 23) 1,4577* 2,3822* 9,0739* 18,325 22,104 (0,5974) (0,6036) (3,670) (11,49) (40,26) AGE F 0 B 4 Y (F 0 6 24) F 0 2 D0,1602 F 0 2 D0,6115 F 0 2 D0,9087 (0,0867) (0,5381) (3,079) AGE 2 F 0 B 4 Y(F 0 6 25) 0,0055 0,0131 (0,0064) (0,0784) AGE 3 F 0 B 4 Y(F 0 6 26) F 0 2 D0,000065 (0,000663) SQE 819286 635637 580609 568869 568708 T F 0 2 D K 38 37 36 35 34 * indica um valor t maior do que 2. (a) Veja a tabela. (b) Os sinais dos coeficientes estimados sugerem que o consumo de pizza responde positivamente à renda e negativamente à idade, como nós esperávamos. Todos os coeficientes estimados são maiores do que o dobro de seus erros padrão, indicando que eles são significativamente diferentes de zero por testes unicaudais ou bicaudais. Comparando a equação 9.7.8 no livro com a coluna (b) da tabela, nós observamos que o reescalonamento da variável renda (dividindo por 1000) aumentou o coeficiente 1000 vezes. (c) Para comentar os sinais, nós precisamos considerar os efeitos marginais Nós esperamos F 0 6 23 > 0 e F 0 6 24 < 0, implicando que a resposta do consumo de pizza em relação à renda é positivo, mas que ele declina com a idade. As estimativas estão de acordo com as nossas expectativas. Os sinais negativos para b2 e b4 implicam que, à medida que alguém fica mais velho, seu consumo de pizza diminuirá e a queda será tanto maior quanto maior for o nível de renda. O valor t para a variável de interação idade-renda é t = F 0 2 D0,1602/0,0867 = F 0 2 D1,847. Os valores críticos ao nível de significância de 5% para os testes unicaudal e bicaudal são, respectivamente, tc = F 0 2 D1,689 e tc = F 0 2 D2,028. Assim, se nós utilizamos a informação à priori que F 0 6 24 < 0, então nós encontraremos que o coeficiente da variável de interação é significativo. Contudo, se um teste bicaudal é aplicado, o coeficiente estimado não é 1 Capítulo 10 Solu significativo. Uma comparação da Equação 9.7.9 com a coluna (c) da tabela revela o efeito do reescalonamento. Os coeficientes de Y e (Y F 0 B 4 AGE) aumentaram 1000 vezes. (d) As hipóteses são H0: F 0 6 22 = F 0 6 24 = 0 e H1: F 0 6 22 F 0 B 9 0 e/ou F 0 6 24 F 0 B 9 0 O valor da estatística F sob a hipótese de que H0 é verdadeira é O valor crítico à 5% para (2, 36) graus de liberdade é Fc = 3,26 e o valor-p do teste é 0,002. Assim, nós rejeitamos H0 e concluímos que a idade afeta os gastos com pizza. (e) A propensão marginal a consumir pizza é dada por As estimativas pontuais, erros padrão e estimativas de intervalo de 95% para essa quantidade e para diferentes idades são dadas na tabela abaixo. Idade Estimativa Erro Intervalo de Confiança Pontual Padrão Inferior Superior 20 5,870 1,977 1,861 9,878 30 4,268 1,176 1,882 6,653 40 2,665 0,605 1,439 3,892 50 1,063 0,923 F 0 2 D0,809 2,935 As estimativas de intervalo foram calculadas utilizando tc = 2,0281. Como um exemplo de como os erros padrão foram calculados, considere a idade de 30 anos. Nós temos O intervalo estimado correspondente é 4,268 F 0 B 1 2,028 F 0 B 4 1,176 = (1,882, 6,653) As estimativas pontuais para a propensão marginal a consumir pizza caem à medida que a idade aumenta, como nós esperamos. Contudo, os intervalos de confiança são relativamente amplos, indicando que nossa informação sobre propensões marginais não é muito confiável. Na verdade, todos os intervalos de confiança se sobrepõem. (f) Esse modelo é dado por PIZZA = F 0 6 21 + F 0 6 2Y + F 0 6 23AGE + F 0 6 24 AGE.Y + F 0 6 25 AGE2.Y + e O efeito marginal da renda é dado agora por Se esse efeito marginal é crescente com a idade, até certo ponto, e depois declina, então F 0 6 25 < 0. O sinal do coeficiente estimado b5 = 0,0055 não está de acordo com esse raciocínio. Contudo, com um valor t de t = 0,0055/0,0064 = 0,85, ele não é significativamente diferente de zero. (g) Dois modos de verificar a colinearidade são (i) examinando a correlação simples entre cada par das variáveis da regressão, e (ii) examinando os valores de R2 das regressões auxiliares. 