Apostila - de - Matematica - 2 - Grau

Apostila - de - Matematica - 2 - Grau

(Parte 1 de 7)

Análise Combinatória Fatorial de um número:

Definições especiais:

Arranjo simples:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 ades.possibilid 242.3.4 lugar 3º o para adespossibilid 2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeões dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, (Grêmio, futebol de timesQuatro 3) negativo. número um de fatorial existe não pois ,7 :Resposta

1512
2251056
56 x 56))(1(56
)!1)()(1(56

!101!100 expressão da valor o Calcule 1) x x x x

!81

:então s,disponívei números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenas existe algarismo primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R 9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6) números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta

!8.1

0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora

!91
ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R

:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para :0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos 5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)

!81.1
também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R

:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe 5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)

!91
1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R

:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid 1. COM COMECEM a) :que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)

Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

C-D-C-D-C-D-C-DouD-C-D-C-D-C-D-C
:issofazer de maneiras duas Existem:R

maneiras. 1152576576 é totalo Portanto maneiras. 57624.24!4!.4. : também temosposição primeira na dama uma Colocando maneiras. 57624.24!4!.4. :maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8) anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1 :é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e (E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para E. com terminameA POR COMEÇAM b) anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1 :é totalo Então ades.possibilid 6 existem letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para A. POR COMEÇAM a) :EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)

Binômio de Newton

.. produto o é resultado O - MOÇAS

- RAPAZES moças? 4 e rapazes 3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 1) feitas?ser podem diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)

.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs .5 :Resposta

166056
05606

.0 equação aResolver 9) m m m m m m m C m

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b². Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento: (a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b) = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da

anterior, ou seja, de .

Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente

binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer n natural, temos: Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª) Se n, p, k e p + k = n

então

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos:

2ª) Se n, p, k e p p-1 0

então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

números binomiais , , , ,, , ... estão na coluna 1.

Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).

Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

Propriedade do triângulo de Pascal

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