Matemática

Matemática

(Parte 1 de 3)

Christian Q. Pinedo Christian Q. Pinedo

A minha esposa: Karyn Siebert A meus filhos: Milagros, André, Matheus, Nykolas e Kevyn.

iv Christian Quintana Pinedo iv Christian Quintana Pinedo

PREFÁCIOix
1.1 Introdução1
1.2 Sistema de Números Reais2
1.2.1 Adição e Multiplicação de Números Reais4
Exercícios 1-19
1.3 Relação de Ordem1
Exercícios 1-219
1.4 Desigualdades21
1.4.1 Inequação21
1.4.2 Intervalos2
1.4.3 A Reta Ampliada. Intervalos Infinitos2
Exercícios 1-329
1.5 Valor Absoluto31
Exercícios 1-435
1.6 Axioma do Supremo37
1.7 Indução Matemática38
1.8 Propriedades dos Números Inteiros41
1.8.1 Divisibilidade41
1.8.2 Máximo Divisor Comum42
1.8.3 Números Primos42
Exercícios 1-545
Miscelânea 1-147

1 SISTEMA DE NÚMEROS REAIS 1

2.1 Introdução51
2.2 Relações52
2.2.1 Domínio e Imagem de uma Relação53
2.2.2 Relações de R em R53
Exercícios 2-157
2.3 Funções59
2.3.1 Definição Formal de Função59
2.3.2 Domínio e Imagem de uma Função60
2.3.3 Obtenção do Domínio de uma Função60
2.3.4 Gráfico de uma Função61
2.3.5 Construção do Gráfico Cartesiano de uma Função62
2.3.6 Função: Biunívoca; Sobrejetiva; Bijetiva67
2.3.7 Função Real de Variável Real69
Exercícios 2-271
2.4 Funções Especiais73
2.4.1 Função Afim73
2.4.2 Função Constante73
2.4.3 Função Identidade em R73
2.4.4 Função Linear74
2.4.5 Equação de uma Reta74
2.4.6 Função Máximo Inteiro7
2.4.7 Função Raíz Quadrada7
2.4.8 Função Sinal7
2.4.9 Função Valor Absoluto de x7
2.4.10 Função Quadrática78
2.4.1 Função Racional Inteira ou Polinômica78
2.4.12 Função Racional Fracionária78
2.4.13 Funções de Oferta e Demanda80
Exercícios 2-383
2.5 Operações com Funções85
2.5.1 Composição de funções85
2.5.2 Função inversa89
2.5.3 Relação entre o gráfico de f e de f−190
Exercícios 2-493
2.6 Outros Tipos de Funções Reais97
2.6.1 Funções Implícitas97
2.6.2 Função Periódica97
2.6.3 Função Par, Função Ímpar98
2.6.4 Função Monotônica9
2.6.5 Função Limitada100
2.6.6 Funções Elementares101
2.6.7 Funções Algébricas102
Exercícios 2-5103
2.7 Funções Transcendentes107
2.7.1 A Função Exponencial de Base a107
2.7.2 Função Logarítmica108
Exercícios 2-61
2.7.4 Funções trigonométricas inversas118
2.7.5 Funções Hiperbólicas121
Exercícios 2-7123
Miscelânea 2-1127

Cálculo Diferencial em R vii

3.1 Vizinhança de um Ponto129
3.2 Limite de uma Função130
Exercícios 3-1135
3.2.1 Propriedades dos Limites137
Exercícios 3-2143
3.3 Limites Laterais145
3.4 Limites ao infinito147
Exercícios 3-3151
3.5 Limites Infinitos155
3.6 Limite de Funções Transcendentes159
3.6.1 Limites trigonométricos159
3.6.2 Limites das funções trigonométricas inversas160
3.6.3 Limite da Função Exponencial e Logarítmica162
Exercícios 3-4169
Miscelânea 3-1173
4.1 Conceitos Básicos176
Exercícios 4-1183
4.2 Continuidade em Intervalos187
4.2.1 Funções contínuas em intervalos fechados188
Exercícios 4-2195
Miscelânea 4-1197

