USP - Curso de Física - Matemática, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe USP - Curso de Física - Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Universidade de São Paulo Departamento de F́ısica Matemática 2006 Curso de F́ısica-Matemática João Carlos Alves Barata Versão de 23 de maio de 2006 Estas notas ou sua versão mais recente podem ser encontradas no seguinte endereço WWW: http://denebola.if.usp.br/∼jbarata/Notas de aula Índice Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Notação e Advertências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I Caṕıtulos Introdutórios 21 1 Noções Básicas 22 1.1 Conjuntos, Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.1 Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2 Relações de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.1.4 Ínfimos e Supremos de Famı́lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2 Estruturas Algébricas Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.1 Semi-grupos, Monóides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.4 Anéis, Álgebras e Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.2.5 Mais sobre Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.2.6 Ações e Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 73 1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 77 1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.1 Discussão Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relações . . . . . . . . . . 84 1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.6 Módulos e Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2 5/1461 5.3.4 Dependência Cont́ınua de Condições Iniciais e de Parâmetros . . . . . . . . . . . 300 6 Alguns Métodos de Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 302 6.1 Solução de Equações Ordinárias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 302 6.2 As Equações de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 6.3 Integração de Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.4 O Método de Variação de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.5 O Método de Substituição de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6.6 O Método de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.7 Solução de Equações Exatas e o Método dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . 312 6.8 Soluções das Equações de D’Alembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7 Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 322 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.2 Unicidade e Existência de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.2.2 Existência. A Série de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 7.3 Equações com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 7.3.1 Alguns Exemplos e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 7.4 Teoria de Perturbações de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 7.5 Mais sobre a Série de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 346 7.6 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 349 7.6.1 O Caso Anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 7.6.2 Resolução por Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 7.6.3 Sistemas com Pontos Singulares. Monodromia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 7.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 7.7 Sistemas Provenientes de EDOs de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 7.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 7.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 7.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.8 Equações Fuchsianas. Śımbolos de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 7.8.1 Equações Fuchsianas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 7.8.2 Equações Fuchsianas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 6/1461 7.8.3 Śımbolos de Riemann. Simetrias de Equações Fuchsianas de Segunda Ordem . . 398 7.9 Exerćıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 8 Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares no Plano Complexo 410 8.1 Soluções em Séries de Potências para Equações Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 8.1.1 A Equação do Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 8.1.2 A Equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 8.1.3 A Equação de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 8.1.4 A Equação de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 8.1.5 A Equação de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 8.1.6 O Caso de Equações Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 8.2 Solução de Equações Singulares Regulares. O Método de Frobenius . . . . . . . . . . . 428 8.2.1 Equações Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 8.2.2 A Equação de Euler Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 8.2.3 A Equação de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 8.2.4 Equações Relacionadas à de Bessel. A Equação de Bessel Esférica . . . . . . . . 456 8.2.5 Equações Relacionadas à de Bessel. A Equação de Bessel Modificada . . . . . . 459 8.2.6 A Equação de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 8.2.7 A Equação Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.2.8 A Equação Hipergeométrica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.3 Algumas Equações Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 8.3.1 A Equação de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.3.2 A Equação de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 8.4 A Função Gama. Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 8.5 Exerćıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 8.A Prova da Proposição 8.1. Justificando os Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . 493 8.B Provando (8.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8.C Justificando os Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.D Provando (8.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 8.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equação de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 500 9 Propriedades de Algumas Funções Especiais 503 9.1 Discussão Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 7/1461 9.1.1 Definições e Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 9.1.2 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 9.1.3 Fórmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 9.1.4 Funções Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 9.2 Propriedades de Algumas Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 9.2.1 Propriedades dos Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 9.2.2 Propriedades dos Polinômios de Legendre Associados. Harmônicas Esféricas . . 527 9.2.3 Propriedades dos Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 9.2.4 Propriedades dos Polinômios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 9.2.5 Propriedades dos Polinômios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 544 9.2.6 Propriedades das Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 9.2.7 Propriedades das Funções de Bessel Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 9.3 Completeza de Algumas Famı́lias de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.3.1 Completeza de Polinômios Ortogonais em Intervalos Compactos . . . . . . . . . 570 9.3.2 Completeza de Polinômios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 9.3.3 Completeza dos Polinômios Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.4 Exerćıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 9.A Provando (9.57) à Força Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10 Alguns Problemas Selecionados de Interesse F́ısico 583 10.1 As Equações de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.1.1 Problemas em Duas Dimensões em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . 585 10.1.2 Problemas em Três Dimensões em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . 588 10.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 10.2.1 Corda Vibrante Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 10.2.2 O Problema da Corda Homogênea Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 10.2.3 Corda Vibrante Não-Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 10.2.4 O Problema da Membrana Retangular Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . 603 10.3 O Problema da Membrana Circular Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 10.4 O Oscilador Harmônico na Mecânica Quântica e a Equação de Hermite . . . . . . . . . 608 10.5 O Átomo de Hidrogênio e a Equação de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . 610 10.6 Propagação de Ondas em Tanques Ciĺındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 10.7 Exerćıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623 10/1461 14.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 14.6.1 O Espaço-Tempo, a Noção de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 819 14.6.2 A Invariância do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 14.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 14.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830 14.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834 14.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 14.7 O Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 14.8 SL(C, 2) e o Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 14.A Prova do Teorema 14.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858 14.B Um Isomorfismo entre SL(C, 2)/{1,−1} e L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871 15 Grupos de Lie e Álgebras de Lie. Uma Breve Introdução 880 15.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 15.2 Breves Considerações sobre Grupos Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 15.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 15.3.1 Uma Topologia Métrica em GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 15.3.2 O Grupo de Lie GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887 15.3.3 Sub-Grupos Uniparamétricos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890 15.3.4 Sub-Grupos Uniparamétricos e Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894 15.3.5 Subgrupos Fechados de GL(C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 15.4 A Relação entre Grupos de Lie Matriciais e suas Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 903 15.4.1 Álgebras de Lie Nilpotentes, Solúveis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 904 15.4.2 Questões sobre a Exponenciação de Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 907 15.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 16 Uma Breve Introdução à Teoria das Representações de Grupos 917 16.1 Representações de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 16.2 Representações Irredut́ıveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 16.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 16.4 Representações de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930 16.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931 11/1461 V Topologia Geral, Teoria da Medida e Integração 938 17 Espaços Métricos 939 17.1 Métricas e Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 17.2 Topologia de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 17.3 Pseudo-Métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960 17.4 Espaços de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 17.4.1 Espaços de Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 17.A Algumas Desigualdades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 17.B Números reais e p-ádicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 17.C Aproximações para π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987 18 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Conseqüências 994 18.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 18.1.1 Generalizações do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . 997 18.2 Aplicação a Equações Numéricas. O Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 18.3 Aplicação às Equações Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . 1005 18.4 Aplicações à Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 18.4.1 O Teorema de Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014 18.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelöf. Soluções Globais . . . . . . . . . . 1019 18.4.3 Um Teorema de Comparação de Soluções de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . 1020 18.5 O Teorema da Função Impĺıcita e o Teorema da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . 1024 18.5.1 O Teorema da Função Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024 18.5.2 O Teorema da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029 Apêndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 18.A O Lema de Grönwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 19 Espaços Topológicos e Espaços Mensuráveis. Definições e Propriedades Básicas 1031 19.1 Definições, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032 19.2 Algumas Construções Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 19.2.1 Topologias e σ-álgebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038 19.2.2 Bases de Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 19.2.3 Topologias e σ-álgebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044 12/1461 19.2.4 Topologias e σ-álgebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 19.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 19.3.1 Fecho de Conjuntos em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 19.4 Espaços Topológicos Separáveis e Segundo-Contáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054 20 Medidas 1058 20.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058 20.2 Medidas de Conjuntos. Definição, Exemplos e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . 1061 20.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 1065 21 A Medida de Lebesgue 1074 21.1 A Construção da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074 21.1.1 A σ-álgebra de Borel em R e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 1077 21.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 21.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081 21.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 22 Continuidade e Convergência em Espaços Topológicos 1098 22.1 Primeiras Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098 22.2 Espaços Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 22.3 Reticulados e o Caso de Espaços Topológicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 22.3.1 Reticulados em Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 22.4 O Limite do Ínfimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 22.5 Continuidade de Funções em Espaços Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 22.5.1 Outras Caracterizações do Conceito de Continuidade em Espaços Topológicos . 1114 22.5.2 Continuidade e Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116 23 Elementos da Teoria da Integração 1119 23.1 Comentários Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120 23.2 A Integração no Sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 23.2.1 A Integral de Riemann Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 23.2.2 Diferenciação e Integração em Espaços de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 23.3 A Integração no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139 23.3.1 Funções Mensuráveis e Funções Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139 23.3.2 A Integral de Lebesgue. Integração em Espaços Mensuráveis . . . . . . . . . . . 