Logáritmos, Razões Trigonométricas, Matrizes e Determinantes, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

Baixe Logáritmos, Razões Trigonométricas, Matrizes e Determinantes e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Índice Álgebra Elementar e Conjuntos 5 Funções 6 Logaritmos 7 Trigonometria 8 Progressões 14 Matrizes e Determinantes 16 Sistemas Lineares 22 Análise Combinatória 23 Binômio de Newton 24 Números Complexos 26 Polinômios 29 Geometria Analítica 32 Geometria Espacial 39 Geometria Plana 43 Álgebra Elementar Simbologia Ù (e) Î (pertence) Ú (ou) Ï (não pertence) | (tal que) É (contém) $ (existe) É (não contém) $ (não existe) Ì (contido) " (qualquer que seja) Ë (não contido) Æ (vazio) Conjuntos Interseção A Ç B = { x | x Î A Ù x ÎB } União A È B = { x | x Î A Ú x ÎB } Diferença A - B = { x | x Î A Ù x ÏB } Complementar B se B Ì A então C = A - BA onde: a, b, x R a > 0 e a 1 e b > 0 Decorrências da definição log 1 = 0 ( 0 < a 1)a log a = 1 ( 0 < a 1)a a = b (0 < a 1 e b > 0) log b = log c b = c (0 < a 1, b > 0 e c > 0)a a Propriedades operatórias Mudança de base Î ¹ " ¹ " ¹ ¹ Û ¹ Logaritmos log b = x a xÛ a = b log b + log c = log bca a a log b - log c = loga a abc a log b = a . log ba a log b = . log ba aa 1 a log b = a log bc log ac log ab 5 7 Fernando H. Ferraz Exatas Handbook Estudo da função Uma relação R: A B será uma função de A em B, se e somente se: - D(R) = A - Cada elemento x A se relaciona (forma par) com um único elemento B. Notação: f : A B ou y = f(x) Função do 2º grau 2- f: R R, definida por f(x) = ax + bx + c - D(f) = R - Coordenadas do vértice: - Se a > 0, valor mínimo = y . v - Se a < 0, valor máximo = y .v ® Î ® ® Funções V = ( )-b ; -D2a 4a Trigonometria Razões Trigonométricas Seja um triângulo retângulo, fixando um ângulo agudo a, temos: seno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa: cosseno - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa: tangente - é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente ao ângulo: a a c b sena = ba tga = bc cosa = ca 8 6 elemento oposto: A + (-A) = O. Multiplicação de um numero real por uma matriz Multiplica-se todos os elementos da matriz pelo número real. Multiplicação de duas matrizes Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois A é do tipo m x n e B é do tipo n x p. O produto AB é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B, pois C = AB é do tipo m x p. Ainda pela definição, deve-se obter cada elemento c ik da matriz AB da seguinte forma: (I) Toma-se a linha i da matriz A. (II) Toma-se a coluna k da matriz B. (III) Coloca-se a linha i de A na ‘vertical’ ao lado da coluna k de B. (IV) Calcula-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado. (V) Somam-se esses n produtos, obtendo c .ik Propriedades associativa: (AB).C = A . (BC) distributiva à dir.: (A + B) . C = AC + AB distributiva à esq.: A.(B+C) = AB + AC Transposta de uma matriz Determinantes Determinante de matriz de ordem 2 Determinante de matriz de ordem 3 Repetimos as duas primeiras colunas ao lado do determinante e a seguir multiplicamos os elementos na direção das flechas. Os produtos dos elementos indicados pelas flechas azuis são somados e os dos elementos indicados pelas flechas vermelhas são subtraídos. Está é a regra de Sarrus, só válida para determinantes de ordem 3. Menor complementar Se a é um elemento da matriz A de ordem n, então o ij menor complementar do elemento a é o determinante ij que se obtém retirando-se a linha i e a coluna j da matriz A. Indicamos o menor complementar do elemento a por ij M .ij Complemento algébrico ou cofator Indica-se por A e é dado por:ij i+j A = (-1) . Mij ij a b c d = ad - bc a a a a a11 12 13 11 12 a a a a a21 22 23 21 22 a a a a a31 32 33 31 32 Determinantes do produto de matrizes Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem então: det(A.B) = detA . detB Determinante de inversa de uma matriz: Obs.: uma matriz A só é inversível se, e somente se, detA 0.