2 Capítulo 10 Solu . O valor-p do teste é 0,00047, implicando que o efeito marginal da idade é estatísticamente diferente de zero ao nível de significância de 1%. (e) Uma estimativa de intervalo de 95% para o efeito marginal da idade é dada por F 0 2 D9,8545 F 0 B 1 2,0281 F 0 B 4 2,5616 = (F 0 2 D15,05, F 0 2 D4,66) (f) Uma importante peça de informação para Gutbusters é a resposta do consumo de pizza à idade e à renda. É proveitoso conhecer a demanda por pizzas em comunidades jovens e velhas e em regiões de alta e baixa renda. Um bom ponto de partida em investigações desse tipo é avaliar as respostas para a idade média e renda média. Tal avaliação irá indicar se existem respostas importantes e, se assim for, fornecer alguma idéia de suas magnitudes. As duas respostas são estimadas como = 3,711 = F 0 2 D9,855 Ambas estimativas são estatísticamente diferentes de zero ao nível de significância de 1%. Elas sugerem que aumentos de renda elevarão o consumo de pizza, mas, à medida que as comunidades ficam velhas, sua demanda por pizza cai. As estimativas de intervalo dão uma indicação da confiabilidade das respostas estimadas. Nesse contexto, nós estimamos que a resposta da renda fica entre 1,831 e 5,591, enquanto que a resposta da idade fica entre F 0 2 D15,05 e F 0 2 D4,66. 10.4 (a) A resposta marginal da safra ao nitrogênio é dada por As respostas estimadas, dado , são P Resposta estimada 1 2 3 Todas as funções de resposta marginal exibem produtos marginais decrescentes. À medida que o nível de nitrogênio aumenta, a produção acrescida da elevação do nitrogênio diminui. Além do mais, o impacto marginal do aumento de N é tanto menor quando maior o nível de aplicação de fósforo. (b) De modo semelhante, a resposta marginal da safra ao fósforo é dada por As respostas marginais, dado , são N Resposta estimada 1 2 3 5 Capítulo 10 Solu Comentários semelhantes feitos na parte (a) podem ser aplicados aqui. A resposta marginal da safra ao fósforo declina à medida que o nível de P aumenta. Além do mais, ela declina à medida que o nível de N aumenta. 10.5 A safra é máxima no ponto onde são iguais a zero; isto é e Dessas duas equações, nós podemos resolver para os nível de , onde a safra é máxima. Utilizando as estimativas obtidas, o nível máximo da safra ocorre quando e O nível máximo de safra ocorre quando . Os níveis ótimos de aplicação dos fertilizantes são , onde são os preços do fertilizante de nitrogênio, do fertilizante de fósforo e do amendoim, respectivamente. Portanto, os níveis de N e P que dão a safra máxima não fornecerão os níveis ótimos a menos que os preços dos dois fertilizantes sejam zero. 10.6 A resposta marginal da safra ao nitrogênio é dada por Utilizando as estimativas , e as diferentes combinações de P e N, as hipóteses nulas, as estatísticas t e as decisões de teste são dadas na tabela seguinte. Ao nível de significância de 5%, o valor crítico é . Nós rejeitamos as hipóteses nulas (a) e (c) mas falhamos em rejeitar a hipótese nula (b). Nós concluímos que a combinação de P e N que dá uma resposta marginal igual a zero é P=1 e N = 2. Erro padrão da resposta (dado da questão) estatística t decisão (a) 0,4829 7,3630 rejeitada (b) 0,2005 -1,6618 aceita (c) 0,4829 -8,7430 rejeitada 10.7 O modelo estimado é As previsões dentro da amostra, com a idade expressa em anos (não em unidades de 10 anos), são dadas na tabela abaixo. (a) Para testar a hipótese de que uma função quadrática é adequada, nós testamos . A estatística t é 2,972 e é maior do que 2. Nós, portanto, rejeitamos e concluímos que a função quadrática não é adequada. Para os valores adequados de , a função cúbica pode decrescer à taxas crescentes, então irá passar por um ponto de inflexão, depois do qual decrescerá à taxas decrescentes e, assim, alcançará um ponto mínimo e aumentará. Essas são características típicas para um jogador de golfe. Assim, o jogador de golfe melhora à uma taxa crescente, depois à uma taxa decrescente e, então, cai em termos de habilidade. 