Princípio Trabalhos Virtuais Historia303601

Princípio Trabalhos Virtuais Historia303601

(Parte 1 de 4)

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 30, n. 3, 3601 (2008) w.sbfisica.org.br

Historia da Fısica e Ciencias Afins

Um esboco da historia do conceito de trabalho virtual e suas aplicacoes (An outline concerning the history of the concept of virtual work and its applications)

Jose Lourenco Cindra1

Universidade Estadual Paulista, Campus de Guaratingueta, SP, Brasil Recebido em 1/1/2008; Revisado em 16/4/2008; Aceito em 18/4/2008; Publicado em 18/9/2008

Neste trabalho abordamos a questao concernente a origem do princıpio de trabalho virtual e sua consolidacao como um dos conceitos fundamentais no estudo da mecanica analıtica e, em particular, dos sistemas em equilıbrio estatico. Enfase foi dada as contribuicoes seminais de Stevin, Galileu e, sobretudo, as de d’Alembert e Lagrange, no tocante ao conceito de trabalho virtual. Alem disso, faz-se um comentario geral sobre vınculos holonomos e deslocamento virtual. Alguns exemplos de emprego da equacao de d’Alembert-Lagrange sao apresentados, para mostrar como o princıpio de trabalho virtual pode ser adequadamente aplicado. Palavras-chave: trabalho virtual, deslocamento virtual, vınculo, princıpio d’Alembert.

In this work is discussed the question concerning the origin and development of the principle of virtual work as a fundamental principle in the study of the analytical mechanics, and particularly of the static equilibrium of an initially motionless system. The seminal contributions of Stevin, Galileo, d’Alembert and Lagrange are emphasized. Furthermore, the concept of holonomic constraints and virtual displacements are presented. Some examples of how to apply the D’Alembert’s principle expressed under the D’ Alembert-Lagrange equation are introduced, in order to show how this fundamental principle of static and dynamics can be successfully employed. Keywords: virtual work, virtual displacement, constraint, D’Alembert’s principle.

1. Consideracoes preliminares

Uma nocao bastante vaga de trabalho virtual parece ter se originado ja nos primordios da mecanica. Como muitos conceitos e princıpios da fısica, o conceito de trabalho virtual, juntamente com outros conceitos correlatos, como o de deslocamento virtual e velocidade virtual, teve sua evolucao desde intuicoes gerais relativamente vagas ate ficar bem estruturado no ambito da concepcao diferencial do movimento. Este conceito teve sua origem nos problemas de estatica, bem antes do aparecimento das celebres tres leis de Newton. Posteriormente, gracas as contribuicoes de d’Alembert e Lagrange, este conceito passou a ser tratado como um princıpio fundamental da dinamica e foi incorporado pela mecanica newtoniana, de modo a dar conta nao apenas dos problemas de estatica, mas tambem dos problemas envolvendo corpos em movimento.

Por que abordar o conceito de trabalho virtual, se, nos cursos elementares de mecanica, esse conceito, em geral, nem sequer e citado? A primeira vista, pode parecer que o formalismo estritamente newtoniano com base nas tres conhecidas leis da dinamica resolveria qualquer problema mecanico bem formulado, dispensando, assim, a preocupacao com uma nova abordagem baseada em conceitos alternativos. Entretanto, ha problemas relativamente simples que nao podem ser resolvidos pelo metodo newtoniano stricto sensu. Um problema dessa natureza e apresentado por Stadler [1]. O exemplo escolhido por ele e o de um pendulo duplo constituıdo por duas massas puntiformes m1 e m2 ligadas por duas hastes rıgidas de comprimentos desiguais.

Ele mostra que o emprego da terceira lei de Newton para esse problema resulta numa incompatibilidade das equacoes diferenciais do movimento. E preciso, entao, em lugar da centralidade das forcas internas, introduzir de modo independente, a lei do momento angular, isto e, a derivada temporal do momento angular do sistema de partıculas e igual ao momento resultante de todas as forcas externas que atuam sobre o sistema. O autor ainda mostra que o problema tambem pode ser adequadamente resolvido se aplicarmos a ele uma abordagem totalmente alternativa: a lei de conservacao da energia e o postulado de que o trabalho virtual de todas as forcas internas do sistema se anula.

Comecemos este trabalho, tecendo alguns comentarios sobre os precursores e os que formalizaram o princıpio do trabalho virtual. Em seguida, iremos apresentar os conceitos de vınculos, de deslocamento virtual e de trabalho virtual. Finalmente, ire-

1E-mail: jlcindra@uol.com.br.