4 CONTINUIDADE 175

5.1 Conceitos Básicos199
5.2 Derivada de uma Função201
5.2.1 Reta tangente e reta normal203
5.3 Derivadas Laterais206
5.4 Derivabilidade e Continuidade207
5.4.1 Regras de derivação209
5.4.2 Derivada de Ordem Superior214
5.4.3 Derivada da Função Inversa215
5.4.4 Regra da Cadeia216
5.4.5 Derivada de uma função implícita218
5.5 Derivada de Funções Transcendentes225
5.5.1 Derivada das Funções Trigonométricas225
5.5.2 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas227
5.5.3 Derivada das Funções: Exponencial e Logarítmica229
Exercícios 5-2231
5.6 Aproximação Local de uma Função235
5.6.1 Função Diferenciável e Diferencial de uma Função236
5.6.2 Propriedades do Diferencial de uma Função237
5.6.3 Significado Geométrico do Diferencial238
5.7 Teorema Sobre Funções Deriváveis239
5.7.1 Interpretação Geométrica do Teorema de Rolle244
5.7.2 Interpretação Geométrica do Teorema do Valor Médio246
Exercícios 5-3249
Miscelânea 5-1253

viii Christian Quintana Pinedo

6.1 Velocidade Instantânea. Aceleração Instantânea255
6.1.1 Velocidade Instantânea256
6.1.2 Aceleração Instantânea258
Exercícios 6-1259
6.2 Estudo do Gráfico de Funções261
6.2.1 Função: Crescente ou Decrescente261
6.2.2 Assíntotas269
Exercícios 6-2279
6.3 Formas Indeterminadas283

6 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 255

6.3.1 Formas Indeterminadas Redutíveis à Forma 0

288
Exercícios 6-3293
6.4 Aplicações Diversas295
Exercícios 6-4303
Miscelânea 6-1305

O propósito de um primeiro curso de Cálculo Diferencial é ensinar ao estudante as noções básicas da derivada assim como as técnicas e aplicações básicas que acompanham tais conceitos.

Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas que, com freqüência se apresenta quando um estudante de engenharia começa a estudar cálculo. O objetivo deste trabalho é introduzir os principais conceitos do cálculo diferencial de uma variável e suas aplicações, assim como orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.

Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; a farta variedade dos exercícios resolvidos e apresentados estão classificados de menor a maior dificuldade.

A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência profissional durante muitos anos de exercício como Consultor em Matemática Pura e Aplicada, assim como professor de ensino superior, com atuação na graduação e pós-graduação da docência universitária.

Fico profundamente grato com os estudantes dos diversos cursos onde difundi as idéias e o conteúdo das notas deste trabalho. Também agradeço as contribuições e sugestões dos leitores, em particular dos meus colegas pela sua constante dedicação para a revisão e solução dos problemas propostos.

Christian Quintana Pinedo.

Palmas - TO, Março de 2008 ix x Christian Quintana Pinedo

“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens”. R. Descartes (1596 − 1650)

"Não adianta ter um mar de conhecimentos, com a profundeza de um milímetro". Ch. Q. Pinedo (1954−)

Capítulo 1 SISTEMA DE NÚMEROS REAIS

Eratóstenes

Eratóstenes nasceu em Cirene (276 a.C. − 197 a.C.), o que hoje é a Líbia. Depois de estudar em Alexandria e Atenas ele se tornou diretor da famosa Biblioteca de Alexandria. .

Ele trabalhou com geometria e números primos. Eratóstenes é mais conhecido pelo seu crivo de números primos (o “Crivo de Eratóstenes”), o qual, com algumas modificações, ainda é um instrumento importante de pesquisa na Teoria dos Números.

Eratóstenes também fez uma medição extremamente precisa da circunferência da Terra, comparando as sombras produzidas pelo Sol do meio-dia no verão em Siena e Alexandria. Ele calculou a circunferência da Terra em 250.0 estádios (medida de comprimento usada na época), a distância até o Sol em 804.0.0 estádios e a distância da Terra à Lua em 780.0 estádios. .

Ele também mediu a inclinação do eixo da Terra com grande precisão, encontrando o valor de 23 graus, 51′15′′. Também organizou um catálogo astronômico contendo 675 estrelas.

Eratóstenes ficou cego em idade avançada e diz-se que teria cometido suicídio, recusando-se a comer e conseqüentemente morrendo de inanição.

A palavra “crivo” significa peneira. O que Eratóstenes imaginou foi uma “peneira” capaz de separar os números primos dos compostos. A idéia do Eratóstenes foi a seguinte: já que um número primo é aquele que somente possui dois divisores inteiros - o 1 e ele mesmo - poderia haver uma peneira que pudesse separar estes números (que só têm dois divisores, e portanto são primos) dos outros, que possuem mais de dois divisores (e são chamados de "compostos").