1145 15/1461 27 Alguns Métodos de Aproximação de Funções 1394 27.1 Aproximação de Funções Cont́ınuas por Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394 27.2 Aproximação por Polinômios Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1400 27.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401 27.2.2 Polinômios Trigonométricos e Funções Cont́ınuas e Periódicas . . . . . . . . . . 1407 27.2.3 Convergência de Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410 27.2.4 Revisitando a Aproximação Uniforme de Funções Cont́ınuas por Polinômios Tri- gonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416 28 Noções de Estruturas Algébricas 1420 28.1 Álgebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421 28.2 Ação de Uma Álgebra Universal sobre uma Outra Álgebra Universal (*) . . . . . . . . 1428 29 O Limite Indutivo de Álgebras 1433 Bibliografia 1442 Índice Remissivo 1451 16/1461 Prefácio A intenção básica destas Notas é fornecer a estudantes de F́ısica noções matemáticas impor-tantes para uma melhor compreensão de desenvolvimentos modernos da F́ısica Teórica e daMatemática. De modo geral o texto é de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar é sugerido. Estas Notas, porém, não são substituto à leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerćıcios!) o maior número posśıvel de exemplos e contra-exemplos para as várias situações tratadas de modo a motivar melhor definições e resultados, o que é menos comum em textos com tratamentos mais sistemáticos. Parte do material pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentação e sua ordem são próprias. Há também nestas Notas demonstrações do próprio autor de resultados conhecidos que são, por alguma razão, dificilmente encontradas na literatura. Fazemos notar que estas notas estão ainda sendo trabalhadas e alguns caṕıtulos e seções podem vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Além disso, novos caṕıtulos serão escritos. O material já presente é, porém, útil a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos. Versões atualizadas serão colocadas na “rede” (no endereço acima indicado) sempre que posśıvel. O autor agradece a todos os que apresentarem sugestões. Fabulosas somas em dinheiro são ofere- cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os já aquinhoados encontram-se os Srs. Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C. Patrão, Cléber de Mico Muramoto, Katiúscia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes França Junior, Gus- tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti José de Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Assêncio, Fleury José de Oliveira Filho, Paulo Henrique Reimberg, Fab́ıola Diacenco Xavier e Márcio André Prieto Apaŕıcio Lopez aos quais somos muito gratos por correções e sugestões. As Seções 14.B, página 871, e 18.4.1, página 1014, foram originalmente escritas por Daniel Augusto Cortez. A Seção 10.6, página 613, foi originalmente escrita por André M. Timpanaro, Fleury J. Oliveira e Paulo H. Reimberg. A eles dedicamos agradecimentos especiais. João Carlos Alves Barata São Paulo, 23 de maio de 2006. Departamento de F́ısica Matemática 17/1461 “O comportamento de um f́ısico em relação à Matemática é similar a de um ladrão inteligente em relação ao código penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punições”. I. M. Gelfand (1913-). “A mente não é um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”. Plutarco (46?-120). “Talvez eu não tenha tido êxito em fazer as coisas dif́ıceis tornarem-se fáceis, mas pelo menos eu nunca fiz um assunto fácil tornar-se dif́ıcil”. F. G. Tricomi (1897-1978). “In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind that nourish science”. Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976. “Não existe nenhuma categoria da Ciência à qual se possa dar o nome de Ciência Aplicada. O que existe são a Ciência e as aplicações da Ciência, intimamente ligadas, como frutos à árvore que os gerou”. Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouvé d’hommes supérieurs au moment du péril”, Revue Scientifique (Paris, 1871). 20/1461 imaginária de um número complexo ou mesmo com a da parte imaginária de um operador agindo em um espaço de Hilbert: Im (T ) := 1 2i (T − T ∗).ˆ As noções de propriedade válida quase em toda parte e de propriedade genérica são definidas nas páginas 1080 e 1196, respectivamente. • Intervalos Ainda não introduzimos os números reais nem a relação de ordem entre eles mas, como essas noções são conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos da reta real. Para a < b ∈ R o conjunto (a, b) = {x ∈ R, com a < x < b} é dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ R o conjunto [a, b] = {x ∈ R, com a ≤ x ≤ b} é dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ R os conjuntos [a, b) = {x ∈ R, com a ≤ x < b} e (a, b] = {x ∈ R, com a < x ≤ b} são ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados). É importante dizer que a nomenclatura “aberto” ou “fechado” acima é usada independentemente da topologia usada em R (a noção de topologia será introduzida adiante). Parte I Caṕıtulos Introdutórios 21 Caṕıtulo 1 Noções Básicas Conteúdo 1.1 Conjuntos, Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.1 Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.2 Relações de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.1.4 Ínfimos e Supremos de Famı́lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.2 Estruturas Algébricas Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2.1 Semi-grupos, Monóides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2.3 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.4 Anéis, Álgebras e Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.2.5 Mais sobre Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.2.6 Ações e Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En- domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 77 1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 78 1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.1 Discussão Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relações . . . . . . . . 84 1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitrários . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.5.6 Módulos e Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6 Tópicos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.6.2 Grupóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.6.3 Quatérnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 22 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 25/1461 Muito freqüentemente usam-se as palavras aplicação, mapeamento, mapa, funcional, operador, operação, produto, transformação, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de funções entre conjuntos. Essa abundância de palavras causa freqüentemente confusão e mesmo perplexidade em estudantes recém-iniciados mas, em essência, todos esses objetos são funções, no sentido abstrato que definimos acima. O que difere seu uso é por vezes a tradição de certas áreas e os tipos de conjuntos que as funções têm como domı́nio e imagem. A palavra “função”, propriamente, é mais freqüentemente empregada quando se trata de funções numéricas, por exemplo de R em R ou de C em C. A palavra “funcional”2 é freqüentemente empregada quando se trata de funções que levam vetores ou funções numéricas em números. Um exemplo de funcional é a função que leva funções reais cont́ınuas f nas suas integrais no intervalo [0, 1]: f 7→ ∫ 1 0 f(x)dx. A palavra “operador” tipicamente designa funções lineares entre espaços vetoriais (como, por exemplo, as matrizes, que são funções lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita). “Produtos” ou “operações” freqüentemente designam funções de C × C em C, para um conjunto C não-vazio qualquer, ou seja, funções de duas variáveis em um conjunto C, assumindo valores no próprio conjunto C. A palavra “forma” por vezes designa certas funções bi-lineares de V ×V em R ou C, sendo V um espaço vetorial. As palavras “aplicação”, “mapa” e “mapeamento” são freqüentemente empregadas para designar funções em áreas como Topologia, Geometria Diferencial ou Sistemas Dinâmicos. Certas palavras são empregadas para designar certas funções com propriedades especiais. Um “homeomorfismo”, por exemplo, é uma função bijetora entre dois espaços topológicos que seja cont́ınua e cuja inversa seja também cont́ınua. Um “difeomorfismo” é um homeomorfismo entre duas variedades diferenciáveis que seja infinitamente diferenciável. Há ainda vários outros “morfismos”, como discutido na Seção 1.2.7, à página 71. Em verdade, é conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes simplesmente para evitarmos o emprego monótono e descolorido da palavra “função”. Com um pouco de ironia, lembremos por fim a definição circular de Edward Teller: “An intelectual is someone who thinks the same things and uses the same words as other intelectuals”. • Imagens e pré-imagens de funções Seja f : X → Y uma função. Se A ⊂ X, definimos f(A) := { y ∈ Y | y = f(x) para algum x ∈ A } . Se B ⊂ Y , definimos f−1(B) := { x ∈ X| f(x) ∈ B } . f(A) é dita ser a imagem de A por f e f−1(B) é dita ser a pré-imagem de B por f . O uso do śımbolo f−1 para designar pré-imagem f−1(B) de um conjunto B é uma escolha infeliz (mas universalmente aceita), pois pode causar confusão com a noção de função inversa de f , que pode não estar definida. O estudante deve estar atento. • Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras 2A palavra “funcional” foi empregada pela primeira vez na Matemática por Jacques Salomon Hadamard (1865-1963). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 26/1461 Uma função F : A → B é dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma função F : A → B é dita ser injetora ou injetiva se a cada b ∈ Im(F ) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F ) tal que (a, b) ∈ F . Uma função que for sobrejetora e injetora é dita ser bijetora. Seja uma função bijetora F ⊂ A× B. Então, a relação F−1 ⊂ B × A dada por F−1 = { (b, a) tal que (a, b) ∈ F } é, em verdade, uma função denominada função inversa de F . É claro que (F−1)−1 = F . • Famı́lias de conjuntos Seja X um conjunto não-vazio. Uma coleção F não-vazia de sub-conjuntos de X é por vezes dita ser uma famı́lia de conjuntos. Se F for uma famı́lia de conjuntos e existirem um conjunto não-vazio I e uma função bijetora f : I → F, então dizemos que a famı́lia F é indexada por I e os elementos de I são denominados ı́ndices. Se λ é um ı́ndice, designaremos sua imagem pela função f simplesmente por Aλ ∈ F. Uma indexação de uma coleção F não-vazia de sub-conjuntos de X sempre existe: podemos tomar I = F e f a função identidade. • Operações básicas com famı́lias de conjuntos Sejam X e I conjuntos arbitrários não-vazios e seja associado a cada α ∈ I um sub-conjunto Aα de X. O conjunto I será freqüentemente denominado conjunto ou famı́lia de ı́ndices. Vamos introduzir alguma notação a ser usada em todas estas Notas. Definimos ⋃ α∈I Aα := { x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I } (1.5) e ⋂ α∈I Aα := { x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I } . (1.6) As definições acima implicam as importantes propriedades descritas na proposição que segue, cuja demonstração deixamos como exerćıcio. Proposição 1.1 Sejam B ⊂ X, X não-vazio, e {Aα ⊂ X, α ∈ I} uma coleção arbitrária de subcon- juntos de X. Então valem as seguintes relações: B \ ( ⋃ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B \Aα) , B \ ( ⋂ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B \ Aα) , (1.7) ( ⋂ α∈I Aα ) \B = ⋂ α∈I (Aα \B) , ( ⋃ α∈I Aα ) \B = ⋃ α∈I (Aα \B) , (1.8) B ∪ ( ⋂ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B ∪Aα) , B ∩ ( ⋃ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B ∩Aα) , (1.9) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 27/1461 B ∪ ( ⋃ α∈I Aα ) = ⋃ α∈I (B ∪Aα) , B ∩ ( ⋂ α∈I Aα ) = ⋂ α∈I (B ∩Aα) . (1.10) As relações, (1.7) implicam ( ⋃ α∈I Aα )c = ⋂ α∈I (Aα) c , ( ⋂ α∈I Aα )c = ⋃ α∈I (Aα) c . (1.11) 2 • Propriedades elementares de funções As seguintes proposições são importantes e freqüentemente usadas: Proposição 1.2 Seja f : X → Y uma função e seja Λ um conjunto de ı́ndices. Se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, então f ( ⋃ λ∈Λ Aλ ) = ⋃ λ∈Λ f(Aλ) , (1.12) mas f ( ⋂ λ∈Λ Aλ ) ⊂ ⋂ λ∈Λ f(Aλ) . (1.13) Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, então f−1 ( ⋃ λ∈Λ Bλ ) = ⋃ λ∈Λ f−1(Bλ) , (1.14) e f−1 ( ⋂ λ∈Λ Bλ ) = ⋂ λ∈Λ f−1(Bλ) . (1.15) 2 A demonstração é elementar e é deixada como exerćıcio. Em (1.13) não se pode provar a igualdade entre f (⋂ λ∈ΛAλ ) e ⋂ λ∈Λ f(Aλ) e a razão é a seguinte: se y ∈ ⋂λ∈Λ f(Aλ) então y ∈ f(Aλ) para todo λ ∈ Λ. Assim, em cada Aλ existe um xλ com y = f(xλ). Mas pode ocorrer que em ⋂ λ∈ΛAλ não exista nenhum elemento x com y = f(x). O seguinte exemplo ilustra isso. Seja f(x) = x2 definida em [−1, 1]. Tomemos A1 = [−1, 0], A2 = [0, 1]. Então, f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1]. Portanto, f(A1)∩ f(A2) = [0, 1]. Porém, f(A1 ∩A2) = f({0}) = {0}. apesar disso, vale o seguinte: Proposição 1.3 Se f : X → Y é injetora então, se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, vale f ( ⋂ λ∈Λ Aλ ) = ⋂ λ∈Λ f(Aλ) . (1.16) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 30/1461 Seja As, s ∈ I, uma famı́lia de conjuntos não-vazios, onde I é um conjunto arbitrário (não-vazio) de ı́ndices. Então, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada conjunto As. Em termos mais técnicos, o axioma diz que há funções F : I → ⋃ s∈I As tais que F (s) ∈ As para todo s ∈ I, ou seja, o produto Cartesiano ∏s∈I As é não vazio3. A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, porém, que, sobretudo pelo fato de o conjunto I de ı́ndices ser arbitrário (podendo ser até um conjunto infinito e não-contável), a afirmativa que o mesmo contém não pode ser derivada de prinćıpios mais básicos. O axioma faz uma afirmação de existência (de uma função como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos escolhidos de cada As) que, geralmente, não pode ser demonstrada construtivamente, ou seja, por exibição expĺıcita de uma tal função F ou de um conjunto A. Faremos uso expĺıcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos não- mensuráveis. O Axioma da Escolha foi originalmente formulado por Zermelo4 em 1904 como parte da sua demonstração do chamado Prinćıpo do Bom-Ordenamento, Teorema 1.1, página 36. Vide [55]. Uma t́ıpica situação na qual se faz uso do Axioma da Escolha ocorre quando são dados um conjunto X e uma uma relação de equivalência E em X e constrói-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um representante de cada classe de equivalência de X por E. Nem sempre é posśıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via Axioma da Escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situação ocorre, tome-se o exemplo dado em (1.18), página 31 e construa-se um conjunto tomando um elemento de cada classe de equivalência lá descrita. Tal conjunto desempenha um papel na teoria da medida. Vide Caṕıtulo 20, página 1058, em particular a Seção 20.1. • Relações de equivalência Outro tipo importante de relação é formado pelas chamadas relações de equivalência. Uma relação E ⊂ A×A é dita ser uma relação de equivalência em um conjunto não-vazio A se os seguintes quesitos forem satisfeitos: 1. (a, a) ∈ E para todo a ∈ A. 2. (a, b) ∈ E implica que (b, a) ∈ E. 3. (a, b) ∈ E e (b, c) ∈ E implicam que (a, c) ∈ E. Se o par (a, b) pertence a uma relação de equivalência E então a e b são ditos serem equivalentes segundo E. Quase sempre usa-se a notação a E∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois elementos são equivalentes segundo uma relação de equivalência dada. Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relação de equivalência em A. Para cada a ∈ A podemos definir o conjunto E(a) := {a′ ∈ A tal que (a, a′) ∈ E} . (1.17) 3Para a definição do produto Cartesiano ∏ s∈I As, vide página 29. 4Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 31/1461 Esse conjunto é chamado de classe de equivalência de a (pela relação de equivalência E). E. 1.3 Exerćıcio. Seja A um conjunto e E ⊂ A×A é uma relação de equivalência em A. Suponha que a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6 E. 1.4 Exerćıcio importante. Prove que se A é um conjunto e E ⊂ A×A é uma relação de equivalência em A então A é a união disjunta de classes de equivalência de seus elementos. 6 E. 1.5 Exerćıcio. Seja o conjunto dos números reais R e seja a relação W ⊂ R×R definida por W := { (x, y) ∈ R×R tal que x− y ∈ Q } , (1.18) onde Q é o conjunto dos números racionais. Prove que W é uma relação de equivalência. 6 • Relações de compatibilidade Seja P um conjunto. Uma relação de compatibilidade em P é um conjunto C ⊂ P × P com as seguintes propriedades: 1. Se γ e γ′ são tais que (γ, γ′) ∈ C, então (γ′, γ) ∈ C. 2. Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) 6∈ C. Para uma dada relação de compatibilidade C denotamos γ∼C γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos que γ e γ′ são C-compat́ıveis. Caso contrário, denotamos γ 6∼C γ′ se (γ, γ′) 6∈ C e dizemos que γ e γ′ são C-incompat́ıveis. Se uma dada relação C é subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos simplesmente que γ e γ′ são compat́ıveis. Relações de compatibilidade são importantes na Mecânica Estat́ıstica, especialmente nas chamadas expansões de poĺımeros e de “clusters”. Exemplo. Seja X um conjunto não-vazio e P = P(X) \ {∅}, a coleção de todos os subconjuntos não-vazios de X. Uma relação de compatibilidade em P é a seguinte: A ∼ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅. Verifique. 1.1.2 Relações de Ordem Seja X um conjunto não-vazio. Uma relação R ⊂ X ×X é dita ser uma relação de ordem parcial em X, ou simplesmente uma relação de ordem em X, se as seguintes condições forem satisfeitas: 1. Para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R. 2. Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R então forçosamente a = b. 3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R então (a, c) ∈ R. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 32/1461 Se X possui uma ordem parcial R, X é chamado de conjunto parcialmente ordenado por R. Em textos matemáticos em ĺıngua inglesa, conjuntos parcialmente ordenados são freqüêntemente denomi- nados posets (de “partially ordered sets”). A noção de conjunto parcialmente ordenado foi introduzida por Hausdorff5 Exemplo. Seja X um conjunto e P(X) a coleção de todos os sub-conjuntos de X. Podemos estabe- lecer em P(X) uma relação R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como exerćıcio deixamos ao estudante mostrar que esta é uma relação de ordem parcial de acordo com a definição acima. Este exemplo ilustra também por que chamar tal relação de ordem de “parcial”. A razão é que nem todo par (A, B) é elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitrários, nem sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (por exemplo se A ∩ B = ∅). Em função da analogia com essa relação de ordem usual dos números reais é costume, dada uma relação de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R através da notação a  b. Por vezes, o śımbolo ≤ é também usado, mas tentaremos empregá-lo apenas para denotar a relação de ordem usual entre números reais. Usando o śımbolo  as condições definidoras de uma relação de ordem se escrevem como 1. Para todo a ∈ X tem-se que a  a. 2. Se a  b e b  a então forçosamente a = b. 3. Se a  b e b  c então a  c. Também denota-se a relação a  b por b  a. • Relações de ordem total Outro conceito importante é o de relação de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X é dita ser uma relação de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R. Se X possui uma relação de ordem total R então X é dito ser totalmente ordenado ou linearmente ordenado. Assim, se X é um conjunto dotado de uma relação de ordem parcial, dizemos que um sub-conjunto A ⊂ X é linearmente ordenado se a  b ou b  a para todo a, b ∈ A. • Exemplos Exemplo. Seja R o conjunto de números reais e a relação de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um número negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa é uma relação de ordem total em R. Contra-exemplo. Seja C um conjunto não-vazio qualquer. Então, P(C) é ordenado pela inclusão de conjuntos: A  B se e somente se A ⊂ B. Porém P(C) não é linearmente ordenado pois se A ∩B = ∅ não podemos dizer que A  B nem que B  A. E. 1.6 Exerćıcio. Você consegue construir uma relação de ordem em R2 ou em R3? E uma relação de ordem total? 6 5Felix Hausdorff (1868-1942). Hausdorff foi um dos criadores da Topologia e da moderna Teoria dos Conjuntos. Perseguido pelo nacional-socialismo, suicidou-se em 1942 para evitar ser enviado a um campo de concentração. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 35/1461 Se X é um conjunto dotado de uma relação de ordem parcial (que denotamos por ) diz-se que um elemento z ∈ X é um máximo de X se x  z para todo x ∈ X. Se z e z′ são máximos de X então, por hipótese, valem ambas as relações z  z′ e z′  z, o que implica z = z′. Assim, se X possuir um máximo ele é único, e é denotado por max(X). Se A ⊂ X, a relação de ordem parcial em X induz uma relação de ordem parcial em A. Com essa relação, podemos definir max(A), se existir, como o elemento de A tal que a  max(A) para todo a ∈ A. Note que, por definição, maxA ∈ A. Analogamente, um elemento a é dito ser um mı́nimo de X se a  x para todo x ∈ X. Se a e a′ são mı́nimos de X então, por hipótese, valem ambas as relações a  a′ e a′  a, o que implica a = a′. Assim, se X possuir um mı́nimo ele é único, e é denotado por min(X). • Elementos maximais e minimais Seja X um conjunto dotado de uma relação de ordem parcial (que denotamos por ). Um elemento z ∈ X é dito ser um elemento maximal se não existir x ∈ X, x 6= z tal que z  x. Um elemento a ∈ X é dito ser um elemento minimal se não existir x ∈ X, x 6= a tal que x  a. Os elementos maximais e minimais de um conjunto parcialmente ordenado X, se exitirem, não são necessariamente únicos, como mostra o seguinte exemplo. E. 1.11 Exerćıcio-Exemplo. Considere no plano R2 o quadrado fechado Q = [0, 1]× [0, 1], ou seja, os elementos de Q são pares ordenados (x, y) ∈ R2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Estabelecemos em Q uma relação de ordem (parcial!) da seguinte forma: (x, y)  (x′, y′) se x = x′ e se y ≤ y′. Em palavras, (x, y)  (x′, y′) se ambos os pontos estiverem em uma mesma linha vertical, mas (x, y) estiver mais baixo que (x′, y′). Cheque que isso é, de fato, uma relação de ordem, mas que não é uma ordem total, pois não se pode comparar pontos que estão em linhas verticais diferentes. Com essa definição convença-se que todos os elementos da forma (x, 1) são maximais. Porém, se x for diferente de x′, não se pode nem dizer que (x, 1)  (x′, 1) nem que (x′, 1)  (x, 1). Igualmente, convença-se que todos os elementos da forma (x, 0) são minimais. Note também que para a existência de elementos maximais é importante queQ contenha pontos na aresta de cima e (com coordenada y = 1), analogamente, para a existência de elementos minimais é importante que Q contenha pontos aresta de baixo (com coordenada y = 0). Por exemplo, se você definir a mesma relação de ordem no quadrado aberto (0, 1)× (0, 1) não há mais elementos maximais ou minimais. 6 Se um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado X possuir um único elemento maximal, este elemento é denominado o maior elemento de X. Reciprocamente, se um conjunto não-vazio e parcial- mente ordenado X possuir um único elemento minimal, este elemento é denominado o menor elemento de X. • Conjuntos bem-ordenados Um conjunto X dotado de uma relação parcial de ordem  é dito ser um conjunto bem-ordenado se todo subconjunto A não vazio de X tem um elemento mı́nimo em A. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 36/1461 E. 1.12 Exerćıcio. Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma relação parcial de ordem é também totalmente ordenado segundo a mesma relação. 6 E. 1.13 Exerćıcio. A rećıproca não é, entretanto, verdadeira. Mostre que R é totalmente ordenado pela relação usual de ordem entre números reais, mas não é um conjunto bem-ordenado. 6 E. 1.14 Exerćıcio. Mostre que o conjunto dos números naturais N é bem-ordenado. 6 A importância de conjuntos bem-ordenados é que a eles se aplica uma generalização do bem- conhecido método de indução matemática, muito empregado em demonstrações de teoremas, deno- minada prinćıpio de indução transfinita. O estudante interessado encontrará em [55] uma excelente referência introdutória. Nesta mesma referência o estudante interessado encontrará uma demonstração do seguinte e importante resultado, devido a Zermelo7: Teorema 1.1 (Teorema do Bom-Ordenamento) Se X é um conjunto não-vazio então é posśıvel encontrar uma relação de ordem  em X tal que X é bem-ordenado por essa relação. 2 Incidentalmente, o Teorema 1.1 junto com a afirmação do Exerćıcio E. 1.12 informam que todo conjunto não-vazio possui ao menos uma relação de ordem total. • Majorantes e minorantes Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por  e seja A ⊂ X. Se existe t ∈ X tal que a  t para todo a ∈ A dizemos que t é um majorante de A, ou um limitante superior8 de A. Analogamente, se existe h ∈ X tal que h  a para todo a ∈ A dizemos que h é um minorante de A ou um limitante inferior9 de A. • Conjuntos limitados Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por . Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um majorante é dito ser um conjunto limitado superiormente. Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um minorante é dito ser um conjunto limitado inferiormente. • Ínfimo e supremo Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial denotada por  e seja A ⊂ X. O mı́nimo do conjunto de majorantes de A, se existir, é dito ser o supremo de A e é indicado por sup(A). Note que o supremo de A, se existir, é único, por ser o mı́nimo de um conjunto. Assim, s ∈ X é dito ser o supremo de A se for um majorante de A e se s  t para todo t que seja majorante de A. 7Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953). 8A expressão “limite superior” é também usada na literatura, mas deve ser evitada para não causar confusão com a noção de limite. 9A expressão “limite inferior” é também usada na literatura, mas deve ser evitada para não causar confusão com a noção de limite. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 37/1461 Note que o supremo de um conjunto A ⊂ X não é necessariamente um elemento de A, ao contrário do que ocorre com o máximo de A (caso exista). O máximo do conjunto dos minorantes de A, se existir, é dito ser o ı́nfimo de A e é indicado por inf(A). Note que o ı́nfimo de A, se existir, é único, por ser o máximo de um conjunto. Assim, i é o ı́nfimo de A se for um minorante de A e se h  i para todo h que seja minorante de A. Note que o ı́nfimo de um conjunto A ⊂ X não é necessariamente um elemento de A, ao contrário do que ocorre com o mı́nimo de A (caso exista). É interessante notar o seguinte. Dado um conjunto X dotado de uma ordem parcial podeŕıamos nos perguntar se todo subconjunto limitado superiormente de X possui um supremo ou, analogamente, se todo subconjunto de X limitado inferiormente possui um ı́nfimo. A validade ou não dessas propriedades depende de X e da relação de ordem em questão. Por exemplo, para X = Q, o conjunto dos racionais com a relação de ordem usual, verifica-se que a propriedade não é valida. Tomemos A = {x ∈ Q, x2 < 2}. Claramente esse conjunto é limitado inferior e superiormente mas não possui nem supremo nem ı́nfimo (por quê?). Para X = N e X ∈ R (com as relações de ordem usuais) a propriedade é, porém, válida. E. 1.15 Exerćıcio. Tome X = R com a relação de ordem usual. Mostre que inf((−1, 1)) = −1 e que sup((−1, 1)) = 1. Note que −1 e 1 não são elementos de (−1, 1). 6 E. 1.16 Exerćıcio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma ordem total e que inf(A) e inf(B) existam. Mostre então que inf(A ∪ B) = min{inf(A), inf(B)} . 6 E. 1.17 Exerćıcio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma ordem total e que sup(A) e sup(B) existam. Mostre então que sup(A ∪ B) = max{sup(A), sup(B)} . 6 • O Lema de Zorn Uma das afirmativas fundamentais de toda a Matemática usual é o seguinte resultado, conhecido como lema de Zorn, em homenagem a um dos seus formuladores10: Lema 1.1 (Lema de Kuratowski-Zorn) Seja X um conjunto não-vazio e  uma relação de ordem parcial em X. Suponha que todo sub-conjunto linearmente ordenado de X tenha pelo menos um majo- rante em X. Então, todo sub-conjunto linearmente ordenado de X tem algum majorante em X que é também um elemento maximal de X. Implicitamente isso está dizendo que, sob as hipóteses, X possui ao menos um elemento maximal. 2 10Max August Zorn (1906-1993). Em verdade, o Lema de Zorn foi primeiramente descoberto por Kazimierz Kuratowski (1896-1980). O trabalho de Kuratowski data de 1922 e o de Zorn de 1935. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 40/1461 Prova. Se A é contável e B ⊂ A então B é equivalente a um subconjunto de N e, portanto, pela proposição anterior, B é contável. Chegamos a um importante resultado: Proposição 1.7 O produto Cartesiano N×N é contável. 2 Prova. Seja a função G : N × N → N dada por G(a, b) = 2a3b. A imagem dessa função é um subconjunto próprio de N mas essa função é bijetora: a cada elemento z de sua imagem há um e somente um par (a, b) de números naturais tais que 2a3b = z (por quê?). Assim, fica provado pela Proposição 1.5 que N×N é contável. Note que, como N×N não é finito (por quê?) é um conjunto enumerável. A Proposição 1.7 tem uma conseqüência de grande importância: Teorema 1.2 O conjunto Q+ dos números racionais positivos é um conjunto contável. 2 Prova. Todo racional positivo é da forma p/q, onde p e q ∈ N são irredut́ıveis ou primos entre si (ou seja, não há “cancelamentos” que permitam escrever p/q = a/b com a < p e b < q). Assim, há uma correspondência um-a-um entre Q+ e o subconjunto de N×N formado por todos os pares (p, q) onde p e q são primos entre si. Como N×N é contável, a Proposição 1.6 diz então que Q+ é também contável. E. 1.23 Exerćıcio. Prove que o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto dos números racionais Q são conjuntos contáveis. 6 Um fato também importante é que há conjuntos de números que não são contáveis. O exemplo mais importante é o dos números reais. Teorema 1.3 O conjunto dos números reais não é contável. 