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

3601-2 Cindra mos escrever a equacao de d’Alembert-Lagrange como sendo a expressao matematica do chamado princıpio de d’Alembert, que e um dos princıpios mais importantes da mecanica. Achamos conveniente comecar esta discussao com algumas consideracoes sobre Simon Stevin e Galileu.

Simon Stevin (1548-1620) nasceu em Bruges, na

Belgica, e morreu em Haia, na Holanda. Em 1581, os Estados Gerais se declararam independentes da Espanha. Stevin, como fısico, matematico e engenheiro, esteve engajado nos esforcos militares do prıncipe Maurıcio de Nassau para a consolidacao da independencia dos Estados Gerais, ou seja, da regiao que posteriormente viria a constituir os Paıses Baixos (nao confundir com o outro Maurıcio de Nassau, aquele que esteve a frente do domınio holandes no nordeste brasileiro). Em 1600, Stevin, seguindo instrucoes de Maurıcio de Nassau, funda um curso de Engenharia na Universidade de Leyden, onde as aulas eram ministradas em holandes mesmo, e nao em latim, como era de habito na epoca. Com isso, o curso tornava-se mais acessıvel a camadas mais amplas da populacao. Com o mesmo proposito, ele escreveu suas obras cientıficas em holandes. Isso nos mostra uma nova atitude da burguesia vitoriosa, na sua luta secular contra as instituicoes feudais.

Stevin introduziu muitos neologismos cientıficos no idioma holandes. Um exemplo tıpico e a palavra “matematica”, que, em praticamente todos os idiomas europeus tem a mesma origem grega, mas, em holandes ela tem uma origem germanica: Wiskunde. Outros neologismos introduzidos por Stevin foram aftrekken (subtrair) e delen (dividir), middellijn (diametro) que continuam os mesmos. Entretanto, menigvuldigen (multiplicar) e verdageren (adicionar) transformaram-se em verminigvuldigen e optellen, respectivamente. Ja a palavra zomenigmaal (quociente, “assim muitas vezes”), no moderno holandes e quotient.

Autor de onze livros, Stevin deu contribuicao significativa a trigonometria, mecanica, arquitetura, geografia, fortificacao e navegacao. Calculou a declinacao magnetica (diferenca angular entre o polo norte magnetico e o polo norte geografico) em diversos locais; demonstrou geometricamente a impossibilidade do funcionamento de um moto-perpetuo de primeira especie, compreendeu a diferenca entre equilıbrio estavel e equilıbrio instavel, traduziu obras gregas, introduziu o uso das fracoes decimais e fez uso da vırgula para representar essas fracoes.

Em 1586, Stevin publicava De Beghinselen des Waterwichts sobre hidrostatica, onde foram introduzidos notaveis melhoramentos em relacao ao trabalho de Arquimedes sobre este topico. La se encontra o famoso paradoxo hidrostatico: A pressao exercida sobre o fundo de um vaso com agua depende da altura do nıvel da agua, mas nao depende da forma do vaso nem da area do fundo. Consequencia: A forca exercida por um lıquido sobre o fundo do vaso, devido a sua pressao, pode ser muito maior que o peso do volume do lıquido nele contido.

Muitos consideram que, com a apresentacao de sua lei fundamental da hidrostatica, a lei segundo a qual, a pressao hidrostatica cresce linearmente com a profundidade, Stevin torna-se o verdadeiro fundador da ciencia da hidrostatica. Este trabalho de hidrostatica foi feito com o intuito de melhorar a construcao de plataformas flutuantes usadas em assaltos militares.

Publicou tambem De Beghinselen der Weegconst, livro que tratava da estatica, e uma versao mais completa deste mesmo trabalho apareceu em 1605. Em 1608 Stevin unificou estes trabalhos sob o tıtulo de Hypomnemata Mathematica. Em 1634 este trabalho foi traduzido para o frances.

Neste livro se encontra o princıpio de composicao de forcas e a resolucao do problema do equilıbrio de um corpo sobre um plano inclinado, por um metodo completamente original e que foi baseado na impossibilidade do moto-perpetuo de primeira especie (veja a Fig. 1).

Figura 1 - A corrente de Stevin, com a legenda Wonder en is gheen wonder, contem quatorze esferas iguais. As seis esferas sobre os catetos de um triangulo retangulo estao em equilıbrio. Se a corrente comecar a se mover, ainda assim, outras seis esferas estarao sobre esses mesmos lados do triangulo, e o sistema continuara em equilıbrio. Portanto, o sistema uma vez em repouso, assim continuara para sempre. O moto contınuo e impossıvel.