1.1 Introdução. Penso que a matemática em geral sustenta-se em duas pilastras:

1o Uma delas é a “lógica matemática" que se desenvolve por meio de proposições (frases) as quais podemos atribuir um valor lógico de verdade ou de falsidade (somente um destes valores). Por exemplo:

• A terra tem a forma arredondada (v = verdade). • A terra é de forma quadrada (f = falso)

2 Christian Quintana Pinedo

Na lógica matemática, a negação de uma proposição não implica a afirmação do contrário. 2o O outro ponto de apoio da matemática é o “cálculo”, que será objeto de nosso estudo.

O estudo fundamental do cálculo está orientado a conceitos de diferenciação, integração e suas aplicações em diversos campos do conhecimento matemático. Por exemplo:

• Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas sem tampa, usando pedaços quadrados de papelão com 40cm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e virando verticalmente (para cima) os quatro lados. Achar o comprimento dos lados dos quadrados a serem cortados a fim do obter uma caixa com o maior volume possível.

• Um distribuidor atacadista tem um pedido de 30.0 caixas de leite que chegam a cada 5 semanas. As caixas são despachadas pelo distribuidor a uma razão constante de 1.800 caixas por semana. Se a armazenagem numa semana custa 5 centavos de real por caixa . Qual é o custo total de manutenção do estoque durante 10 semanas ?

Para compreender bem as operações fundamentais do cálculo, estudaremos algumas propriedades dos números reais, bem como as operações que são permitidas com os mesmos.

1.2 Sistema de Números Reais.

O estudo dos números reais pelo método axiomático, consiste em definir este “sistema numérico” mediante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de números: naturais, inteiros, racionais e irracionais sejam formados por subconjuntos próprios do conjunto de números reais R.

Ha outro modo de se estudar os números reais, podemos defini-los em termos de números racionais, usando os clássicas cortes de Dedekind 1 ou as sucessões de Cauchy2 . Porém, para o nosso estudo de - “Cálculo Diferencial em R” - é suficiente introduzir o sistema pelo método axiomático.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · , n · · · , }naturais.
Z = { -∞ · ,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, · + ∞}inteiros.

Consideremos os seguintes conjuntos numéricos:

/. a, b ∈ Z, b 6= 0}racionais.
, · · + ∞}racionais.
5, · · · }irracionais.
Ireais.

Estudou o problema dos números irracionais, é mais bem conhecido pelo seu trabalho nos fundamentos do sistema de números reais. 2Augustin Cauchy (1789−1857) foi o fundador da análise moderna, aportou importantes resultados em outras áreas da matemática. Além de suas atividades políticas e religiosas, escreveu 759 trabalhos em matemática.

C = {a + bi; a,b ∈ R onde i = √−1}complexos
C = {1 + 2i, 3 + 2i, 5 − 4i, −1 − i, i, 2, 8i, 7, ·}complexos

Cálculo Diferencial em R 3

Qualquer número real pode ser considerado como um número racional ou número irracional. Estes números racionais consistem dos seguintes:

b) As frações positivas e negativas:

c) Os números decimais limitados (positivos e negativos):

d) Os números decimais ilimitados (positivos e negativos):

É importante lembrar que o símbolo ≈ significa aproximadamente. Observe:

9 = 1 isto é um absurdo já que o número 1 é inteiro e

0,9· é um número decimal com uma infinidade de dígitos nove. Assim é melhor entender

• Os números irracionais são aqueles números decimais não periódicos. Por exemplo:√

A Figura (1.1) mostra mediante diagramas de Venn3 a relação de inclusão entre os conjuntos.

Figura 1.1: Conjunto Numérico

3John Venn (1834-1923) publicou “Lógica Simbólica” em 1881 e “Os Princípios de Lógica Empírica” em 1889.

O segundo destes é bastante menos original mas o primeiro foi descrito por Keynes como provavelmente o trabalho mais duradouro em lógica.

4 Christian Quintana Pinedo

Suponha que tenhamos a realizar operações aritméticas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radicação) com dois números quaisquer de um subconjunto dos números reais, e desejamos que o resultado pertença ao mesmo subconjunto.

Observe que, com os números naturais 4 e 7 não é possível efetuar a operação 4−7 (subtração), pois sabemos que 4 − 7 não pertence ao conjunto N. Assim, em geral temos que em:

N somente é possível efetuar operações de adição e multiplicação. Z somente é possível efetuar operações de adição, subtração e multiplicação.

Q é possível efetuar operações de adição, subtração , multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).

I é possível efetuar operações de modo restrito.

R podemos efetuar operações de adição, diferença, multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).