2 Prova. Para provar isso basta mostrar que há um subconjunto de R que não é contável. Considere o conjunto U de todos os números reais do intervalo [0, 1) tais que apenas os d́ıgitos 0 ou 1 aparecem em sua representação decimal. Por exemplo, números como 0, 001101 ou 0, 1 ou 0 ou 0, 1011 ou 1/9 = 0, 11111 . . . são elementos de U . De modo mais preciso, U é o subconjunto do intervalo [0, 1) formado por todos os números u que podem ser escritos da forma u = ∞∑ n=1 dn(u) 10n , onde dn(u) ∈ {0, 1} para todo n ≥ 1. dn(u) é o n-ésimo d́ıgito do número u na base decimal. Note que dois elementos u e v de U são iguais se e somente se dn(u) = dn(v) para todo n (prove isso!). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 41/1461 Vamos provar que U não é um conjunto contável. Para isso vamos supor o oposto, ou seja, que U é contável e veremos que essa hipótese leva a um absurdo. Vamos supor que haja uma função bijetora f : N→ U cuja imagem é U . Considere o número real a definido por a = ∞∑ n=1 1− dn(f(n)) 10n . Como 1− dn(f(n)) é igual a 0 ou a 1 (por que?), segue obviamente que a é um elemento de U . Entretanto, é fácil ver que a não faz parte da imagem da função f . Para ver isso note que se a fosse um elemento da imagem de f haveria um inteiro m tal que f(m) = a. Mas isso significa então que o m-ésimo d́ıgito de a seria dm(a) = dm(f(m)). Mas pela definição do próprio a, o seu m-ésimo d́ıgito é 1− dm(f(m)). Assim, teŕıamos que dm(f(m)) = 1− dm(f(m)) o que não é posśıvel. Conclúımos então que a é um elemento de U mas não pode ser um elemento da imagem da função f . Isso é uma contradição, pois supomos justamente que a imagem da f era todo o conjunto U . Portanto, U não é contável e, assim, R também não o é. Nota. É fácil ver que, em verdade, podeŕıamos substituir a base decimal, usada na representação do conjunto U acima, por qualquer base b ∈ N com b > 2. Ou seja, se considerarmos o conjunto Ub de todos os reais u do intervalo [0, 1] representáveis na base b, b ∈ N, b > 2, da forma u = ∞∑ n=1 dn(u) bn . onde dn(u) ∈ {0, 1}, então, repetindo o que fizemos acima, veŕıamos que Ub não é contável. Claramente U = U10. Nota. O caso da base binária b = 2 foi exclúıdo da última nota pois nele não vale a unicidade da representação dos elementos de U2 na forma u = ∞∑ n=1 dn(u) 2n . onde dn(u) ∈ {0, 1}. Para ver isso, faça o exerćıcio seguinte. E. 1.24 Exerćıcio. Mostre que na base binária 0, 1 e 0, 01111111 . . . representam o mesmo número, a saber, o número 1/2. Sugestão: use a fórmula da progressão geométrica infinita para calcular quanto vale 0, 01111111 . . .. 6 Nota. Os conjuntos Ub, b > 2, são exemplos de uma classe de conjuntos chamados de conjuntos de Cantor13. Tornaremos a reencontrar tais conjuntos quando falarmos de Teoria da Medida (vide Caṕıtulo 21, especialmente Seção 21.2, página 1081.). Ainda sobre os números reais, tem-se também o seguinte fato, que para referência futura formulamos como uma proposição. 13Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 42/1461 Proposição 1.8 R e R2 têm a mesma cardinalidade. 2 Prova. É suficiente mostrar que (0, 1) e (0, 1) × (0, 1) têm a mesma cardinalidade, pois a função x→ (1 + tanh(x))/2 é uma bijeção de R em (0, 1). Fixemos para cada x ∈ (0, 1) uma representação decimal x = 0, d1d2d3 . . . com dn ∈ {0, . . . , 9}. Seja F : (0, 1)→ (0, 1)× (0, 1) definida por F (0, d1d2d3d4 . . .) := ( 0, d1d3d5d7 . . . , 0, d2d4d6d8 . . . ) . F é bijetora e F−1 : (0, 1)× (0, 1)→ (0, 1) é dada por F−1(( 0, a1a2a3a4 . . . , 0, b1b2b3b4 . . . )) = 0, a1b1a2b2a3b3a4b4 . . . . Finalizamos com um outro teorema de grande importância: Teorema 1.4 Se Ci, i ∈ N, são conjuntos contáveis então C = ⋃ i∈N Ci também o é. 2 Prova. Se cada Ci é contável então para cada i ∈ N há uma função bijetora gi : N→ Ci cuja imagem é Ci. Defina-se então a função G : (N × N) → C dada por G(a, b) = ga(b). Esta função não é, em geral, bijetora, pois podem existir elementos comuns entre conjuntos Ci e Cj com i 6= j e teŕıamos gi(m) = gj(n) para algum n e m. Entretanto, a imagem de G é C. Considere então em N × N a seguinte relação de equivalência: o par (a, b) é equivalente ao par (c, d) se e somente se ga(b) = gc(d). O conjunto N ×N pode ser então, como já observamos, escrito como a união disjunta de suas classes de equivalência pela relação acima. Construamos então um subconjunto K de N×N tomando-se um e somente um elemento de cada classe de equivalência escolhido arbitrariamente (usamos aqui o Axioma da Escolha para afirmar que tal construção é posśıvel). Defina agora a função H : K → C dada por H(a, b) = ga(b) para (a, b) ∈ K. Pela própria construção do conjunto K essa função H é bijetora e sua imagem é C. Como K é um subconjunto de N×N que é contável, temos que K também o é e, portanto, C é contável. • Números reais algébricos e transcendentes Na reta real diz-se que um número x é um número algébrico se x for raiz de um polinômio do tipo P (t) = a0 + a1t+ a2t 2 + · · ·+ antn , para algum n ∈ N, onde os coeficientes a0, . . . , an são números racionais. Um tal polinômio é dito ser um polinômio racional. Todo número racional p/q é também algébrico pois é raiz do polinômio racional p− qt. Há também muitos números irracionais que são algébricos. Por exemplo, o número √ 2 é raiz do polinômio racional −2 + t2 e, portanto, é algébrico. Os números reais que não são algébricos são chamados de números transcendentes. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 45/1461 dado por limAn := ∞⋃ n=1 ∞⋂ k=n Ak . O chamado limite do supremo da coleção, denotado por limAn, é o conjunto definido por limAn := ∞⋂ n=1 ∞⋃ k=n Ak . Se considerarmos a relação de ordem entre conjuntos definida pela inclusão de conjuntos, é de se notar que a seqüência de conjuntos Bn := ⋂∞ k=n Ak, n ∈ N, está ordenada de forma crescente (ou seja, Bn  Bm se n ≤ m) e limAn é seu supremo. Analogamente, a seqüência de conjuntos Cn := ⋃∞ k=n Ak, n ∈ N, está ordenada de forma decrescente (ou seja, Cn  Cm se n ≥ m) e limAn é seu ı́nfimo. E. 1.29 Exerćıcio. Justifique a seguinte afirmativa: limAn é o conjunto de todos os pontos x de X que pertencem a todos os conjuntos An exceto a no máximo um número finito deles. Dizemos, nesse caso, que x pertence a quase todos os An’s). 6 E. 1.30 Exerćıcio. Justifique a seguinte afirmativa: limAn é o conjunto de todos os pontos x de X que pertencem a um número infinito de conjuntos An. Dizemos, nesse caso, que x pertence freqüentemente aos An’s). 6 Proposição 1.9 Seja {An, n ∈ N} uma coleção contável de subconjuntos de um conjunto não-vazio X. Então, (limAn) c = limAcn e ( limAn )c = limAcn . 2 Prova. A prova é uma aplicação imediata das definições e das relações (1.11) da Proposição 1.1, página 26. Proposição 1.10 Seja {An, n ∈ N} uma coleção contável de subconjuntos de um conjunto não-vazio X. Então, limAn ⊂ limAn . 2 Prova. A prova é imediata pelos Exerćıcios E. 1.29 e E. 1.30, pois se x ∈ X é tal que x pertence a todos os conjuntos An exceto a no máximo um número finito deles (isto é, se x ∈ limAn), então x pertence a um número infinito de conjuntos An (isto é, x ∈ limAn). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 46/1461 Uma outra prova mais formal é a seguinte. Tem-se (limAn) ∩ ( limAn )c = (limAn) ∩ (limAcn) = ( ∞⋃ n=1 ∞⋂ k=n Ak ) ∩ ( ∞⋃ n′=1 ∞⋂ k′=n′ Ack′ ) Prop. 1.1 = ∞⋃ n=1 ∞⋃ n′=1 ( ∞⋂ k=n Ak ) ∩ ( ∞⋂ k′=n′ Ack′ ) . Agora, para cada par n, n′ tem-se ( ∞⋂ k=n Ak ) ∩ ( ∞⋂ k′=n′ Ack′ ) = ∅, pois essa intersecção é um subconjunto de conjuntos como Ak ∩ Ack com k ≥ n e k ≥ n′ e, evidentemente, Ak ∩ Ack = ∅. Assim, (limAn) ∩( limAn )c = ∅, o que implica limAn ⊂ limAn. • Convergência de seqüências de conjuntos Chegamos a uma definição importante: dizemos que uma coleção contável de conjuntos {An, n ∈ N} converge a um conjunto A se limAn = limAn = A. Se uma coleção contável de conjuntos {An, n ∈ N} converge a um conjunto A, então A é dito ser o limite de An, e escrevemos, como usualmente, A = lim n→∞ An, ou ainda An n→∞−→ A. E. 1.31 Exerćıcio. Justifique a seguinte afirmativa: lim n→∞ An só existe se não há pontos x ∈ X que, simultaneamente, pertençam a infinitos conjuntos An e não pertençam a infinitos conjuntos An. 6 Uma seqüência An de conjuntos é dita ser crescente, ou expansiva, se An ⊂ An+1 para todo n. Uma seqüência An de conjuntos é dita ser decrescente, ou contrativa, se An+1 ⊂ An para todo n. Proposição 1.11 Se uma seqüência An de conjuntos for crescente ou decrescente então limAn existe. Se An é crescente, vale limAn = ∞⋃ k=1 Ak . Se An é decrescente, vale limAn = ∞⋂ k=1 Ak . 2 Prova. Seja An uma seqüência crescente de conjuntos. Então, ∞⋂ k=n Ak = An. Logo, limAn = ∞⋃ n=1 ∞⋂ k=n Ak = ∞⋃ n=1 An. Por outro lado, pelo fato de An ser crescente vale também que ∞⋃ k=n Ak = ∞⋃ k=1 Ak. Logo, JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 47/1461 limAn = ∞⋂ n=1 ∞⋃ k=n Ak = ∞⋂ n=1 ∞⋃ k=1 Ak = ∞⋃ k=1 Ak. Com isso, estabeleceu-se que limAn = limAn e, portanto, limAn existe e vale limAn = ∞⋃ k=1 Ak. A prova para o caso de seqüências decrescentes é análoga (faça-a!). Os exerćıcios que seguem ilustram os conceitos de acima. E. 1.32 Exerćıcio. Seja a faḿılia contável de subconjuntos de R dada por An = [0, 10] se n for par e An = [0, 5] se n for ı́mpar. Determine limAn e limAn e limn→∞An se este existir. 6 E. 1.33 Exerćıcio. Seja a faḿılia contável de subconjuntos de R dada por An = [0, 1] se n for par e An = [2, 3] se n for ı́mpar. Determine limAn e limAn e lim n→∞ An, se este existir. 6 E. 1.34 Exerćıcio. Seja a faḿılia contável de subconjuntos de R dada por An = [ − 1 n + 1 , 1 + 1 n+ 1 ] com n ∈ N. Determine limAn, limAn e lim n→∞ An, se este existir. 6 E. 1.35 Exerćıcio. Seja a faḿılia contável de subconjuntos de R dada por An = [ 1 n+ 2 , 1− 1 n+ 2 ] com n ∈ N. Determine limAn, limAn e lim n→∞ An, se este existir. 6 E. 1.36 Exerćıcio. Crie seus próprios exemplos de faḿılias contáveis An de subconjuntos de R e estude seus limAn, limAn e lim n→∞ An, se este existir. 6 1.2 Estruturas Algébricas Básicas Ainda atentos ao caráter introdutório apresentaremos aqui definições e exemplos das estruturas algébricas mais comuns. • Operações e relações Sejam C e I dois conjuntos não-vazios e consideremos o produto Cartesiano CI (o conceito de produto Cartesiano de conjuntos foi definido à página 29). Uma função f : CI → C é por vezes dita ser uma operação sobre C. Se I é um conjunto finito, f é dita ser uma operação finitária sobre C. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 50/1461 e′ = e′ · e = e. Em um loop, todo elemento possui uma única inversa à direita e uma única inversa à esquerda (não necessariamente iguais). Ou seja, para cada a ∈ L existem um único elemento em L que denotamos por a−1l , denominado inverso à esquerda de a, tal que a −1 l · a = e e um único elemento em L que denotamos por a−1r , denominado inverso à direita de a, tal que a · a−1r = e. A existência e unicidade de tais elementos é conseqüência da propriedade definidora de quase-grupo. • Semi-grupos Um semi-grupo é um conjunto não-vazio S dotado de uma operação binária S × S → S denotada por “·” e denominada produto tal que a seguinte propriedade é satisfeita. 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ S vale (a · b) · c = a · (b · c). • Monóides Um monóide é um conjunto não-vazio M dotado de uma operação binária M ×M →M denotada por “·” e denominada produto tal que as seguintes propriedades são satisfeitas. 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ M vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (único!) elemento e ∈ M , denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para todo g ∈M . Observação: A unicidade do elemento neutro é garantida pela observação que se houvesse e′ ∈ M tal que g · e′ = e′ · g = g para todo g ∈M teŕıamos e′ = e′ · e = e. • Grupos Uma das noções mais fundamentais de toda a Matemática é a de grupo. Um grupo é um conjunto não-vazio G dotado de uma operação binária G×G→ G denotada por “·” e denominada produto e de uma operação unária G→ G (bijetora) denominada inversa, denotada pelo expoente “−1”, tais que as seguintes propriedades são satisfeitas. 1. Associatividade. Para todos a, b e c ∈ G vale (a · b) · c = a · (b · c). 2. Elemento neutro. Existe um (único!) elemento e ∈ G, denominado elemento neutro, tal que g · e = e · g = g para todo g ∈ G. 3. Inversa. Para cada g ∈ G existe um (único!) elemento h ∈ G tal que g · h = h · g = e. Esse elemento é denominado a inversa de g e denotado por g−1. Observações elementares: 1. A unicidade do elemento neutro é garantida pela observação que se houvesse e′ tal que g · e′ = e′ · g = g para todo g ∈ G teŕıamos e′ = e′ · e = e. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 51/1461 2. Analogamente se estabelece a unicidade da inversa, pois se g, h ∈ G são tais que h · g = g ·h = e, teremos, usando a associatividade, g−1 = g−1 · e = g−1 · (g · h) = (g−1 · g) · h = e · h = h. 3. A função G ∋ g 7→ g−1 ∈ G, que associa cada elemento de G à sua inversa, é um exemplo de uma função unária. 4. Como e · e = e, segue que e−1 = e. 5. Para todo g ∈ G vale (g−1)−1 = g pois, usando a associatividade, (g−1)−1 = ( g−1)−1 · e = (g−1)−1 · (g−1 · g) = ((g−1)−1 · g−1) · g = e · g = g . 6. Todo grupo é, trivialmente, um quase-grupo, um loop, um semi-grupo e um monóide. Um grupo é dito ser comutativo ou Abeliano23 se a ·b = b ·a para todos a, b ∈ G. Essa nomenclatura se aplica também a semi-grupos e monóides. É evidente que todo grupo é um monóide e que todo monóide é um semi-grupo. Existe uma construção canônica devida a Grothendieck, que discutimos à página 90, que permite construir um grupo Abeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. Essa construção é importante em várias áreas da Matemática. O leitor interessado poderá passar sem perda à discussão da página 90. • Exemplos simples 1. O conjunto S = {1, 2, 3, . . .} é um semi-grupo em relação à operação de soma usual. O conjunto M = {0, 1, 2, 3, . . .} é um monóide em relação à operação de soma usual, sendo o elemento neutro e = 0. O conjunto G = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} é um grupo em relação à operação de soma usual, sendo o elemento neutro e = 0 e a inversa n−1 = −n. 2. R dotado da operação de multiplicação usual é um monóide onde o elemento neutro é o número 1. Não é um grupo, pois 0 não tem inversa multiplicativa. 3. O conjunto {x ∈ R, x > 0} é um semi-grupo Abeliano em relação à operação de soma, mas não é um monóide. 4. O conjunto R+ = {x ∈ R, x ≥ 0} é um monóide Abeliano em relação à operação de soma mas não um grupo. 5. O conjunto dos números inteiros Z é um grupo Abeliano em relação à operação usual de soma de números inteiros. Esse grupo é comummente denotado por (Z, +), para lembrar o conjunto considerado (no caso, Z) e a operação considerada nesse conjunto (no caso, +) . 6. O conjunto dos números racionais Q é um grupo Abeliano em relação à operação usual de soma de números racionais. Esse grupo é comummente denotado por (Q, +). 23Niels Henrik Abel (1802-1829). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 52/1461 7. O conjunto Q \ {0} = {r ∈ Q, r 6= 0} é um grupo Abeliano em relação à operação usual de produto de números racionais. Esse grupo é comummente denotado por (Q, ·). 8. O conjunto dos números reais R é um grupo Abeliano em relação à operação usual de soma de números reais. Esse grupo é comummente denotado por (R, +). 9. O conjunto dos números complexos C é um grupo Abeliano em relação à operação usual de soma de números complexos. Esse grupo é comummente denotado por (C, +). 10. O conjunto R \ {0} = {x ∈ R, x 6= 0} é um grupo Abeliano em relação à operação usual de produto de números reais. Esse grupo é comummente denotado por (R, ·). 