Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

(Parte 1 de 2)

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Unidade São Gabriel

Engenharia de Computação

Prof.: Paulo Fernando Braga Carvalho

Coordenadas Polares

Marco Herberty Souza Silva

Jonathan Viegas Santos Lima

Belo Horizonte

2010

Sumário

  1. O Sistema de Coordenadas Polares..................................................4

  2. Todo ponto possui infinitas representações em coordenadas polares......................................................................................................6

  3. Equações para transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas ..............................................................................................7

  4. Retas em coordenadas polares.......................................................10

5. Circunferências em coordenadas polares ..........................................11

1. O Sistema de Coordenadas Polares

Partindo do sistema de coordenadas cartesianas onde temos o eixo horizontal x (abscissa), eixo vertical y (ordenada), e origem 0 , marcamos no plano o ponto P (x,y), formando uma semirreta com a origem. Observe a figura 1:

Figura 1: Ponto P(x,y) no plano cartesiano.

Para chegarmos ao sistema de coordenadas polares traçamos a semirreta ŌP que receberá o valor r. O polo do sistema de coordenadas polares coincide com a origem do sistema cartesiano e a semirreta formada pela origem e pelo eixo x agora é denominado eixo polar (e). Ao ângulo formado pela semirreta r e o eixo polar designaremos (θ):

r

O e

e  eixo polar   ângulo polar  OP  = r  raio polar

Figura 2: O sistema de coordenadas polares.

Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf

* As coordenadas polares de um ponto P no plano são escritas na forma ( r,θ ).

Exemplo

*Fonte: http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf

Ponto

Coordenada Cartesiana

Coordenada Polar

A

(1,0)

(1,0)

B

(0,2)

(2,π/2)

C

(-3,0)

(3,π)

D

(0,-3)

(3,3π/2)

E

(1,1)

(√2,π/4)

F

(-2,2)

( 22,3π/4)

Obs 1 : Usando as relações trigonométricas podemos determinar as coordenadas cartesianas de um ponto, conhecendo as coordenadas polares r e (θ):

cos (θ) = cateto oposto / hipotenusa x / r x = r. cos(θ)

sen (θ) = cateto adjacente/hipotenusa y / r y= r. sen(θ)

Se fizermos r = 0, teremos:

x=0, y=0, portanto, as coordenadas que se referem ao pólo (0,0).

O

* Sentido anti-horário ( + )

bs 2: Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.

* Sentido horário ( - )

Exemplo: (1,–π/4) = (1, 7π/4)

Denotamos P por (–r,θ), para r positivo, se P=(r,π + θ), ou seja, consideramos (–r,θ)=(r,θ+π). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao polo.

Exemplo: (3,π/2) = (–3,3π/2)

2. Todo ponto possui infinitas representações em coordenadas polares

Fonte: www. ime.uerj.br/professores/Mara/aposttransfcoord.doc

- Observe o gráfico do ponto P (4, ∏/6):

∏ ____ 180°

∏/6 ___ x

X = 30°

- Agora observe o gráfico do ponto

P ( 4, 13∏/6):

____ 180°

13∏/6 ___ y

y =390°

1 volta completa + 30°:

Portanto x = y = 30°.

Notamos que o ponto P pode ser representado das seguintes formas:

* P ( 4, 13/6) * P ( 4, /6) * P ( 4, 30°) * P ( 4,- 330°) * P ( 4, 390°) ...

Dado um ângulo θ, temos θ = θ+2kπ, para todo k inteiro. Assim,

(r,θ) = (r,θ+2π) = (r,θ+4π) = (r,θ – 2π) = (r,θ – 4π) = ...

Exemplo. (5,π/2) = (5, π/2 + 10π) = (5, 21π/2).

Ou seja, todo ponto pode ter infinitas representações em coordenadas polares, basta mudar o valor de k, obedecendo a condição de ser um inteiro.

3. Equações para transformar coordenadas polares em coordenadas cartesianas

Fontes: www.cesariof.xpg.com.br/geometria/ga_31, www.ceset.unicamp.br/~telmag/.../ga_conicas_coodpolares.ppt.

Conhecendo as coordenadas (r, θ) de um ponto P do sistema cartesiano polar, podemos conhecer também as coordenadas cartesianas, utilizando as seguintes equações:

x = r. cos(θ) ; y= r. sen(θ)

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