C é possível efetuar operações de adição, diferença, divisão (com divisor não zero), multiplicação, potenciação e radicação.

O conjunto dos números complexos C tem mais propriedades que o conjunto dos números reais R. Nosso objetivo neste capítulo será estudar as propriedades importantes do conjunto R.

Aos elementos de x ∈ R é possível associar um ponto de uma reta, de modo que a este número real x corresponda um, e somente um, único ponto P como indica a Figura (1.2).

Figura 1.2: Reta numérica

Dizemos "sistema de números reais"ao conjunto R, que satisfaz as operações de adição (+), multiplicação (?), uma relação de ordem (< ) que se lê “menor que” e o axioma do supremo.

O sistema de números reais pode ser denotado como (R, +, ?, < ) ou simplesmente escreve-se R.

Outra notação para a multiplicação é um ponto. Assim, por exemplo, se a, b ∈ R, tem-se que a · b significa multiplicação (produto) dos números a e b.

1.2.1 Adição e Multiplicação de Números Reais.

Aceitamos que em R, estão definidas duas leis de composição interna:

Adição (Soma):

Para todo número real a e b temos que a + b também é um número real.

Multiplicação (Produto):

Para todo número real a e b temos que a · b também é um número real. A adição e a multiplicação de números reais satisfazem os seguintes axiomas:

A1 ∀ a,b ∈ R a + b = b + a(comutativa)
A2 ∀ a, b, c ∈ R (a + b) + c = a + (b + c)(associativa)
A3 ∃ 0 ∈ R /. a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R(neutro)
A4 ∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R /. a + (−a) = (−a) + a = 0(inverso)
P1 ∀ a, b ∈ R a.b = b.a(comutativa)
P2 ∀ a, b, c ∈ R (a.b).c = a.(b.c)(associativa)
P3 ∃ 1 ∈ R /. a.1 = 1.a = a ∀ a ∈ R(neutro)
P4 ∀ a ∈ R, a 6= 0, ∃ a−1 ∈ R /. a.a−1 = a−1.a = 1(inverso)
D1 ∀ a, b, c ∈ R a.(b + c) = a.b + a.c(distributiva)
D2 ∀ a, b, c ∈ R (a + b).c = a.c + b.c(distributiva)

Cálculo Diferencial em R 5

Propriedade 1.1. Para todos os números reais a, b, c temos as seguintes propriedades :

6 Christian Quintana Pinedo

Demonstração. (10)

Suponhamos que a = 0 ou b = 0. Então pela Propriedade (1.1)-(4) segue que a.b = 0. Por outro lado, suponha.

Definição 1.1. A diferença e o quociente de dois números reais é definido por:

1. a − b = a + (−b)diferença.
= a.b−1 se b 6= 0quociente

Propriedade 1.2. Para todos os números reais a, b, c, d, tem-se:

bd .

bd .

Demonstração. (1)

Pela Definição (1.1) segue-se:

Cálculo Diferencial em R 7

Demonstração. (6)

Demonstração. (2) - ( 5) Exercício para o leitor.

Exemplo 1.1.

Emprestei os 2

5 de um dinheiro que tinha e ainda tenho de um 1

5 de milhão de reais. Que quantidade de dinheiro emprestei ? Solução.

O significado matemático das palavras "dos", "das", "do", "de"em matemática, podemos entender como se se tratar de uma multiplicação.

Suponha que tinha x reais. Emprestei ( 2

Exemplo 1.2.

Ao chegar em minha casa encontrei várias aranhas e baratas, depois de matar estes 16 insetos contei o número de patas e observei que eram 108. Calcular, quantas baratas e aranhas encontrei ao chegar em casa. Solução.

É suficiente sabermos o número de patas que cada inseto possui, e em seguida analisar os dados e o que se pede no problema.

Suponha, que existam b baratas e (16 − b) aranhas. Como, cada barata tem 6 patas e cada aranha tem 8 patas, temos que: 6b + 8.(16 − b) = 108. Logo b = 10. Portanto, o total de baratas que encontrei foram 10 e as aranhas totalizaram seis.

Exemplo 1.3.

Um fabricante de latas, deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 10cm de raio e 6283,2 cm3 da capacidade. Determine sua altura. Solução.

8 Christian Quintana Pinedo

Portanto altura do cilindro deverá medir 20 cm.

Exemplo 1.4.

Quantos litros de óleo devem ser adicionados a 10 litros de uma mistura que contém 15% de óleo, para obter outra mistura que contenha 25% de óleo? Solução.