11. O conjunto C \ {0} = {z ∈ C, z 6= 0} é um grupo Abeliano em relação à operação usual de produto de números complexos. Esse grupo é comummente denotado por (C, ·). 12. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n× n com o produto usual de matrizes é apenas um monóide. 13. Mat(C, n), o conjunto das matrizes complexas n× n é um grupo em relação à operação de soma de matrizes. 14. O conjunto GL(R, n) de todas as matrizes reais n× n com determinante não-nulo (e, portanto, invert́ıveis) é um grupo em relação a operação de produto usual de matrizes. GL(R, n) é não- Abeliano se n > 1. 15. O conjunto GL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante não-nulo (e, portanto, invert́ıveis) é um grupo em relação a operação de produto usual de matrizes. GL(C, n) é não-Abeliano se n > 1. 16. O conjunto GL(Q, n) de todas as matrizes racionais n×n com determinante não-nulo (e, portanto, invert́ıveis) é um grupo não-Abeliano (se n > 1) em relação a operação de produto usual de matrizes. O conjunto GL(Z, n) de todas as matrizes inteiras n × n com determinante não-nulo (e, portanto, invert́ıveis) é um monoide não-Abeliano (se n > 1) em relação a operação de produto usual de matrizes. Não é um grupo pois a inversa de uma matriz invert́ıvel com entradas inteiras não é sempre uma matriz com entradas inteiras. 17. O conjunto SL(C, n) de todas as matrizes complexas n × n com determinante igual a 1 (e, portanto, invert́ıveis) é um grupo não-Abeliano (se n > 1) em relação a operação de produto usual de matrizes. O mesmo é verdadeiro para SL(R, n), SL(Q, n) e SL(Z, n), as matrizes reais, racionais ou inteiras, respectivamente, com determinante igual a 1. 18. Seja X um conjunto não-vazio. Então P(X) é um grupo Abeliano em relação à operação de diferença simétrica A△B, A, B ∈ X, definida em (1.2), página 23. De fato, o Exerćıcio E. 1.1, página 23, garante associatividade e comutatividade, o elemento neutro é o conjunto vazio ∅ e para todo A ∈ P(X) tem-se A−1 = A. Verifique! 19. Outro exemplo importante é o seguinte. Seja C um conjunto não-vazio e tomemos S = CC , o conjunto de todas as funções de C em C. Então, S é um monóide com o produto formado pela composição de funções: f ◦ g, e onde o elemento neutro é a função identidade id(s) = s, ∀s ∈ C. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 55/1461 1.2.2 Corpos Um corpo25 é um conjunto não-vazio C dotado de duas operações binárias, denotadas por + e ·, denominadas soma e produto, respectivamente, satisfazendo o seguinte: para α, β e γ ∈ C quaisquer, valem 1. A operação de soma tem as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: α + β = β + α (b) Associatividade: α + (β + γ) = (α + β) + γ (c) Elemento neutro: existe um elemento 0 ∈ C, chamado de zero, tal que α+ 0 = α para todo α ∈ C. (d) Inversa: para cada α ∈ C existe um único elemento denotado por β com a propriedade α + β = 0. Esse elemento é mais comummente denotado por −α. 2. A operação de produto tem as seguintes propriedades: (a) Comutatividade: α · β = β · α (b) Associatividade: α · (β · γ) = (α · β) · γ (c) Elemento neutro: existe um elemento 1 ∈ C, chamado de unidade, tal que α · 1 = α para todo α ∈ C. (d) Inversa: para cada α ∈ C, α 6= 0, existe um único elemento denotado por β com a proprie- dade α · β = 1. Esse elemento é mais comummente denotado por α−1. 3. Distributividade: o produto é distributivo em relação à adição: α · (β + γ) = α · β + α · γ. Note-se que corpos são grupos comutativos em relação à operação de soma e monóides comutativos em relação à operação de produto. A distributividade é a única propriedade listada acima que relaciona essas operações. Os elementos de um corpo são por vezes denominados escalares. Exemplos. É fácil verificar que Q, R e C são corpos em relação às operações usuais de soma e produto. O conjunto das matrizes n × n para qualquer n ≥ 2 com o produto usual de matrizes não é um corpo pois, entre outras razões, o produto não é comutativo. Em um corpo C sempre vale que α · 0 = 0 para todo α ∈ C. De fato, como 0 = 0 + 0, segue que α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0 . Somando-se a ambos os lados o elemento inverso −α · 0 teremos α · 0 + (−α · 0) = α · 0 + α · 0 + (−α · 0) , 25Em inglês a palavra empregada é field. A expressão em português provavelmente provem do francês corp ou do alemão Körper. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 56/1461 ou seja, 0 = α · 0 + 0 = α · 0 , como queŕıamos provar. Pela comutatividade do produto vale também 0 · α = 0 para todo α ∈ C. Vamos exibir outros exemplos menos triviais de corpos. • Os corpos Q(√p), com p primo E. 1.42 Exerćıcio. Mostre que o conjunto de todos os números reais da forma a + b √ 2, com a e b racionais, é um corpo. 6 O corpo do exemplo acima é denotado por Q( √ 2). E. 1.43 Exerćıcio. Seja p um número primo. Mostre que o conjunto de todos os números reais da forma a + b √ p, com a e b racionais, é um corpo. 6 O corpo do exemplo acima é denotado por Q( √ p). E. 1.44 Exerćıcio. Mostre que o conjunto de todos os números reais da forma a+ b √ 2 com a e b inteiros não é um corpo. 6 • Os corpos Zp, com p primo O bem conhecido algoritmo de Euclides26 afirma que, dado n ∈ N, n > 0, então todo número inteiro z pode ser escrito de maneira única na forma z = qn+ r, onde q ∈ Z e r ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. O número r é denominado resto da divisão de z por n e é também denotado por r = z mod n. Seja n um inteiro positivo maior ou igual a 2 e seja Zn o conjunto {0, 1, . . . , n−1}. Vamos definir operações de soma e produto em Zn da seguinte forma: α + β = [α + β] mod n e α · β = [αβ] mod n . Acima [α + β] e [αβ] são a soma e o produto usuais em Z. Temos o seguinte teorema: Teorema 1.5 O conjunto Zn é um corpo com as operações acima definidas se e somente se n for um número primo. 2 Prova. As operações de soma e produto definidas acima são automaticamente comutativas, associativas e distributivas (por que?). Fora isso sempre vale que −α = n−α para todo α ∈ Zn. Resta-nos estudar a existência de elementos inversos α−1. Vamos supor que Zn seja um corpo. Então, a ∈ {2, . . . , n−1} tem uma inversa em Zn, ou seja, um número b ∈ {1, . . . , n − 1} tal que a · b = 1. Lembrando a 26Euclides de Alexandria (≈ 325 A.C, ≈ 265 A.C.). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 57/1461 definição de produto em Zn, isso significa que existe um inteiro r tal que ab = rn+1. Mas isso implica b− 1 a = r (n a ) . Como o lado esquerdo não é um número inteiro, o lado direito também não pode ser. Isso diz então que n/a não pode ser inteiro para nenhum a ∈ {2, . . . , n− 1}, ou seja, n não tem divisores e é, portanto, um primo. Resta-nos mostrar que Zp é efetivamente um corpo quando p é primo, o que agora se reduz a mostrar que para todo a ∈ Zp existe um elemento inverso. Para apresentar a demonstração, recordemos três conceitos da teoria de números. 1. Sejam dois números inteiros f e g, dizemos que f divide g se g/f ∈ Z. Se f divide g, denotamos esse fato por f |g. 2. Sejam dois números inteiros f e g. O máximo divisor comum de f e g, denotado mdc(f, g) é o maior inteiro m tal que m|f e m|g. 3. Dois números inteiros f e g são ditos ser primos entre si se mdc(f, g) = 1. A demonstração da existência de inverso em Zp será apresentada em partes. Vamos primeiro demonstrar a seguinte afirmativa. Lema 1.2 Se f e g são dois números inteiros quaisquer então existem inteiros k′ e l′ tais que mdc(f, g) = k′f + l′g . 2 Prova. Seja m = mdc(f, g). Seja M o conjunto de todos os números positivos que sejam da forma kf + lg com k e l inteiros. Seja m′ o menor elemento de M . Note que como os elementos de M são positivos, esse menor elemento existe. Claramente m′ = k′f + l′g (1.19) para algum k′ e l′. Como, por definição, m|f e m|g, segue que m|m′, o que só é posśıvel se m′ ≥ m. (1.20) Vamos agora demonstrar por contradição quem′|f . Se isso não fosse verdade, existiriam (pelo algoritmo de Euclides) inteiros α e β com 0 < β < m′ (1.21) tal que f = αm′ + β . Usando (1.19) isso diz que β = f − α(k′f + l′g) = (1− αk′)f + (−αl′)g . Mas, como β > 0 isso diz que β ∈ M . Logo, β ≥ m′, contradizendo (1.21). Logo m′|f . De maneira totalmente análoga prova-se que m′|g. Portanto m′ ≤ mdc(f, g) = m. Lembrando que hav́ıamos provado (1.20), segue que m = m′ e, portanto m = k′f + l′g, demonstrando o Lema. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 60/1461 Anti-exemplo. Tomemos o conjunto dos reais com a operação de soma usual, um corpo Zp com p primo e o produto Zp ×R→ R, α · x, α ∈ Zp e x ∈ R dada pelo produto usual em R. Essa estrutura não forma um espaço vetorial. A regra distributiva (α + β) · x = α · x+ β · x não é satisfeita para todo α, β ∈ Zp. Acima, α · x é o produto usual em R. * É quase desnecessário mencionar o quão importantes espaços vetoriais são no contexto da F́ısica, onde, porém, quase somente espaços vetoriais sobre o corpo dos reais ou dos complexos aparecem. Discutiremos mais aspectos básicos da teoria dos espaços vetoriais na Seção 2.1, página 100. * 1.2.4 Anéis, Álgebras e Módulos • Anéis Um anel é um conjunto A dotado de duas operações binárias denotadas por “+” e “·” e denominadas soma e produto, respectivamente, tais que A é um grupo Abeliano em relação à operação de soma e um semi-grupo em relação à operação de produto. Por fim, a operação de produto é distributiva em relação à soma: para quaisquer a, b e c ∈ A valem a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c. Como usual, denotamos por −a a inversa aditiva do elemento a de um anel. Se 0 é o elemento neutro de um anel A em relação à operação de soma, então a · 0 = 0 pois, como 0 = 0 + 0, tem-se pela propriedade distributiva a · 0 = a · 0 + a · 0, que implica 0 = a · 0 − (a · 0) = a · 0 + a · 0− (a · 0) = a · 0. • Álgebras Uma álgebra é um espaço vetorial V sobre um corpo K dotado de uma operação de produto binária “·” dita produto da álgebra, de modo que as seguintes propriedades são satisfeitas 1. O produto da álgebra é distributivo em relação a soma vetorial: para todos a, b e c ∈ V valem a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c + b · c . 2. O produto por escalares comuta com o produto da álgebra e é distributivo em relação a ele: para todos a, b ∈ V e α ∈ K vale α(a · b) = (αa) · b = a · (αb) . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 61/1461 Uma álgebra V é dita ser uma álgebra comutativa ou uma álgebra Abeliana27 se para todos a, b ∈ V tivermos a · b = b · a. Uma álgebra V é dita ser uma álgebra associativa se para todos a, b e c ∈ V tivermos a · (b · c) = (a · b) · c . Álgebras associativas são anéis. Alguns exemplos elementares de anéis e álgebras: 1. O conjunto Mat (C, n) das matrizes complexas n×n é uma álgebra complexa, associativa e não- comutativa (se n > 1) em relação à soma e ao produto usuais de matrizes. O conjunto Mat (Z, n) das matrizes inteiras n×n é um anel (não-comutativo, se n > 1) em relação à soma e ao produto usuais de matrizes. 2. O conjunto Mat (Q, n) das matrizes racionais n × n é um anel (não-comutativo, se n > 1) em relação à soma e ao produto usuais de matrizes. É também uma álgebra em relação ao corpo dos racionais Q. 3. O conjunto Pol(C) de todos os polinômios em uma variável complexa com coeficientes complexos é uma álgebra complexa, associativa e Abeliana em relação à soma e ao produto usuais de polinômios. O conjunto Pol(Z) de todos os polinômios em uma variável complexa com coeficientes inteiros é um anel Abeliano em relação à soma e ao produto usuais de polinômios. 4. O conjunto Pol(Q) de todos os polinômios em uma variável complexa com coeficientes racionais é um anel Abeliano em relação à soma e ao produto usuais de polinômios. É também uma álgebra associativa e Abeliana em relação ao corpo dos racionais Q. E. 1.47 Exerćıcio. Em caso de dúvida, justifique as afirmações de acima. 6 Notação. Se A é uma álgebra associativa, podemos sem ambigüidade denotar o produto de dois de seus elementos a, b ∈ A simplesmente por ab. Pela mesma razão, em uma álgebra associativa produtos triplos como a(bc) e (ab)c podem ser escritos sem ambigüidade como abc. Devemos dizer que há muitas álgebras importantes encontradas na F́ısica que não são nem comuta- tivas nem associativas. Por exemplo, a álgebra do produto vetorial em R3 não é nem comutativa nem associativa. Dentre as álgebras não-associativas destacam-se pela sua importância as álgebras de Lie. • Álgebras de Lie Uma classe especialmente importante de álgebras não-comutativas e não-associativas é formada pelas chamadas álgebras de Lie. Uma álgebra L (sobre um corpo K) é dita ser uma álgebra de Lie28 se seu produto, além das propriedades 1 e 2 da página 60, satisfizer 27Niels Henrik Abel (1802-1829). 28Marius Sophus Lie (1842-1899). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 62/1461 1. Anti-comutatividade. Para todos a, b ∈ L vale a · b = −b · a. 2. Identidade de Jacobi29. Para todos a, b e c ∈ L vale a · (b · c) + c · (a · b) + b · (c · a) = 0 . (1.22) Por razões históricas o produto de dois elementos de uma álgebra de Lie é denotado pelo śımbolo [a, b] em lugar de a · b. Seja A uma álgebra associativa. Podemos associar a A uma álgebra de Lie definindo o produto [a, b] = ab − ba, denominado comutador de a e b ∈ A. A anti-comutatividade desse produto é óbvia e a identidade de Jacobi segue do fato que [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = a(bc− cb)− (bc− cb)a+ c(ab− ba)− (ab− ba)c+ b(ca− ac)− (ca− ac)b = abc− acb− bca + cba+ cab− cba− abc + bac + bca− bac− cab+ acb = 0 , como facilmente se constata. • Exemplos básicos de álgebras de Lie Todos os exemplos aqui exibidos são relevantes na teoria dos grupos de Lie. E. 1.48 Exerćıcio. Mostre que R3 dotado do produto vetorial usual é uma álgebra de Lie. 6 E. 1.49 Exerćıcio. Mostre que Mat (R, n) (ou Mat (C, n)), o conjunto de todas as matrizes n×n reais (complexas) é uma álgebra de Lie com relação ao produto [A, B] = AB −BA. 6 E. 1.50 Exerćıcio. Mostre que o subconjunto de Mat (R, n) (ou de Mat (C, n)) formado pelas matrizes com traço nulo é uma álgebra de Lie com relação ao produto [A, B] = AB −BA. 6 E. 1.51 Exerćıcio. Mostre que o subconjunto de Mat (R, n) (ou de Mat (C, n)) formado pelas matrizes anti-simétricas, ou seja, tais que AT = −A, é uma álgebra de Lie com relação ao produto [A, B] = AB − BA. 6 E. 1.52 Exerćıcio. Mostre que o subconjunto de Mat (C, n) formado pelas matrizes anti-autoadjuntas, ou seja, tais que A∗ = −A, é uma álgebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com relação ao produto [A, B] = AB − BA. 6 29Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 65/1461 associa um elemento de M denotado por a ·m com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A e todos m, n ∈ M 1. a · (m+ n) = a ·m+ a · n, 2. (a + b) ·m = a ·m+ b ·m, 3. a · (b ·m) = (ab) ·m, 4. Se A possuir uma identidade e (i.e., um elemento neutro para o produto), então e ·m = m. Seja A um anel. Um A-módulo à direita é um grupo Abeliano M dotado de uma funçãoM×A→M que a cada par a ∈ A, m ∈ M associa um elemento de M denotado por m · a com as seguintes propriedades: para todos a, b ∈ A e todos m, n ∈M 1. (m+ n) · a = m · a+ n · a, 2. m · (a+ b) = m · a+m · b, 3. (m · b) · a = m · (ba), 4. Se A possuir uma identidade e, então m · e = m. Sejam A e B dois anéis. Um bimódulo em relação a A e B é um grupo Abeliano M dotado de duas funções A×M → M e M × B → M que a cada a ∈ A, b ∈ B e m ∈ M associam elementos de M denotados por a ·m e m · b, respectivamente, de modo que M seja um A-módulo à esquerda e um B-módulo à direita e de modo que valha 1. a · (m · b) = (a ·m) · b para todos a ∈ A, b ∈ B, m ∈M . 