A corrente de Stevin com a legenda Wonder en is gheen wonder (a magica que nao e nenhuma magica) encontra-se no frontispıcio do Hypomnemata Mathematica [2]. A corrente contendo quatorze contas igualmente espacadas esta em equilıbrio, com quatro contas sobre o lado maior e duas contas sobre o lado menor do triangulo. Ela esta em equilıbrio, visto ser inconcebıvel que ela comece espontaneamente a se mover sobre os lados do triangulo. Caso isso acontecesse, terıamos rea-

Um esboco da historia do conceito de trabalho virtual e suas aplicacoes 3601-3 lizado um movimento perpetuo.

Stevin foi um dos primeiros a introduzir o princıpio de trabalho virtual para a resolucao de problemas de estatica, indicado em forma de proporcoes entre grandezas fısicas: a distancia percorrida por uma forca esta para a distancia percorrida pela resistencia, assim como a intensidade da resistencia esta para a intensidade desta forca, ou seja, se F representa a forca, R a resistencia, d a distancia percorrida pela forca e s a distancia percorrida pela resistencia,2 logo

F ou Fd = Rs.

Isso pode ser verificado por meio da propria “corrente de Stevin”. Pois, podemos eliminar a parte de baixo da corrente, sem afetar o equilıbrio das seis contas restantes. Duas contas sobre o lado menor estao em equilıbrio com quatro contas sobre o lado duas vezes maior. Se a corrente se mover sobre o plano inclinado, a mesma proporcao de contas entre os dois lados do triangulo sera mantida. Portanto, espontaneamente, elas nao tem porque mover-se. Nestas consideracoes esta em germe o conceito de conservacao da energia.

Stevin conseguiu fazer da estatica uma ciencia puramente dedutiva. Partindo do princıpio da impossibilidade do perpetuum mobile (dispositivo que realizaria trabalho sem consumo de energia), Stevin, de fato, chega a nocao de trabalho virtual, sem, contudo, reconhecer explicitamente a importancia desse conceito. O que, de fato, Stevin formulou foi algo proximo ao seguinte princıpio: “o que e ganho em forca e perdido em velocidade”. Uma origem remota do princıpio de trabalho virtual pode ser encontrada em um tratado atribuıdo a Aristoteles e denominado Problemas de Mecanica (Mηχανικα piρoβληµαα). Entretanto, possivelmente, trata-se de um texto apocrifo. O autor desse tratado derivou a lei da alavanca a partir do princıpio de que “as forcas se contrabalancam quando sao inversamente proporcionais as velocidades”. Na realidade, o nome “velocidade virtual”, em lugar de deslocamento virtual foi largamente usado ate o seculo XIX.

E importante ressaltar que Stevin foi um tıpico representante do estilo de ciencia dos tempos modernos. Ele compreendeu a importancia de um novo ideal cientıfico: A uniao indissoluvel da teoria e da praxis. Para ele, a tecnica seria sempre uma aplicacao de conhecimentos teoricos.

O livro De Beghinselen der Weegconst comeca com a seguinte assercao: Na natureza, nao ha nada de miraculoso. Aquilo que nao compreendemos chamamos de um milagre (een wonder, em holandes). Isso acontece simplesmente porque ainda nao conhecemos sua causa.3

Galileu Galilei (1564-1642) procurou fundamentar seus estudos de mecanica, e de hidrostatica em particular, com base no conceito de momento e de velocidade virtual. E assim que Galileu consegue explicar porque uma pequena quantidade de agua pode sustentar e fazer flutuar um corpo de peso muito maior, desde que ele tenha menor densidade do que a da agua. E assim que ele tenta mostrar o princıpio que esta por tras do comportamento peculiar da agua nos vasos comunicantes. E assim que ele demonstra a condicao de equilıbrio de um corpo pendente com um corpo sobre um plano inclinado. O princıpio das velocidades virtuais ja havia sido empregado por Guidobaldo del Monte, que o tinha aplicado ao estudo das alavancas e das roldanas moveis. O merito de Galileu esta em dar a este princıpio uma maior generalidade, estendendo-o ao estudo dos planos inclinados e de todas as maquinas que deles dependem [3].