¹ -1detA = 1 detA Análise Combinatória Fatorial n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1 Þ n . (n - 1)! 1! = 1 0! = 1 Princípio multiplicativo Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e a seguir, um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de probabilidades de ocorrer A seguido de B é m vezes n. Arranjos simples São agrupamentos onde a ordem com que os elementos participam é considerada e não existe repetição de elementos. É dado pela fórmula: Permutações simples São arranjos onde n = p. Combinações simples São agrupamentos onde não importa a ordem dos elementos. A = n,p n! (n - p)! P = n!n C = n,p (n - p)! p! n! 21 23 1917 Sendo A uma matriz do tipo m x n, a transposta de A, t que se indica por A, é a matriz do tipo n x m que se obtém trocando as linhas por colunas da matriz A. Isto t té, a 1ª linha de A é igual à 1ª coluna de A, a 2ª linha de A é igual a 2ª coluna de A e assim sucessivamente. Propriedades t t (A ) = A t t t (A + B) = A + B t t (a . A) = a . A t t t(AB) = B . A Matriz Identidade I = (a ) onde a = 1 (se i = j) e a = 0 (se i j)n ij nxn ij ij Propriedade A . I = I . A = An n Inversão de matrizes A matriz inversa da matriz quadrada A, se existir, será -1indicada por A e será tal que: -1 -1A . A = A . A = In Propriedades -1 -1 (A ) = A t -1 -1 t (A ) = (A ) -1 -1 -1 (AB) = B . A ¹ Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada de ordem n(n>1), é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Propriedades dos determinantes t- detA = detA - Trocando-se a posição de duas filas paralelas de uma matriz, seu determinante não se altera em módulo, apenas trocando de sinal. - Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. - Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma fila qualquer de uma matriz por um número, seu determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. - Sendo A, uma matriz quadrada de ordem n, e a o um número real, então: ndet(a . A) = a . det A - Se uma fila de uma matriz é formada por somas de duas parcelas, então seu determinante é igual à soma de outros dois determinantes: o primeiro formado com as primeiras parcelas e o segundo formado com as segundas parcelas, inalteradas as demais filas. - Teorema de Jacobi: um determinante não se altera quando se soma a uma de suas filas uma outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante. Sistemas lineares Todo sistema com uma ou mais equações do tipo: a x + a x + a x + ... + a x = b11 1 12 2 13 3 1n n Regra de Cramer Um sistema linear de n equações a n incógnitas pode ser resolvido pela regra de Cramer: Classificação - Se D 0, sistema possível e determinado. - Se D = D = D = ... = D = 0, sistema possível e x1 x2 xn indeterminado - Se D = 0 e (D 0 ou D 0 ou ... D 0) o x1 x2 xn sistema é impossível. Sistemas lineares homogêneos É o sistema linear que possui os termos independentes de todas as suas equações iguais a zero. Para um sistema linear homogêneo teremos: - Se D 0, o sistema admitirá uma única solução que será (0;0;0;...;0), chamada solução trivial. - Se D = 0, o sistema será possível e indeterminado admitindo infinitas soluções. ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ x = 1 Dx1 D , x = 2 Dx2 D , ..., x = n Dxn D Binômio de Newton Número binomial Binomais complementares Igualdade de binomiais Triângulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Propriedades - A soma dos binomiais de uma linha é igual a 2n, onde n é o “numerador” dos binomiais. ( (np = (n - p)! p! n! ( (np ( (n ke são binomiais complementares se: p + k = n ( (np ( (n k= Û p = k ou p + k = n ( (n0 ( (n 1 ( (n 2 ... ( ( n n - 1 ( (n n 24 22 20 18 - Relação de Stifel: a soma de dois binomiais “vizinhos” de uma mesma linha é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do segundo número somado. Binômio de Newton n obs.: o desenvolvimento (x + a) é formado de n + 1 termos. Termo Geral Onde T representa o termo de ordem p + 1 do p+1 ndesenvolvimento de (x + a) . ( (np +( (n p + 1 = ( (n + 1 p + 1 n(x + a) = ( (n0 n x +( (n1 n - 1 1 x a +( (n2 n - 2 2 x a + ... + (n n n a( T = p+1 ( (np n - p p. x . a Potências de i 0i = 1 1i = i 2i = -1 3i = -i 4i = 1: onde: r = 0, 1, 2 ou 3: Adição/Subtração/Mutiplicação Na adição e subtração, adicionam-se e subtraem-se separadamente as partes complexas e as imaginárias. Na multiplicação usa-se a propriedade distributiva, e do fato que i² = -1. Divisão Representação Gráfica { n ri = i , n NÎ 4n r q resto z2 = z1 z2 z1 z2 z2. b a P q O |z| y x O número complexo z = a + bi é representado pelo ponto P(a;b) no plano de Argand- Gauss. P: é o afixo de z; Ox: eixo real; Oy: eixo imaginário. Polinômios Polinômio identicamente nulo P(x) 0 P(a) = 0, P(x) 0 a = a = ... = a = a = 00 1 n-1 n Polinômios idênticos A(x) B(x) A( ) = B( ), . Grau de um polinômio É o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, que aparece em P(x). gr(P) ou dP Se P(x) 0, não se define gr(P). Divisão de polinômios Temos que: A(x) (x) . Q(x) + R(x) (desde que gr(R) < gr(B) ou R(x) 0). Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é igual a P(a). º Û " a º Û º Û a a " a º º B º n n-1P(x) = a x + a x + ... + a x + a0 1 n-1 n A(x) B(x) R(x) Q(x) r . r . r + r . r .r + ... + r . r .r = 1 2 3 1 2 4 n-2 n-1 n n r . r .r ... r = (-1) . 1 2 3 n Propriedades - Se a soma dos coeficientes de um dado polinômio P(x) é 0, então P(x) admite 1 como raiz. - Se a soma da diferença dos coeficientes simétricos de um dado polinômio P(x) é 0, então P(x) admite -1 como raiz. - a3a0 an a0 29 31 25 27 Equação da reta, dado um ponto e o coeficiente angular r: y - y = m(x - x )0 0 Posição relativa de duas retas Se duas retas r e s são paralelas m = m .r s Se duas retas r e s são perpendiculares m = r Distância de ponto a reta Dado o ponto P(x ,y ), e a reta r: ax + by + c = 0:0 0 Equação da circunferência Cálculo do centro e do raio -1 ms (x - a)² + (y - b)² = R² x² + y² -2a.x - 2b.y + p = 0 C(a;b) p (termo indenpendente) Þ p = a² + b² - R² d = pr | ax + by + c |0 0 Ö a² + b² x y b a R (x;y) (a;b) x² + y² -2a. x - 2b. y + p = 0 metade com sinal trocado Þ Þ Þ Elipse F e F ® focos1 2 O ® centro A A ® eixo maior1 2 B B ® eixo menor1 2 2c ® distância focal 2a ® medida do eixo maior 2b ® medida do eixo menor relação notável: a² = b² + c² Equação reduzida B1 B2 A2A1 O b a cF1 F2 c a ® excentricidade (x - x )²0 a² + (y - y )²0 b² = 1 (x - x )²0 a²+ (y - y )²0 b² = 1 para o eixo principal paralelo ao eixo x para o eixo principal paralelo ao eixo y Equação reduzida Propriedade do lugar geométrico A diferença da distância de qualquer ponto da hipérbole aos focos F e F é constante e igual ao segmento A A1 2 1 2. PF + PF = 2a1 2 (x - x )²0 a² - (y - y )²0 b² = 1 (x - x )²0 a² - (y - y )²0 b² = 1 para o eixo real paralelo ao eixo x para o eixo real paralelo ao eixo y Cone reto R gHg V = 1 3 2 . p . R . H S = p . R . gL R g Secção meridiana É o triângulo resultante da intersecção do cone com um plano que contém o vértice do cone e o centro da base. Obs.: o cone eqüilátero é aquele em que g = 2R; neste caso a secção