1.2.5 Mais sobre Anéis Apresentaremos em seqüência uma série de definições após as quais discutiremos exemplos relevantes. • Anéis com unidade Um anel com unidade é um anel R com a propriedade de existir em R um elemento 1, chamado de unidade, com 1 6= 0, tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ R. • Anéis sem divisores de zero Dado um anel R um elemento não-nulo a ∈ R é dito ser um divisor de zero se existir pelo menos um b ∈ R com b 6= 0 tal que a · b = 0 ou b · a = 0. Se em um dado anel a relação a · b = 0 só for posśıvel se a = 0 ou b = 0 ou ambos, então esse anel é dito ser um anel sem divisores de zero. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 66/1461 Exemplos. C e R são anéis sem divisores de zero (com os produtos e somas usuais), mas os anéis Mat(n, C), n > 1, têm divisores de zero (com o produto e soma usuais), pois tem-se, por exemplo, ( 1 0 0 0 )( 0 0 0 1 ) = ( 0 0 0 0 ) . E. 1.60 Exerćıcio. Mostre que em Z4 tem-se 2 · 2 = 0, ou seja, 2 é um divisor de zero. Há outros divisores de zero? 6 E. 1.61 Exerćıcio. Mostre que em Zn existem divisores de zero caso n não seja um número primo. 6 • Anéis de integridade Um anel comutativo (ou seja, cujo produto é comutativo), com unidade e sem divisores de zero é dito ser um anel de integridade ou também um domı́nio de integridade. Para a relação entre anéis de integridade e corpos, vide adiante. • Anéis de divisão Um anel R é dito ser um anel de divisão se possuir uma unidade multiplicativa 1, i.e., um elemento tal que para todo a ∈ R vale a · 1 = 1 · a = a e se para todo a ∈ R, a 6= 0, existir uma inversa multiplicativa em R, ou seja, um elemento denotado por a−1 tal que a · a−1 = a−1 · a = 1. E. 1.62 Exerćıcio importante. Mostre que um anel de divisão não pode possuir divisores de zero. Por- tanto, todo anel de divisão comutativo é também um anel de integridade. 6 Exemplos. Com as definições usuais R, C e Q são anéis de divisão mas Z não o é (falha a existência da inversa multiplicativa). Mat(n, C), com n > 1, também não é um anel de divisão com as definições usuais pois nem toda a matriz não-nula é invert́ıvel. Outro exemplo de anel de divisão (não comutativo!) são os quatérnions, que serão discutidos à página 94. • Álgebras de divisão Uma álgebra A é dita ser uma álgebra de divisão se possuir uma unidade multiplicativa 1, i.e., um elemento tal que para todo a ∈ A vale a · 1 = 1 · a = a e se para todo a ∈ A, a 6= 0, existir uma inversa multiplicativa em A, ou seja, um elemento denotado por a−1 tal que a · a−1 = a−1 · a = 1. • Corpos Todo anel de divisão cujo produto “·” é comutativo é um corpo (verifique!). • Corpos não-comutativos Como a única distinção entre as definições de corpos e de anéis de divisão é que para os primeiros a JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 67/1461 comutatividade do produto é requerida, diz-se também por vezes que anéis de divisão não-comutativos são corpos não-comutativos. • Corpos e anéis de integridade É bem claro pelas definições que todo corpo é também um anel de integridade. A reciproca é parcialmente válida: Teorema 1.6 Todo anel de integridade finito é um corpo. 2 Prova. Se A é um anel de integridade, tudo que precisamos é mostrar que todo elemento não-nulo de A é invert́ıvel. Seja a um elemento de A \ {0}. Definamos a aplicação α : A \ {0} → A dada por α(y) = ay . Note que, como A é um anel de integridade o lado direito é não nulo pois nem a nem y o são. Assim, α é, em verdade, uma aplicação de A \ {0} em A \ {0} e, como tal, é injetora, pois se ay = az, segue que a(y − z) = 0, o que só é posśıvel se y = z, pois A é um anel de integridade e a 6= 0. Agora, uma aplicação injetora de um conjunto finito em si mesmo tem necessariamente que ser sobrejetora (por que?). Assim, α é uma bijeção de A \ {0} sobre si mesmo. Como 1 ∈ A \ {0}, segue que existe y ∈ A \ {0} tal que ay = 1, ou seja, a tem uma inversa. Como a é um elemento arbitrário de A \ {0}, segue que todo elemento de A \ {0} tem inversa e, portanto, A é um corpo. Anéis de integridade infinitos não são necessariamente corpos: Anti-exemplo. Um exemplo de um anel de integridade que não é um corpo é o conjunto de todos os polinômios de C em C com o produto e soma usuais. Em verdade, os únicos polinômios que têm inverso multiplicativo são os polinômios constantes não-nulos. • Anéis de divisão finitos O seguinte teorema, originalmente devido a Wedderburn35, é bastante supreendente por mostrar uma insuspeita relação entre a cardinalidade de um anel de divisão e a natureza de seu produto Teorema 1.7 Todo anel de divisão finito é comutativo. 2 Assim, pelas observações feitas acima conclúı-se: Corolário 1.2 Todo anel de divisão finito é um corpo. 2 A prova do Teorema 1.7 não será apresentada aqui. Uma demonstração elegante, devida a Witt36, pode ser encontrada na magńıfica referência [2]. 35Joseph Henry Maclagen Wedderburn (1882-1948). O trabalho original de Wedderburn é: J. H. M. Wedderburn, “A theorem on finite algebras”, Trans. Amer. Math. Soc. 6, 349-352 (1905). Esse trabalho contém três demonstrações do Teorema 1.7. 36Ernst Witt (1911-1991). O trabalho original de Witt é “Über die Kommutativität endlicher Schiefköerper”. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 8, 413 (1931). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 70/1461 Uma representação de um grupo é uma ação a esquerda do mesmo em um espaço vetorial pela famı́lia das aplicações lineares invert́ıveis agindo nesse espaço vetorial. Sejam G um grupo e V um espaço vetorial sobre um corpo K. Uma representação de G em V é uma função π : G × V → V tal que para todo g ∈ G as funções π(g, ·) : V → V sejam lineares e bijetivas e satisfazem π(e, v) = v e π(g, π(h, v)) = π(gh, v) para todos g, h ∈ G e todo v ∈ V . Devido à linearidade é conveniente denotar π(g, v) por π(g)v. Uma representação satisfaz assim: 1. Para todo g ∈ G, π(g) é uma aplicação linear bijetora de V em V : π(g)(αu+ βv) = απ(g)u+ βπ(g)v para todos α, β ∈ K e todos u, v ∈ V . 2. π(e) = 1, o operador identidade em V . 3. Para todos g, h ∈ G vale π(g)π(h) = π(gh). • Representações de álgebras Seja A uma álgebra sobre um corpo K e V um espaço vetorial sobre o mesmo corpo. Uma repre- sentação de A em V é uma famı́lia de funções lineares de V em V , {π(a), a ∈ A}, satisfazendo 1. Para todo a ∈ A, π(a) : V → V é uma aplicação linear, ou seja π(a)(αu+ βv) = απ(a)u+ βπ(a)v para todos α, β ∈ K e todos u, v ∈ V . 2. Para todos α, β ∈ K e todos a, b ∈ A vale π(αa+ βb) = απ(a) + βπ(b) . 3. Para todos a, b ∈ A π(ab) = π(a)π(b) . Uma representação π de uma álgebra A em um espaço vetorial V é dita ser uma representação fiel se π(a) = 0 só ocorrer para a = 0. Uma representação π de uma álgebra A em um espaço vetorial V é dita ser uma representação não-degenerada se π(a)v = 0 para todo a ∈ A só ocorrer para v = 0. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 71/1461 1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Mono- morfismos, Endomorfismos e Automorfismos Dos radicais gregos hómos: semelhante, igual; mónos: um, sozinho; epi: sobre; ı́sos: semelhante, igual; endon: para dentro, dentro; autós: próprio, mesmo e morphé: forma. Nesta seção nos limitaremos a listar algumas definições básicas que serão usadas e desenvolvidas no restante do texto, onde também exemplos serão apresentados. A pretensão não é a de desenvolver os assuntos, mas de apresentar as definições para referência futura. Em termos informais um morfismo entre duas estruturas de um mesmo tipo (dois grupos, dois espaços vetoriais, duas álgebras, dois anéis etc.) é uma função entre as mesmas que respeita as operações de produto lá definidas. • Morfismos em grupos indexMorfismos em grupos Dados dois grupos G e H , com unidades eG e eH , respectivamente, uma função φ : G → H é dita ser um homomorfismo ou morfismo de grupos se φ(eG) = eH e se φ(a · b) = φ(a) · φ(b) para todos a, b ∈ G. Dados dois grupos G e H , com unidades eG e eH , respectivamente, uma função φ : G → H é dita ser um anti-homomorfismo se φ(eG) = eH e se φ(a · b) = φ(b) · φ(a) para todos a, b ∈ G. Por exemplo, a aplicação φ : G→ G tal que φ(g) = g−1 é um anti-homomorfismo (verifique). Um homomorfismo φ : G→ H entre dois grupos é dito ser um monomorfismo se for injetivo. Um homomorfismo φ : G→ H entre dois grupos é dito ser um epimorfismo se for sobrejetor. Um homomorfismo φ : G→ H entre dois grupos é dito ser um isomorfismo se for bijetor, em cujo caso a aplicação inversa φ−1 : H → G é também um homomorfismo. Se dois grupos G e H forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos que G e H são isomorfos (por φ) e denotamos esse fato por G ≃φ H , ou simplesmente por G ≃ H . E. 1.68 Exerćıcio importante. Mostre que a relação de isomorfia entre grupos é uma relação de equi- valência. 6 Um homomorfismo ρ de um grupo G em si mesmo ρ : G→ G é dito ser um endomorfismo de G. Um isomorfismo α de um grupo G em si mesmo α : G→ G é dito ser um automorfismo de G. Um exemplo básico de automorfismo é o seguinte: seja g ∈ G fixo. Definimos αg : G → G por αg(a) = g −1ag para todo a ∈ G. E. 1.69 Exerćıcio. Mostre que para cada g ∈ G fixo, αg é um homomorfismo e que sua inversa é αg−1 . 6 Um automorfismo de um grupo G é dito ser um automorfismo interno se for da forma αg para algum g ∈ G. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 72/1461 Muitas das definições apresentadas acima têm seus análogos em outras estruturas, como espaços vetoriais, álgebras, anéis, módulos etc. Trataremos de alguns casos. • Morfismos em espaços vetoriais Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função φ : U → V é dita ser um homomorfismo ou morfismo de espaços vetoriais se φ(α1u1 + α2u2) = α1φ(u1) + α2φ(u2) para todos α1, α2 ∈ K e todos u1, u2 ∈ U . Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função φ : U → V é dita ser um isomorfismo de espaços vetoriais se for um morfismo de espaços vetoriais, e se for bijetora. Se dois espaços vetoriais U e V sobre o mesmo corpo forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos que U e V são isomorfos (por φ) e denotamos esse fato por U ≃φ V , ou simplesmente por U ≃ V . E. 1.70 Exerćıcio importante. Mostre que a relação de isomorfia entre espaços vetoriais é uma relação de equivalência. 6 Em espaços vetoriais os conceitos de mono-, endo- e e automorfismo não são muito empregados. Em verdade, morfismos de espaços vetoriais são mais freqüentemente denominados operadores lineares ou aplicações lineares, como matrizes, por exemplo. No caso de espaços vetoriais sobre o corpo dos complexos existem também os conceitos de anti- homomorfismo, anti-isomorfismo etc. Sejam U e V dois espaços vetoriais sobre C. Uma função φ : U → V é dita ser um anti-homomorfismo ou anti-morfismo de espaços vetoriais se φ(α1u1 + α2u2) = α1φ(u1)+α2φ(u2) para todos α1, α2 ∈ C e todos u1, u2 ∈ U . O conceito de anti-isomorfismo é análogo. • Morfismos em álgebras indexMorfismos em álgebras Sejam A e B duas álgebras (sobre o mesmo corpo K, como espaços vetoriais). Uma função φ : A→ B é dita ser um homomorfismo ou morfismo de álgebras se for um morfismo de espaços vetoriais (ou seja φ(α1a1 + α2a2) = α1φ(a1) + α2φ(a2) para todos α1, α2 ∈ K e todos a1, a2 ∈ A) e se φ(a1 · a2) = φ(a1) · φ(a2) para todos a1, a2 ∈ A. Sejam A e B duas álgebras sobre o mesmo corpo K. Uma função φ : A → B é dita ser um isomorfismo de álgebras se for um morfismo de álgebras e se for bijetora. Se duas álgebras A e B sobre o mesmo corpo forem tais que exista um isomorfismo φ entre ambos dizemos que A e B são isomorfas (por φ) e denotamos esse fato por A ≃φ B, ou simplesmente por A ≃ B. E. 1.71 Exerćıcio importante. Mostre que a relação de isomorfia entre álgebras é uma relação de equi- valência. 6 Um morfismo de álgebra ρ de uma álgebra A em si mesma ρ : A→ A é dito ser um endomorfismo de A. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 75/1461 3. Para todos g, h ∈ G vale βg(βh([f ]r)) = βg([fh]r) = [fhg]r = βhg([f ]r) para qualquer f ∈ G. Isso provou que β : G× (G/H)r → (G/H)r é uma ação à direita de G em (G/H)r. Não é dif́ıcil ver que a ação β age transitivamente em (G/H)r. De fato, se e é a unidade de G, então αg([e]r) = [g]r e variando g por todo G a imagem [g]r varre todo (G/H)r. * Os cosets (G/H)l e (G/H)r podem ser identificados e transformados em grupos se uma certa hipótese for feita sobre o sub-grupo H e sua relação com G. Esse é nosso assunto na Seção 1.3.2. 1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente • Sub-Grupos normais Seja G um grupo. Um subgrupo N de G é dito ser um subgrupo normal se gng−1 ∈ N para todo g ∈ G e todo n ∈ N . Se N é um sub-grupo normal de G denotamos esse fato escrevendo N
G. Observe que todo sub-grupo de um grupo Abeliano G é normal. E. 1.74 Exerćıcio. Sejam G e H dois grupos e ϕ : G → H um homomorfismo. Mostre que Ran (ϕ) := {ϕ(g)| g ∈ G} é um sub-grupo de H . 6 E. 1.75 Exerćıcio importante. Sejam G e H dois grupos e ϕ : G → H um homomorfismo. Seja eH a unidade de H . Mostre que Ker (ϕ) := {g ∈ G| ϕ(g) = eH} é um sub-grupo normal de G. 6 Nota sobre a nomenclatura dos dois exerćıcios acima. O śımbolo Ran provém da palavra inglesa “range” (“alcance”, em português) e é freqüentemente empregado como sinônimo da imagem de uma função ou aplicação. O śımbolo Ker provem do inglês “kernel” (“núcleo” ou “caroço”, em português). • Cosets por subgrupos normais Nesse contexto, a seguinte proposição é fundamental. Proposição 1.12 Seja G um grupo e seja N um sub-grupo de G. Então, uma condição necessária e suficiente para que possamos identificar (G/N)l com (G/N)r, ou seja, para que tenhamos [g]l = [g]r para todo g ∈ G, é que N
G, ou seja, que N seja um sub-grupo normal de G. 2 Prova. Por definição, g′ ∈ [g]l se e somente existe n ∈ N tal que g−1g′ = n, o que é verdade se e somente se g′g−1 = gng−1. Mas g′ ∈ [g]r se e somente se g′g−1 ∈ N . Assim [g]l = [g]r para todo g ∈ G se e somente se gng−1 ∈ N para todo g ∈ G e n ∈ N , o que é verdade se somente se N é um subgrupo normal de G. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 76/1461 Com isso, caso N
G, definimos [g] := [g]l = [g]r para todo g ∈ G e definimos o coset de G por N por G/N := (G/N)l = (G/N)r, ou seja, G/N = {[g], g ∈ G}. Advertência. O leitor deve ser advertido aqui que, infelizmente, é comum na literatura denotar o coset à esquerda (G/H)l por G/H , mesmo quando H não é normal (vide, por exemplo, [132] ou [61], entre outros). Evitaremos fazer isso, pois isso pode levar a uma confusão de conceitos. • Ações à direita e à esquerda sobre o coset por um subgrupo normal Se H é um subgrupo qualquer de G, definimos páginas acima uma ação transitiva à esquerda α : G × (G/H)l → (G/H)l e uma ação transitiva à direita β : G × (G/H)r → (G/H)r. Fica claro pela Proposição 1.12 que se N
G, podemos definir tanto α : G× (G/N) → G/N tal que G× (G/N) ∋ (g, [f ]) 7→ αg([f ]) := [gf ] ∈ G/N como uma ação à esquerda de G sobre G/N quanto β : G× (G/N) → G/N tal que G× (G/N) ∋ (g, [f ]) 7→ βg([f ]) := [fg] ∈ G/N como uma ação à direita de G sobre G/N . Ambas as ações agem transitivamente. • O grupo quociente de G por N Sub-grupos normais são importantes, pois com eles podemos fazer da coleção de classes de equi- valência G/N um grupo, denominado grupo quociente de G por N . A construção é a seguinte. Seja N