6 Capítulo 10 Solu (b) (i) Na idade de 30, onde o escore previsto é o mínimo (-6,29). (ii) Entre as idades de 20 e 25, onde as diferenças entre as previsões estão aumentando. (iii) Entre as idades de 25 e 30 anos, onde as diferenças entre as previsões estão caindo. (iv) Com 36 anos. (v) Com 40 anos. (c) Com a idade de 70 anos, o escore previsto (em relação à média) para Lion Forrest é 241,71. Para bater os 100, seria necessário ter menos do que 28. Assim, Forest não será capaz de bater os 100 quando ele tiver 70 anos. idade escores previstos 20 -4,4403 21 -4,5621 22 -4,7420 23 -4,9633 24 -5,2097 25 -5,4646 26 -5,7116 27 -5,9341 28 -6,1157 29 -6,2398 30 -6,2900 31 -6,2497 32 -6,1025 33 -5,8319 34 -5,4213 35 -4,8544 36 -4,1145 37 -3,1852 38 -2,0500 39 -0,6923 40 0,9042 41 2,7561 42 4,8799 43 7,2921 44 10,0092 10.8 (a) Como mencionado no livro, diferentes pacotes estatísticos produzirão diferentes erros padrão. Na verdade, podemos encontrar diferentes erros padrão utilizando até o mesmo pacote estatístico com valores iniciais diferentes para os parâmetros. Isso não é causa de alarme. Os erros padrão vêm de uma aproximação da taxa de variação da inclinação da 7 Capítulo 10 Solu 31 0,4335 36 0,4458 32 0,4365 37 0,4475 33 0,4392 38 0,4491 10.11 A saturação estimada é . O ponto de inflexão é estimado como . Isso ocorre aproximadamente no ano de 1973. As previsões para as participações nos próximos dez anos são apresentadas na tabela abaixo. Nós observamos que levarão 7 anos para a participação aumentar de 0,34 em 2000 para 0,35 em 2006. A participação também aumenta à uma taxa decrescente. Portanto, para alcançar o nível de saturação de 0,36076, levarão pelo menos mais 15 à 20 anos. ano ano 1998 0,336 2003 0,346 1999 0,338 2004 0,347 2000 0,340 2005 0,349 2001 0,342 2006 0,350 2002 0,344 2007 0,351 10 Capítulo 10 Solu 10.12 (a) Os resultados da estimação e os intervalos de confiança de 95% para cada parâmetro são apresentados na tabela abaixo. Diferentes programas não dão os mesmos resultados para os erros padrão em virtude da diferença de algoritmos utilizados para os mínimos quadrados não lineares. Os intervalos de confiança apresentados na tabela são calculados com os erros padrão dados pelo EViews. Qualquer que seja o programa utilizado, os intervalos de confiança calculados são baseados nos erros padrão obtidos com apenas 9 observações. Como os erros padrão do método não linear somente têm boas propriedades em grandes amostras, os intervalos de confiança baseados em somente 9 observações não são confiáveis. Estimativa do Coeficiente 0,7184 -1,2052 1374,5 0,0455 Erro Padrão (SHAZAM) 0,0196 0,0746 131,38 0,0059 Erro Padrão (SAS) 0,0264 0,1006 178,52 0,0079 Erro Padrão (EViews) 0,0264 0,1006 178,55 0,0079 Intervalo de Confiança (EViews) (0,651, 0,786) (-1,46, -0,95) (915,4, 1833,6) (0,025, 0,066) (b) Para , o peso ganho é Para , o peso ganho é Com o mesmo custo, a opção da taxa de estocagem de 250 e nenhuma alimentação suplementar é a melhor escolha. (c) A hipótese nula é . Da saída do EViews, a estatística F e a estatística são 16,96 e 33,92, respectivamente. Seus valores-p respectivos de 0,0059 e 0,0000 são muito pequenos. Nós, portanto, rejeitamos e concluímos que o modelo simples não descreve adequadamente o ganho de peso. 11 Capítulo 10 Solu 10.13 (a) O resultado da estimação está na tabela abaixo. Coeficiente Erro Padrão estatística t 0,9845 0,1997 4,9292 -0,8840 0,3911 -2,2603 0,1513 0,1746 0,8663 (b) Nós esperamos que seja negativo e seja positivo. As estimativas têm os sinais esperados. (c) Como ele é um jogo fora, home =0. Com o record=0,873, a previsão é Então, utilizando a distribuição de Poisson, nós temos e (d) Para home = 1, e record = 0,237 E as probabilidades para y = 2 e y = 3 são: (e) Os resultados de (c) e (d) mostram que a probabilidade de Laurie marcar 2 touchdowns é semelhante, não importa se ele está jogando contra um bom time fora de casa ou contra um time ruim em casa. Contudo, para Laurie marcar três touchdowns, a probabilidade é muito maior se ele jogar contra um time ruim em casa. Naturalmente, nós esperaríamos que subisse a probabilidade de marcar touchdowns nessas circunstâncias. 12 Capítulo 10 Solu