Imagine - escreveu Galileu - um corpo flutuando em um recipiente com agua e que esse recipiente tenha uma area muito maior do que a area da base do corpo. Se esse corpo for retirado da agua, seu nıvel ira abaixar muito pouco. Entretanto, se esse mesmo corpo passar a flutuar em um recipiente de dimensoes pouco maior que a do proprio corpo, quando ele for retirado da agua, seu nıvel ira abaixar consideravelmente. No primeiro caso, uma grande quantidade de agua abaixou seu nıvel muito pouco, no segundo uma pequena quantidade de agua abaixou muito seu nıvel: Nos dois casos citados, o produto da area do fluido pela velocidade com que seu nıvel abaixa deve ser o mesmo. Esta aı um exemplo do emprego do conceito de velocidade virtual.

No caso dos vasos comunicantes, ocorre um efeito similar. Consideremos dois vasos comunicantes com diametros muito desiguais. A agua esta em equilıbrio nos dois vasos. Imaginemos entao que este equilıbrio seja alterado. A agua entao podera se elevar muito no vaso mais estreito e descer muito pouco no vaso mais largo, e vice-versa, pois volumes deslocados nos dois sentidos tem o mesmo valor. Alem disso, o lıquido tendera a subir com uma velocidade muito maior no vaso mais estreito do que descer no vaso mais largo, e viceversa. Este e outro exemplo de velocidade virtual [4].

No caso de um plano inclinado (Fig. 2), Galileu representa o comprimento da base do plano por AB, sua altura por BC e o plano inclinado por AC. Se dois corpos: corpo E e corpo F, ligados por um fio E sobre o plano e F pendente, estao em equilıbrio, entao o peso F estara para o peso E assim como BC estara para CA

CA ou entao F = E

2The distance traveled by the force actinga is to the distance traveled by the resistance as the power of the resistance is to that of the force acting. Ut spatium agentis ad spatium patientis, sit potential patientis ad potentiam agentis (Stevin, Hypomnemata, apud Ref. [7, p. 127]). 3Het is wel waar dat er in de Natuur niets wonderbaars is, maar als we niet begrijpen waarom iets is zoals het is, dan spreken we terecht van een wonder, omdat het zich aan ons zo voordoet (ver http://www.xs4all.nl/∼adcs/stevin).

3601-4 Cindra

Figura 2 - O corpo sobre o plano inclinado esta em equilıbrio com outro corpo suspenso por um fio passando por uma polia.

Imaginemos entao que este equilıbrio seja ligeiramente perturbado: o corpo E pode sofrer um deslocamento na vertical para cima, enquanto o corpo F sofre outro deslocamento para baixo. Novamente, BC estara para CA assim como o deslocamento de E: deslocamento ∆E (projecao vertical) estara para o deslocamento de F: deslocamento ∆F. Portanto, o deslocamento F esta para o deslocamento E assim como o peso F esta para o peso E.

Sejam ∆ os deslocamentos de E ao longo do plano inclinado e de F na vertical. A componente vertical de ∆ para o corpo E e ∆E = ∆senθ, logo,

Galileu, utilizando argumentos desta natureza, conseguiu reduzir o equilıbrio de corpos sobre planos inclinados a lei da alavanca. Nos estamos mais acostumados a resolver este tipo de problema com a decomposicao dos pesos em componentes paralela e perpendicular ao plano e o uso concomitante de funcoes trigonometricas. Aplicamos a segunda lei de Newton a cada corpo, considerando o caso particular de aceleracao nula e chegamos a mesma condicao de equilıbrio a que chegou Galileu.

Galileu ainda teve o merito de utilizar uma abordagem dinamica na resolucao de problemas de estatica. Neste aspecto, ele deu um passo a frente de Arquimedes e de Stevin. O tempo comeca a entrar explicitamente em suas consideracoes sobre as questoes de mecanica. Segundo Stillman Drake [5], Guidobaldo del Monte percebera um hiato intransponıvel entre a estatica e a dinamica, enquanto Galileu ja notou em 1593 que, tendo em vista o fato de que qualquer forca por pequena que seja e capaz de perturbar o equilıbrio de um corpo, nenhuma distincao deve ser feita entre o poder requerido para sustentar um peso e o necessario para move-lo. Em conformidade com isso, ele formulou uma regra geral, segundo a qual ha proporcionalidade entre forcas, pesos, velocidades, distancias e tempo, de modo que tudo que e ganho em uma dessas grandezas deve ser perdido em outra.