G. Podemos fazer de G/N um grupo definindo o produto como [g]N [h]N = [gh]N . É muito fácil ver que, se esta expressão está bem definida, ela de fato representa um produto associativo na coleção de classes de equivalência G/N . O elemento neutro seria a classe [e]N , onde e é a identidade de g. Por fim, [g]−1N = [g −1]N . O ponto não trivial é mostrar que a definição de produto como [g]N [h]N = [gh]N faz sentido, ou seja, é independente dos elementos tomados nas classes de g e h. Para isso precisaremos que N seja normal. O que temos de fazer é mostrar que se g′ ∼N g e h′ ∼N h então g′h′ ∼N gh, ou seja, precisamos mostrar que se g′g−1 ∈ N e h′h−1 ∈ N então g′h′(gh)−1 ∈ N . Mas, de fato, tem-se que g′h′(gh)−1 = g′h′h−1g−1 = (g′g−1)[g(h′h−1)g−1] . Agora, por hipótese, h′h−1 ∈ N . Dáı, como N é normal (é aqui que essa hipótese entra pela primeira vez), g(h′h−1)g−1 ∈ N . Como, também pela hipótese, g′g−1 ∈ N e N é um sub-grupo, conclúımos que g′h′(gh)−1 ∈ N , ou seja, g′h′ ∼N gh. Assim [g]N [h]N = [gh]N está bem definido e faz das classes G/N um grupo. Esse grupo é denominado de grupo quociente de G por N . A noção de grupo quociente é muito importante na teoria de grupos e iremos explorar algumas das aplicações nessas notas. Adiante usarêmo-la para construir a noção de produto tensorial e soma direta de vários objetos, tais como grupos, álgebras etc. A noção de grupo quociente é importante por permitir estudar a relação de certos grupos entre si. Mais adiante, por exemplo, mostraremos que o grupo SO(3) é isomorfo ao grupo SU(2)/{1, −1}, um resultado de direto interesse f́ısico na Mecânica Quântica. A noção de grupo quociente é também muito importante em problemas combinatórios envolvendo grupos, mas não falaremos disso aqui. Para uma discussão mais ampla, vide [131], [132] ou [108]. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 77/1461 1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores • O centro de um grupo Seja G um grupo. O conjunto dos elementos de G que têm a propriedade de comutarem com todos os elementos de G é denominado o centro do grupo G e é freqüentemente denotado por38 Z(G). Em śımbolos: Z(G) := {h ∈ G| hg = gh para todo g ∈ G} . Note que Z(G) nunca é um conjunto vazio, pois o elemento neutro de G sempre pertence e Z(G). Em alguns grupos, porém, esse pode ser o único elemento de Z(G). Esse é o caso, por exemplo, do grupo de permutações de n elementos (por que?). E. 1.76 Exerćıcio. Mostre que Z(G) é sempre um subgrupo Abeliano de G. 6 É elementar constatar que para qualquer grupo G, seu centro Z(G) é um subgrupo normal de G. É igualmente elementar constatar que se G é Abeliano então Z(G) = G. • Centralizadores e normalizadores Seja G um grupo e F um sub-conjunto não vazio de G. Dado um elemento h ∈ G, denotamos por hFh−1 o conjunto de todos os elementos de G que sejam da forma hfh−1 para algum f ∈ F , ou seja, hFh−1 := {hfh−1, f ∈ F}. O chamado normalizador de F (em G), denotado por N(F, G) (ou simplesmente por N(F ), quando G é subentendido), é o conjunto de todos os elementos g ∈ G tais que gFg−1 = F . O chamado centralizador de F (em G), denotado por C(F, G) (ou simplesmente por C(F ), quando G é subentendido), é o conjunto de todos os elementos de G que comutam com todos os elementos de F : C(F, G) := {g ∈ G| gf = fg para todo f ∈ F} . E. 1.77 Exerćıcio. Mostre que o centralizador de F ⊂ G é um sub-grupo de G. 6 E. 1.78 Exerćıcio. Se F ⊂ G, mostre que o normalizador N(F ) ≡ N(F, G) de F em G é um sub-grupo de G. Mostre que se F é um subgrupo de G então F é normal em relação a N(F ) (ou seja, F
N(F )) e que se H é um subgrupo de G tal que F é normal em relação a H (ou seja, F
H), então H ⊂ N(F ) e, portanto, N(F ) é o maior subgrupo de G em relação ao qual F é normal. 6 • O centro de GL(C, n) Como exerćıcio vamos determinar o centro de GL(C, n). Se A ∈ Z(GL(C, n)) então AB = BA para toda B ∈ GL(C, n). Tomemos, em particular, uma matriz B da forma B = 1+Ea, b, onde Ea, b, com a, b ∈ {1, . . . , n}, é a matriz cujo elemento ij é nulo a menos que i = a e que j = b, em cujo 38O emprego da letra Z provavelmente provem da palavra alemã “Zentrum”. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 80/1461 o que implica αg(eH) = eH para todo g ∈ G. Se G e H são grupos e α : G ×H → H é uma ação à esquerda de G sobre H por automorfismos, então podemos definir em G×H um produto de dois pares ordenados (g1, h1), (g2, h2), com g1, g2 ∈ G e h1, h2 ∈ H , por (g1, h1) · (g2, h2) := (g1g2, h1αg1(h2)) . E. 1.83 Exerćıcio importante. Mostre que esse produto é associativo, que (eG, eH) é a unidade e que para quaisquer g ∈ G, h ∈ H tem-se (g, h)−1 = (g−1, αg−1(h−1)). 6 Com isso G × H adquire a estrutura de um grupo, denominado produto semi-direto de G por H pelo automorfismo α : G × H → H , ou simplesmente produto semi-direto de G por H quando um automorfismo α : G × H → H espećıfico é subentendido. Na literatura, o produto semi-direto de G por H é denotado de várias formas: por G×α H , por G⊗α H , por GsαH , ou por por GsH quando um automorfismo α : G×H → H espećıfico é subentendido. Nestas notas adotaremos as duas últimas formas. • Exemplos I. Seja G um grupo e N
G. Então, para g1, g2 ∈ G e n1, n2 ∈ N o produto (g1, n1) · (g2, n2) := (g1g2, n1g1n2g−11 ) define o grupo GsN , produto semi-direto de um grupo G por um sub-grupo normal N através do automorfismo natural. II. Considere o grupo G, formado por todos os números reais não-nulos com o produto dado pela multiplicação usual e o grupo H , formado por todos os reais com o produto dado pela soma: G = (R \ {0}, ·) e H = (R, +). Para todo a ∈ R\{0} e x ∈ R definimos α : G×H → H por αa(x) := ax. Para cada a ∈ G, tem-se que αa é bijetora, com inversa dada por α1/a. Fora isso, αa(x)+αa(y) = ax+ay = a(x+y) = αa(x+y). Assim, αa é um automorfismo (condição 1. da definição acima). Fora isso, para todo x ∈ H , α1(x) = x (condição 2.). Por fim, para todo x ∈ H , αa(αb(x)) = abx = αab(x), para quaisquer a, b ∈ G (condição 3.). Conclúımos que α é uma ação à esquerda de G sobre H por automorfismos. Assim, fazemos de G×H um grupo GsαH com o produto (a, x) · (b, y) := (ab, x+ ay) . O elemento neutro é o par (1, 0) e (a, x)−1 = (1/a, −x/a). Para interpretar o que esse grupo GsαH significa, vamos definir uma ação 39 Γ de GsαH sobre o conjunto R da seguinte forma. Para (a, x) ∈ GsαH e z ∈ R, definimos Γ((a, x), z) := az + x . Para verificar que isso é uma ação notemos as seguintes propriedades: i. para cada (a, x) fixo Γ((a, x), z) é uma função bijetora de R em R (lembre-se que a 6= 0). ii. Para todo z ∈ R, 39O conceito de ação de um grupo em um conjunto foi definido à página 68. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 81/1461 Γ((1, 0), z) = z. iii. Γ((a, x), Γ((b, y), z)) = Γ((a, x), bz + y) = a(bz + y) + x = abz + (x+ ay) = Γ((ab, x+ ay), z) = Γ((a, x) · (b, y), z) . Isso mostrou que Γ é uma ação de GsαH sobre o conjunto R. Como vemos, a ação de um elemento (a, x) consiste em uma combinação de uma multiplicação por a 6= 0 seguida por uma translação por x ∈ R. Isso exibe o significado geométrico do grupo GsαH . Vamos a um outro exemplo semelhante. III. Considere o conjunto de todas as operações do espaço tridimensional que envolvem rotações e translações. Por exemplo, considere-se a operação na qual cada vetor ~x é primeiramente rodado por uma matriz de rotação R ∈ SO(3) e em seguida é transladado por um vetor ~x0: ~x 7→ R~x+ ~x0. (1.26) A composição de duas de tais operações conduz à transformação ~x 7→ R′(R~x+ ~x0) + ~x′0, ou seja, ~x 7→ (R′R)~x+ ~x′0 +R′~x0 . (1.27) O espaço vetorial R3 é naturalmente um grupo Abeliano em relação à adição de vetores. Se R ∈ SO(3), αR(~x0) := R~x0 define uma ação por automorfismos de SO(3) sobre R 3. A expressão (1.27) inspira a definição do produto semi-direto SO(3)sαR 3 por (R′, ~x′0) · (R, ~x0) = (R′R, ~x′0 +R′~x0) . E. 1.84 Exerćıcio. Verifique que a transformação (1.26) define uma ação à esquerda do grupo SO(3)sαR 3 sobre o conjunto R3. 6 Definição. Os grupos En := SO(n)sαR n são denominados grupos Euclidianos4041. IV. Seja V um espaço vetorial (e, como tal, um grupo Abeliano em relação à soma de vetores) e seja Aut(V ) a coleção de todas as aplicações lineares bijetoras de V em V . Por exemplo V = Rn e Aut(Rn) é o conjunto de todas as matrizes reais n× n invert́ıveis. Então, fazemos de Aut(V )× V um grupo, definindo (A, v) · (B, u) := (AB, v + Au) . Esse grupo é por vezes denominado grupo afim do espaço vetorial V . Observação. O caso V = R corresponde exatamente ao exemplo II, acima. Mencionamos, por fim, que o grupo de Poincaré, introduzido à página 829, é também um exemplo de um grupo definido como um produto semi-direto de dois grupos, a saber, o produto semi-direto do grupo das transformações de Lorentz com grupo das translações no espaço-tempo. 40Euclides de Alexandria (≈ 325 A.C, ≈ 265 A.C.). 41Para alguns autores, os grupos Euclidianos são os grupos O(n)sαR n. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 82/1461 1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais 1.5.1 Discussão Informal Preliminar Nesta seção apresentaremos duas maneiras distintas de construir grupos Abelianos a partir de dois grupos Abelianos dados, que são o chamado produto tensorial de dois grupos e a chamada soma direta de dois grupos. As construções precisas (especialmente a do produto tensorial) são um tanto elaboradas, mas as idéias por trás delas são simples, de modo que tentaremos primeiramente apresentá-las de modo elementar para depois (a partir da Seção 1.5.2) nos dedicarmos à sua definição precisa. Essas construções prestam-se também a definir o produto tensorial e a soma direta de espaços vetoriais (sobre um mesmo corpo), o que também discutiremos. Na Seção 1.5.5 serão apresentadas mais generalizações envolvendo (uma coleção arbitrária) de grupos não necessariamente Abelianos. Um comentário pertinente (destinado aos estudantes mais avançados) é que as construções de produto tensorial e soma direta de espaços vetoriais que apresentaremos adiante correspondem às noções de produto tensorial e soma direta algébricos. Isso significa que outras estruturas, como uma topologia, ou propriedades, como completeza, não são necessariamente herdadas pela construção. Assim, por exemplo, o produto tensorial algébrico de dois espaços de Banach não é necessariamente um espaço de Banach. Para tal é necessário introduzir um completamento extra, que pode não ser único. • A noção de soma direta de dois grupos Sejam A e B dois grupos Abelianos, com identidades eA e eB (e cujas operações de produto de- notaremos ambas pelo mesmo śımbolo “+”). Desejamos encontrar uma maneira de fazer do produto Cartesiano A × B um grupo também. Uma maneira de fazer isso é definir a “soma” de dois pares ordenados (a, b), (a′, b′) ∈ A×B por (a, b) + (a′, b′) := (a+ a′, b+ b′) . (1.28) O leitor pode facilmente constatar que essa operação é uma operação binária de A× B em si mesmo, que ela é associativa, que tem por elemento neutro o par (eA, eB) e que para cada (a, b) ∈ A × B a inversa é (a, b)−1 = (−a, −b), onde −a é o elemento inverso de a em A, e analogamente para −b. Portanto, com esse produto, A× B é um grupo. Com essa estrutura, facilmente se verifica que A × B torna-se um grupo Abeliano, denominado soma direta de A e B ou produto direto de A e B42 e denotado pelo śımbolo A⊕B. Com essa estrutura de grupo em mente, os pares ordenados (a, b) são freqüentemente denotados pelo śımbolo a⊕ b. • A noção de soma direta de dois espaços vetoriais Sejam U e V dois espaços vetoriais em relação a um mesmo corpo que, sem perda de generalidade, consideraremos doravante como sendo o corpo dos complexos. U e V são dois grupos Abelianos em relação às respectivas operações de soma de vetores. Assim, pela construção acima, podemos definir o 42A distinção entre produto direto e soma direta só se faz quando uma coleção não-finita de grupos é envolvida. Vide Seção 1.5.5. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 85/1461 Uma noção importante que usaremos adiante é a de grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto X. Seja X um conjunto. Seja F (X) a coleção de todas as funções de suporte finito de X em Z. É fácil ver que F (X) tem naturalmente uma estrutura de grupo Abeliano, definindo, para f , f ′ ∈ F (X) o produto de f e f ′ como sendo o elemento ff ′ = (f + f ′) de F (X) dado por (f + f ′)(x) = f(x) + f ′(x) . (1.31) para todo x ∈ X. É claro que esse (f + f ′) tem suporte finito. O elemento neutro e de F (X) é claramente a função identicamente nula. Pelo fato de F (X) ter essa estrutura natural de grupo F (X) é denominado grupo Abeliano livremente gerado pelo conjunto X. Para x ∈ X vamos denotar por δx a função caracteŕıstica de x: δx(y) := { 1, se y = x 0, se y 6= x . (1.32) Claramente δx ∈ F (X). Dado que cada f ∈ F (X) tem suporte finito, pode-se escrevê-lo da forma f = N∑ n=1 an δxn , (1.33) para valores de N e dos an’s dependentes de f , com {x1, . . . , xN} = supp f e com ai ∈ Z para i = 1, . . . , N . Com um flagrante abuso de linguagem é costume escrever (1.33) da forma f = N∑ n=1 an xn , (1.34) onde fica, por assim dizer, subentendido que aqui os xn’s representam não os elementos de X mas sim suas funções caracteŕısticas (X pode ser um conjunto qualquer, de modo que operações como soma de elementos de X ou multiplicação de elementos de X por um inteiro podem não serem sequer definidas). É fácil verificar que F (X) é um grupo Abeliano livre (dáı seu nome), o que quer dizer que não há em F (X) nenhuma relação não trivial entre seus elementos, a não ser aquela que lhe confere Abelianidade: ff ′f−1f ′−1 = e. • Relações e grupos gerados módulo relações Vamos passar agora a uma construção muito importante, a de grupo Abeliano livremente gerado por um conjunto módulo relações. Vamos apresentar essa construção de forma bem geral. Seja J um conjunto (em prinćıpio arbitrário) de ı́ndices e sejam então, para cada j ∈ J , elementos de F (X) dados por rj = n(j)∑ i=1 αj, i xj, i , (1.35) onde, para cada j ∈ J , n(j) ∈ N e, para todo j ∈ J e i ∈ {1, . . . , n(j)}, tem-se αj, i ∈ Z e xj, i ∈ X com xj, i 6= xj, i′ se i 6= i′. Denotamos R := {rj , j ∈ J}. Os elementos de R serão chamados “relações”. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 86/1461 Seja então R o subgrupo de F (X) formado por todos os elementos de F (X) que são combinações lineares finitas de rj’s com coeficientes em Z: s ∈ R ⇐⇒ s = s1rj1 + · · ·+ smrjm , (1.36) para certos si ∈ Z e m ∈ N, que dependem de s. R é dito ser o subgrupo de F (X) gerado pelos rj’s. Por ser um subgrupo de um grupo Abeliano, R é normal. Assim, podemos definir o grupo Abeliano livremente gerado por X, módulo as relações R como sendo o grupo F (X)/R. Note-se que [R]R = e, o que equivale a dizer que os elementos de R são identificados como zero (dáı serem chamados de “relações”, pois refletem identidades que não existiam em F (X) e que estão sendo agora impostas em F (X)/R). * Vamos ilustrar as definições e construções acima apresentando as definições de soma direta e produto tensorial de dois grupos Abelianos e, em seguida, de dois espaços vetoriais. As definições de acima são particularmente relevantes para o conceito de produto tensorial. 