meridiana é um triângulo eqüilátero. q g 2pR S = pR (R + g)T q = 360R gq = 2pR g grausrad ou 40 38 36 34 Paralelepípedo retângulo É um prisma de seis faces, todas retangulares. c a D b V = a . b. c S = 2 . (ab + ac + bc) 2 2 2D = Öa + b + c Cubo d a c V = a³ S = 6 . a² D = aÖ3 Pirâmide Base: em forma de polígono. Faces laterais: são triângulares. Obs.: Pirâmide regular: a base é um polígno regular; as faces laterais são triângulos isósceles. V = 1 3 . B . H Geometria Plana Ângulo Tipos de ângulos Ângulo reto = 90º Ângulo agudo = entre 0º e 90º Ângulo obtuso = entre 90º e 180º Ângulo raso = 180º Ângulo complementares = soma = 90º Ângulos suplementares = soma = 180º Polígonos Soma dos ângulos internos: S = (n - 2) . 180ºi Soma dos ângulos externos (p/ convexos): S = 360ºe Número de diagonais: Polígonos regulares - Todos os lados de mesma medida e - Todos os ângulos internos iguais. Triângulos São os polígonos de 3 lados D = n . (n - 3) 2 Quadriláteros Retângulo 4 ângulos retos Losango 4 lados iguais Quadrado 4 ângulos retos e 4 lados iguais Trapézios Um par de lados paralelos, chamados de bases; os outros dois lados não sao paralelos. Trapézio isósceles: lados não paralelos são iguais; os ângulos adjacentes das bases são iguais. Trapézio retângulo: tem dois ângulos retângulos Trapézio escaleno: os lados não paralelos são desiguais. Quadrilátero inscritível Se e somente se os ângulos opostos somam 180º. Quadrilátero circunscritível Se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados. losangoparalelogramo Teorema da bissetriz interna Semelhança de triângulos Aplicações ba x y a a x a = y b ab A B C c b a H abN P z y x h M B = N = b C = P = a ^ ^ ^ ^ } Þ DABC ~ DMNP Þ a x Þ =b y = c z = k per(DABC) per(DMNP) Þ = k H h = k área(DABC) área(DMNP) 2 = k A CB NM Sendo M e N pontos médios: Þ { MN // BC BC 2 MN = 45 47 41 43 Tetraedro regular É uma pirâmide de base triângular regular; todas as quatro faces são triângulos eqüiláteros. H a a a a B = 4 a² . Ö3 H = 3 a . Ö6 V = 12 a² . Ö2 Propriedades angulares Soma dos ângulos internos = 180º Soma dos ângulos externos = 360º Teorema do ângulo externo: “Cada ângulo externo é igual à soma dos dois internos não adjacentes.” Segmentos notáveis altura - ângulo de 90º em relação a base, unindo ao ângulo oposto. bissetriz - divide o ângulo em duas partes. mediatriz - perpendicular ao meio do segmento. mediana - une o ponto médio ao ângulo oposto. Pontos notáveis Ortocentro Intersecção das alturas Incentro Intersecção das bissetrizes Circuncentro Interceção das mediatrizes Baricentro Intersecção da medianas Classificação Eqüilátero 3 lados iguais: 3 ângulos de 60º Isósceles 2 lados iguais, ângulos da base com medidas iguais. Escaleno lados todos diferentes Retângulo 1 ângulo reto Acutângulo 3 ângulos agudos Obtusângulo 1 ângulo obtuso, 2 agudos. Tangências Retas e circunferências - São tangentes quando tem um único ponto em comum. - O raio traçado no ponto de tangência é perpendicular à reta tangente. - De um ponto externo a uma circunferência é possível traçar duas tangentes de comprimentos iguais: PT = PT1 2 - O centro da circunferência tangente aos lados de um ângulo se encontra na bissetriz desse ângulo. Circunferências tangentes - São tangentes quando têm um único ponto comum. - O ponto de tangência e os dois centros sempre estão sobre a mesma reta. Teorema de Tales tangente T1 T2 bissetriz P r s r // s a b x y a b = x y ABCD: Trapézio M e N: pontos médios. Propriedades do baricentro do triângulo Relações Métricas em Triângulos Retângulos D C BA NM MN = AB + CD 2 (base média) A B C GP M N {AG = 2GMBG = 2GN CG = 2GP h b c n m ah = bc h² = mn b² = am c² = an a 48 46 44 42