2. O princıpio de trabalho virtual

O princıpio de trabalho virtual, como outros grandes princıpios da fısica, teve uma longa historia, antes de se tornar um princıpio plenamente consolidado. Aristoteles, ou quem quer que tenha escrito os Problemas de Mecanica esta remotamente na origem desse princıpio. Na realidade, Stevin nao o formulou explicitamente, tampouco Galileu; embora Galileu tenha falado de uma certa velocidade potencial ou virtual, e mostrou saber fazer bom uso dessa nocao. Parafraseando Koyre [6] a respeito do que ele disse sobre o princıpio de inercia, podemos dizer que o princıpio de trabalho virtual nao saiu ja feito, como Atena da cabeca de Zeus, do pensamento de Stevin ou de Galileu. Entre os autores que contribuıram para a emergencia e a consolidacao desse princıpio, podemos, alem do proprio Stevin, citar Galileu, Jean Bernoulli, Jaques Bernoulli, d’Alembert e finalmente Lagrange. E com Jean Bernoulli que o princıpio de trabalho virtual se aproxima da nossa concepcao moderna que temos dele. Parece que ele foi o primeiro a reconhecer o princıpio de trabalho virtual como um princıpio geral da estatica. Cornelius Lanczos chama a atencao para o fato de Bernoulli omitir o uso das proporcoes [como fizeram Stevin e Galileu] e introduz o produto da forca pela velocidade na direcao dessa forca, tomado com sentido positivo ou negativo, dependendo do angulo entre a forca e a velocidade ser agudo ou obtuso. O produto da forca pelo seu deslocamento Bernoulli chamou de energia. Parece que aı se encontra a primeira referencia ao termo energia para designar algo ja bem proximo do conceito de trabalho mecanico. Ele expressa estas consideracoes em carta a Pierre Varignon,4 escrita em 26 de janeiro de 1717. Rene Dugas [7] cita que este princıpio fora no seculo XIII usado implicitamente por Jordanus de Nemore (tambem conhecido como Jordanus Nemerarius). Mais tarde dele fizeram uso Rene Descartes e John Wallis. De fato, o mesmo Dugas [7, cap. 3] discorre sobre o Elementa Jordanus super demonstrationem ponderis. Ele assevera que a originalidade de Jordanus esta no uso sistematico, em seu estudo do movimento de corpos,

4Jean Bernoulli wrote, in letter to Varignon, “Imagine several different forces which act according to different tendencies or in different directions in order to hold a point, a line, a surface or a body in equilibrium. Also, imagine that a small motion is impressed on the whole system of these forces. Let this motion be parallel to itself in any direction, or let it be about any fixed point. It will be easy for you to understand that, by this motion, each of the forces will advance or recoil in its direction; at least if one or several of the forces do not have their tendency perpendicular to that of the small motion, in which case that force or those forces will neither advance or recoil. For these advances or recoils, which are what I call virtual velocities, are nothing else than that by which each line of tendency increases or decreases because of the small motion” (Jean Bernoulli, letter to Pierre Varignon, January 26th, 1717, apud Ref. [7, p. 231-232]).

Um esboco da historia do conceito de trabalho virtual e suas aplicacoes 3601-5 do caminho efetivo em uma direcao vertical como uma medida do efeito de um peso, que geralmente era colocado na extremidade do braco de uma alavanca. Em consequencia disso o peso descrevia um cırculo. Jordanus expressa a ideia de “peso aparente”, segundo o lugar ocupado (gravitas secundum situm). Quanto mais oblıqua e a descida de um corpo, menor e seu peso aparente. Segundo Jordanus, maior obliquidade de uma descida significa maior angulo de inclinacao a partir da direcao vertical. Assim, se uma alavanca estiver em sua posicao horizontal, com pesos em suas extremidades e ela girar em certo angulo, em torno do ponto de apoio, um dos pesos ira subir uma certa distancia enquanto o outro ira descer outra distancia. Entretanto, se a alavanca nao estiver na sua posicao horizontal, seu giro em um angulo igual ao do caso anterior, sera acompanhado de menores subida e descida dos respectivos pesos. Portanto, tudo leva a crer que a estatica de Jordanus se origina do princıpio de trabalho virtual, mas nao ainda explicitamente enunciado.

Nao resta duvida que o princıpio de trabalho virtual foi o primeiro princıpio a ser estabelecido para a mecanica. Este princıpio, em seu enunciado moderno simplesmente afirma o seguinte:

Um sistema mecanico esta em equilıbrio se, e somente se, o trabalho virtual total de todas as forcas aplicadas for nulo.

(Parte 1 de 4)

Comentários