1.5.3 Somas Diretas • A soma direta de dois grupos Abelianos Sejam A e B dois grupos Abelianos cujo produto de grupo denotaremos aditivamente: com o śımbolo +. Seja X = A× B. Seja em F (X) = F (A× B) o conjunto R de relações dado por R := {r ∈ F (X)| r = (a+ a′, b+ b′)− (a, b)− (a′, b′), com a, a′ ∈ A e b, b′ ∈ B} . (1.37) Seja R = R(A × B) o subgrupo de F (A × B) gerado por R. Chegamos assim à definição do grupo Abeliano A⊕B, a soma direta de A e B, que é definido como A⊕ B := F (A× B)/R(A× B). Notação. Para a ∈ A e b ∈ B denotaremos por a⊕ b o elemento de A⊕B que corresponde (na notação discutida acima) à função δ(a, b). • A soma direta de dois espaços vetoriais Sejam U e V dois espaços vetoriais (sobre C). Como U e V são dois grupos Abelianos, o grupo Abeliano U ⊕ V está definido pelo procedimento acima. Isso, entretanto, ainda não faz de U ⊕ V um espaço vetorial. Para isso é preciso definir o produto de um escalar por um elemento de U ⊕ V . Definimos então o produto de um escalar α ∈ C por um elemento u⊕ v ∈ U ⊗ V como sendo o elemento (αu)⊕ (αv), ou seja, α(u⊕ v) := (αu)⊕ (αv) . É fácil constatar que, com essa definição, U ⊕C V torna-se um espaço vetorial (vide a definição formal de espaço vetorial à página 58), que denotaremos por U⊕CV . O assim definido espaço vetorial U⊕CV é denominado a soma direta dos espaços vetoriais U e V sobre o corpo C. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 87/1461 1.5.4 Produtos Tensoriais A definição de produtos tensoriais é mais delicada e faz uso mais forte do conceito de grupo livremente gerado por um conjunto. • O produto tensorial de dois grupos Abelianos Sejam A e B dois grupos Abelianos cujo produto de grupo denotaremos aditivamente: com o śımbolo +. Seja X = A× B. Seja em F (X) = F (A× B) o conjunto R de relações dado por R := {r ∈ F (X)| r = (a+ a′, b)− (a, b)− (a′, b) ou r = (a, b+ b′)− (a, b)− (a, b′), com a, a′ ∈ A e b, b′ ∈ B} . (1.38) Seja R = R(A × B) o subgrupo de F (A × B) gerado por R. Chegamos assim à definição do grupo Abeliano A⊗B, o produto tensorial de A e B, que é definido como A⊗ B := F (A×B)/R(A× B). Notação. Para a ∈ A e b ∈ B denotaremos por a⊗ b o elemento de A⊗B que corresponde (na notação discutida acima) à função δ(a, b). • O produto tensorial de dois espaços vetoriais Sejam U e V dois espaços vetoriais (sobre C). Como U e V são dois grupos Abelianos, o grupo Abeliano U ⊗ V está definido pelo procedimento da última sub-seção. Isso, entretanto, ainda não faz de U ⊗ V um espaço vetorial. Para isso tomemos X = U ⊗ V e consideremos o sub-espaço de F (X) definido por R := {r ∈ F (U ⊗ V )| r = (αu)⊗ v − u⊗ (αv), com α ∈ C, u ∈ U, v ∈ V } . (1.39) Como antes, seja R = R(U ⊗ V ) o subgrupo gerado por R. Definimos agora um novo grupo Abeliano U ⊗C V como U ⊗C V := F (U ⊗ V )/R(U ⊗ V ). U ⊗C V é por ora apenas mais um grupo Abeliano, mas podemos adicionar-lhe uma estrutura de espaço vetorial da seguinte forma. Primeiramente é preciso definir o produto de um escalar por um elemento de U⊗CV . Para elementos da forma u⊗C v com u ∈ U e v ∈ V , definimos então o produto α(u⊗C v), para α ∈ C por α(u⊗C v) := (αu)⊗C v = u⊗C (αv) . A última igualdade segue da definição de U ⊗C V . Os demais elementos de U ⊗C V são da forma de combinações lineares finitas com coeficientes inteiros de elementos como u⊗C v, ou seja, são da forma n∑ k=1 ck (uk ⊗C vk) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 90/1461 Exemplo 2. Seja A uma álgebra sobre C com unidade e e M = A⊗C A com os seguintes produtos de bimódulo: a · (b⊗ c) := (ab)⊗ c , (1.48) (b⊗ c) · a := b⊗ (ca)− (bc)⊗ a . (1.49) Deixa-se ao leitor verificar a associatividade dos produtos de bimódulo nesse caso. Defina-se δ(a) := e⊗ a . (1.50) Deixa-se ao leitor verificar a validade da regra de Leibniz nesse exemplo. Note-se também que, por essa definição, δ(e) = e⊗ e 6= 0. Exemplo 3. Exemplo importante de derivações pode ser visto em álgebras de Lie. Seja A uma álgebra de Lie vista como um bimódulo sobre si mesma. Seja z um elemento fixo da álgebra e seja a aplicação dz : A → A dada por dz(a) = [z, a]. É fácil verificar (faça!) usando a identidade de Jacobi (1.22) que dz([a, b]) = [dz(a), b] + [a, dz(b)] para todo a, b ∈ A. Assim, tem-se que a cada z ∈ A é associada uma derivação dz. 1.6 Tópicos especiais Esta seção é formada por alguns assuntos independentes que, embora relevantes, não se enquadram na exposição introdutória que pretend́ıamos ter nas seções anteriores. 1.6.1 O Grupo de Grothendieck Vamos aqui descrever uma construção que permite obter um grupo Abeliano a partir de um semi-grupo Abeliano dado. Um grupo constrúıdo por esse procedimento é chamado de grupo de Grothendieck45 associado ao semi-grupo Abeliano em questão. Grupos de Grothendieck desempenham um papel im- portante em várias áreas da Matemática, como por exemplo na chamada K-teoria. Seja um semi-grupo Abeliano S (não necessariamente dotado de um elemento neutro) cujo produto denotamos pelo śımbolo +. Consideremos em primeiro lugar o produto Cartesiano S × S e vamos introduzir lá uma relação de equivalência da seguinte forma: dois pares (a, b) e (a′, b′) ∈ S × S são equivalentes, (a, b) ∼ (a′, b′), se existir pelo menos um elemento p ∈ S tal que a+ b′ + p = a′ + b+ p . (1.51) Vamos mostrar que isso define de fato uma relação de equivalência. Em primeiro lugar é claro que (a, b) ∼ (a, b) para qualquer par (a, b) ∈ S2 = S×S, dado que aqui, para verificar (1.51), basta tomar 45Alexander Grothendieck (1928-). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 91/1461 qualquer elemento p ∈ S. Em segundo lugar é evidente que se (a, b) ∼ (a′, b′) então (a′, b′) ∼ (a, b). Finalmente, vamos mostrar que se (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f) então (a, b) ∼ (e, f). Por hipótese existem p e p′ ∈ S tais que a+ d+ p = b+ c+ p e c+ f + p′ = d+ e+ p′ . Daqui extráımos que (a + d+ p) + (c+ f + p′) = (b+ c+ p) + (d+ e+ p′) , ou seja, que a+ f + p′′ = b+ e+ p′′ , onde p′′ = d + c + p + p′. Essa relação diz precisamente que (a, b) ∼ (e, f), completando a prova de que temos assim uma relação de equivalência em S2. Vamos considerar agora o conjunto K(S) := S2/ ∼ de todas as classes de equivalência definidas acima. Como é usual, denotaremos por [(a, b)] a classe à qual pertence o par (a, b) ∈ S2. Vamos construir em K(S) uma estrutura de grupo Abeliano, cujo produto também denotaremos por +. Dadas duas classes [(a, b)] e [(c, d)] definimos [(a, b)] + [(c, d)] := [(a+ c, b+ d)] . Note-se que por essa definição tem-se (verifique!) [(a, b)] + [(c, d)] = [(c, d)] + [(a, b)] para todo a, b, c, d ∈ S, pelo fato de a operação de soma ser Abeliana em S. A primeira coisa a fazer é mostrar que essa definição independe dos elementos tomados nas classes. Para isto basta provar que se (a′, b′) ∼ (a, b) então (a+ c, b+ d) ∼ (a′+ c, b′+ d). Se (a′, b′) ∼ (a, b) então existe p ∈ S tal que a+ b′ + p = a′ + b+ p . Somando-se c+ d a ambos os lados tiramos (a + c) + (b′ + d) + p = (a′ + c) + (b+ d) + p que é precisamente a afirmativa que (a + c, b+ d) ∼ (a′ + c, b′ + d). É igualmente fácil verificar que para quaisquer x, y ∈ S tem-se que (x, x) ∼ (y, y) e que, portanto, [(x, x)] = [(y, y)]. Vamos provar que há em K(S) um elemento neutro. Este é precisamente a classe e := [(x, x)] com x ∈ S arbitrário. Note-se que, para qualquer par (a, b) ∈ S2 teremos [(a, b)] + [(x, x)] = [(a+ x, b+ x)] = [(a, b)] , pois (a + x+ b) + p = (b+ x+ a) + p para qualquer p ∈ S. Falta-nos provar a associatividade do produto e a existência de uma inversa para cada elemento de K(S). Para a associatividade, notemos que [(a, b)] + ( [(c, d)] + [(e, f)] ) := [(a, b)] + [(c+ e, d+ f)] = [(a+ c+ e, b+ d+ f)] , ( [(a, b)] + [(c, d)] ) + [(e, f)] := [(a+ c, b+ d)] + [(e, f)] = [(a+ c+ e, b+ d+ f)] . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 92/1461 Para provar a existência de inversa notemos que para cada par (a, b) ∈ S2 podemos tomar [(a, b)]−1 := [(b, a)] pois [(a, b)] + [(a, b)]−1 = [(a, b)] + [(b, a)] = [(a+ b, a + b)] = e . Isso mostrou que K(S) tem uma estrutura de grupo Abeliano. Este é o chamado grupo de Grothen- dieck associado ao semi-grupo Abeliano S. Como de costume, denotaremos [(a, b)]−1 por −[(a, b)]. Assim, −[(a, b)] = [(b, a)]. E. 1.88 Exerćıcio. Seja o monóide Abeliano N dos números naturais contendo o 0 com a soma usual. Mostre que K(N) ≃ Z. 6 O exerćıcio acima indica a possibilidade de se definir os números inteiros a partir dos naturais. Os inteiros seriam, por definição, o grupo de Grothendieck do monóide Abeliano dos naturais com a operação de soma usual. E. 1.89 Exerćıcio. Seja o monóide Abeliano N1 dos números naturais maiores ou iguais a 1 com o produto dado pela multiplicação usual. Mostre que K(N1) ≃ Q+, o grupo dos racionais positivos (sem o zero) com o produto dado pela multiplicação usual. 6 O exerćıcio acima indica a possibilidade de se definir os números racionais positivos a partir dos naturais. Os racionais seriam, por definição, o grupo de Grothendieck do monóide Abeliano dos naturais com a operação de produto usual. Para cada elemento a de um monóide Abeliano M podemos associar um elemento de K(M) por M ∋ a 7→ [a] := [(a, 0)] ∈ K(M). É fácil ver que todo elemento [(a, b)] de K(M) pode ser escrito da forma [(a, b)] = [a]−[b] e que [a]−[b] = [a′]−[b′] se e somente se existir p ∈M com a+b′+p = a′+b+p. E. 1.90 Exerćıcio. Aplique a construção de Grothendieck para o semi-grupo R+, definido à página 54. Mostre que o grupo assim obtido possui apenas um elemento. 6 1.6.2 Grupóides Um grupóide é definido da seguinte forma. É dado um conjunto C e um subconjunto C0 ⊂ C, o qual é a imagem de duas funções unárias p e c (chamadas de “partida” e “chegada”), ou seja, p : C → C0, c : C → C0. Os elementos de C0 são pontos fixos de p e de c, ou seja, c(α) = α e p(α) = α para todo α ∈ C0 (aqui denotaremos os elementos de C por letras gregas). Define-se em C × C um subconjunto (ou seja, uma relação em C), que denotaremos por RC , da seguinte forma: RC := {(α, β) ∈ C2| p(α) = c(β)} . É também dada uma função binária RC → C, que denotaremos por “·” e que denominaremos “produto”, a qual satisfaz as seguintes hipóteses: JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 95/1461 que não é nem associativo nem comutativo. O produto (1.54) faz de R3 uma álgebra isomorfa a R⊗R⊗R (três cópias da álgebra dos reais). O produto (1.55) faz de R3 uma álgebra isomorfa a R⊗C e o produto (1.56) é o bem conhecido produto vetorial. O que se pode então fazer em R4? Naturalmente poder-se-ia definir em R4 várias álgebras imitando o que fizemos acima. Por exemplo, com o produto (x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x1y1, x2y2, x3y3, x4y4) , (1.57) R4 torna-se uma álgebra associativa e comutativa isomorfa a R⊗R⊗R⊗R. Com o produto (x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x1y1 − x2y2, x1y2 + x2y1, x3y3 − x4y4, x3y4 + x4y3) , (1.58) R4 torna-se uma álgebra associativa e comutativa isomorfa a C⊗ C. Com o produto (x1, x2, x3, x4) · (y1, y2, y3, y4) = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1, x4y4) (1.59) R4 torna-se uma álgebra não-associativa e não-comutativa isomorfa a R3 ⊗R, com o produto vetorial na componente R3. Há também outros produtos que são meras variantes das listadas acima (ache algumas). Existe, porém, um outro produto não trivial, denominado produto quaterniônico, que faz de R4 uma álgebra associativa mas não-comutativa e com unidade. Esse produto foi descoberto por W. R. Hamilton46. A história da descoberta desse produto em R4, feita em 16 de outubro 1843, numa tentativa de generalizar a álgebra dos números complexos para mais que duas dimensões, é muito interessante e representou um marco na história da Álgebra por ser o primeiro exemplo de uma álgebra associativa mas não- comutativa (a descoberta de Hamilton antecede a introdução da álgebra das matrizes e a introdução do produto vetorial). Esse produto é o seguinte: (x0, x1, x2, x3) · (y0, y1, y2, y3) = (x0y0−x1y1−x2y2−x3y3, x0y1+y0x1+x2y3−x3y2, x0y2+y0x2+x3y1−x1y3, x0y3+y0x3+x1y2−x2y1) . (1.60) E. 1.91 Exerćıcio. Mostre que o produto acima é associativo. 6 O espaço vetorial R4 dotado do produto acima é denominado álgebra dos quatérnions ou álgebra quaterniônica e é denotada freqüentemente por H (em honra a Hamilton). A álgebra H é associativa mas não é comutativa. H tem uma unidade, a saber, o vetor (1, 0, 0, 0) ∈ R4. E. 1.92 Exerćıcio. Mostre que H não é uma álgebra comutativa. 6 E. 1.93 Exerćıcio. Mostre que (1, 0, 0, 0) é a unidade de H. 6 46William Rowan Hamilton (1805-1865). W. R. Hamilton foi também o inventor do chamado formalismo Hamiltoniano da Mecânica Clássica. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 96/1461 Há uma maneira melhor de representar o produto quaterniônico que a expressão (1.60). Vamos escrever os vetores da base canônica de R4 como e0 = (1, 0, 0, 0) , e1 = (0, 1, 0, 0) , e2 = (0, 0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 0, 1) , de modo que todo x ∈ R4 pode ser escrito na forma x = x0e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3. O produto quaterniônico pode então ser definido pelo produto dos elementos da base canônica, que segue as seguintes regras: 1. e0 é a unidade da álgebra: x · e0 = e0 · x = x para todo x ∈ R4. 2. (e1) 2 = (e2) 2 = (e3) 2 = −e0. 3. eiej = −ejei para todo i 6= j com i, j = 1, 2, 3. 4. e1e2 = e3, e2e3 = e1 e e3e1 = e2. E. 1.94 Exerćıcio. Verifique que essas regras reproduzem perfeitamente (1.60). 6 Além de ser de manipulação mais simples, essas regras permitem representar a álgebra quaterniônica de um modo talvez mais familiar, a saber, em termos de certas matrizes complexas 2× 2. • Quatérnions e álgebras de matrizes 2× 2 Sejam a e b dois números complexos e seja M(a, b) a matriz M(a, b) = ( a b −b a ) , onde z é o complexo conjugado de z ∈ C. É fácil de se ver que o conjunto de todas as matrizes dessa forma é uma álgebra: M(a, b)M(c, d) = M(ac− bd, ad+ bc) . E. 1.95 Exerćıcio. Verifique! 6 Existe um isomorfismo entre a álgebra dos quatérnions e essa álgebra de matrizes 2 × 2. Basta associar (bijetivamente!) a cada quádrupla (x0, x1, x2, x3) a matriz M(x0 − ix3, x2 + ix1): x = (x0, x1, x2, x3) ←→   x0 − ix3 x2 + ix1 −x2 + ix1 x0 + ix3   =: M(x) . (1.61) É fácil verificar então (faça!) que o produto quaterniônico é respeitado por essa associação: M(x)M(y) = M(x · y) , onde, acima, x · y é o produto quaterniônico de x e y ∈ R4. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 23 de maio de 2006. Caṕıtulo 1 97/1461 Note-se que por essa associação tem-se M(x) = M(x0e0 + x1e1 + x2e2 + x3e3) = x0M(e0) + x1M(e1) + x2M(e2) + x3M(e3), com M(e0) = 1, M(e1) = iσ1 , M(e2) = iσ2 , M(e3) = −iσ3 , onde 1 = ( 1 0 0 1 ) , σ1 = ( 0 1 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) e σ3 = ( 1 0 0 −1 ) , as três últimas sendo as chamadas matrizes de Pauli47, que satisfazem 1. (σ1) 2 = (σ2) 2 = (σ3) 2 = 1, 2. σiσj = −σjσi para todo i 6= j e 3. σ1σ2 = iσ3, σ2σ3 = iσ1, σ3σ1 = iσ2. E. 1.96 Exerćıcio. Verifique essas propriedades. 6 • Sub-álgebras AbelianasH possui algumas sub-álgebras Abelianas. E. 1.97 Exerćıcio. Mostre que H1 := {x ∈ R4, x = x0e0 + x1e1 = (x0, x1, 0, 0)} é uma sub-álgebra Abeliana de H que é isomorfa à álgebra C dos complexos. 6 E. 1.98 Exerćıcio. Mostre o mesmo para H2 := {x ∈ R4, x = x0e0 + x2e2 = (x0, 0, x2, 0)} eH3 := {x ∈ R4, x = x0e0 + x3e3 = (x0, 0, 0, x3)}. 6 E. 1.99 Exerćıcio. Será posśıvel fazer de R4 um espaço vetorial complexo? Seja α ∈ C e considere para x ∈ R4 o produto do escalar α pelo vetor x definido por α · x = (Re(α)e0 + Im(α)e1) · x , onde o produto do lado direito é o o produto quaterniônico. Mostre que isso faz de R4 um espaço vetorial sobre o corpo dos complexos. Para isto verifique as propriedades definidoras de um espaço vetorial listadas à página 58. 6 E. 1.100 Exerćıcio. No exerćıcio anterior há outros produtos do escalar α pelo vetor x que podem ser considerados: α · x = (Re(α)e0 + Im(α)e2) · x , 47Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958).