Figura 1.3:

Suponha que na mistura original tenhamos que adicionar x litros de óleo. Então observando a Figura (1.3), temos:

Resolvendo a equação temos que x = 4

Portanto, teremos que adicionar 4

3 litros de óleo.

Exemplo 1.5.

A média aritmética de 8 números é 6; já a média aritmética de outros 6 números é 8. Então a média aritmética desses 14 números é: Solução.

Cálculo Diferencial em R 9

Exercícios 1-1

1. Sejam, N o conjunto de números naturais, e Z o conjunto de números inteiros. Determine quais dentre as seguintes proposições é verdadeira (v) e qual é a falsa (f).

2. Das seguintes proposições qual é verdadeira (v) ou falsa (f).

1. 7,43333∈ I 2.

3. Verifique quais das seguintes proposições são verdadeiras: √

4. Construa um diagrama contendo os conjuntos N, Z, Q e I e situe os seguintes números:

5. Mostre que, se x2 = 0, então x = 0. 6. Mostre que, se p é número ímpar, então p2 é ímpar. 7. Mostre que, se p é número par, então p2 é par.

8. 1. Se a é racional e b irracional, a + b necessariamente é irracional? 2. Se a é irracional e b irracional, a + b necessariamente é irracional? 3. Se a é racional e b irracional, ab necessariamente é irracional? 4. Existe número real a tal que a2 seja irracional, porém a4 racional? 5. Existem dois números racionais tais que sua soma e produto sejam racionais?

9. Mostre que √ 2 é um número irracional.

10. Um subconjunto A ⊆ R diz-se estável aditivamente se, ∀ a,b ∈ A tem-se que (a + b) ∈ A; e estável multiplicativamente se, ∀ a, b ∈ A tem-se que (a.b) ∈ A.

10 Christian Quintana Pinedo

2. Dados os conjuntos: N, Z, Q e R determine quais são estáveis respeito das operações de: i) adição; i) multiplicação.

12. Sejam a, b, c, d, m, n e p números reais positivos. Mostre que se a p então

a, b, x e y sejam números racionais.

14. Há seis anos, a idade de Alberto era quatro vezes a idade de Pedro. Calcular suas idades atuais sabendo que, dentro de quatro anos, Alberto só terá o dobro da idade de Pedro.

15. A idade de Maria é 1

2 (metade) de 2

3 da idade de Marisa. Se Marisa tem 24 anos. Quantos anos tem Maria?

16. A soma das idades de 3 pessoas é 97. A maior tem 29 anos mais que a menor, e a do meio 18 anos menos que a maior. Calcular a idade de cada uma.

17. Quanto de água deve ser adicionada a 100 cm3 de 80% de uma solução de ácido bórico, para reduzir-la a 50% da solução ?

18. Ao dividir o número D por d obtemos como quociente q e como resto r. Se aumentarmos o dividendo D em 15 unidades e o divisor d em 5 unidades, o quociente e resto originais permanecem iguais. Qual foi o quociente?

19. Compra-se cadernos de forma progressiva da seguinte maneira: no primeiro dia 14 cadernos; no segundo dia 15 cadernos; no terceiro dia 16 cadernos e assim sucessivamente. Depois de 30 dias consecutivos comprando, quantos cadernos foram comprados no total ?

20. O denominador de uma fração decimal é 3 a menos que o dobro do numerador. Se o numerador aumenta em 5 e o denominador em 13, o valor da fração é 7/15. Determine a fração.

21. Expedição: Planeta K

Informe: Ao chegar ao planeta K, achamos seres vivos como em nosso planeta, embora também tenham 20 dedos, eles têm um membro a menos, e um dedo a mais em cada membro. Pergunta-se: Possivelmente que tipo de seres habitam o planeta K ?

2. Determine dois números tais que sua soma, produto e quociente sempre sejam iguais.

23. Uma lebre seguida por um galgo leva uma vantagem de 50 saltos. O galgo dá 5 saltos enquanto que a lebre dá 6 saltos, mas, 9 saltos da lebre equivalem a 7 do galgo. Quantos saltos dará a lebre antes de ser alcançada pelo galgo ?

Cálculo Diferencial em R 1

1.3 Relação de Ordem.

Axioma 1.1. De existência.

No conjunto R, existe um subconjunto denotado R+, chamado, “conjunto dos números reais positivos”, que satisfaz o seguinte:

i) Todo número real a satisfaz uma e somente uma das seguintes condições:

Propriedade 1.3. Para todo número real a, b, c, d tem-se:

(Parte 1 de 3)

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